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Atomphysik

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Atomphysik. Die Schrödingergleichung im Unterricht. In Anlehnung an eine Präsentation meiner Kollegin Monica Hettrich. Ziele und Voraussetzungen. Ziele: Anwendung zeitgemäßes Atommodell Voraussetzungen: Wesenszüge Zeit-Energie-Unbestimmtheit de-Broglie-Materiewellen Coulomb-Potential

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Presentation Transcript
atomphysik

Atomphysik

Die Schrödingergleichung im Unterricht

In Anlehnung an eine Präsentation meiner Kollegin Monica Hettrich

ziele und voraussetzungen
Ziele und Voraussetzungen
  • Ziele:
    • Anwendung
    • zeitgemäßes Atommodell
  • Voraussetzungen:
    • Wesenszüge
    • Zeit-Energie-Unbestimmtheit
    • de-Broglie-Materiewellen
    • Coulomb-Potential
    • Analysis Klasse 11/12
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Schülervorstellungen

  • Stabilität eines Atoms durch mechanistische Vorstellungen:
    • Ausgleich Coulomb-Kraft  Fliehkraft
    • Elektromag. Abstrahlung 
  • Bohrsches Atommodell aus Chemie (Planetenmodell)
  • Schalenmodell aus Chemie (auf Kreisschalen „sitzende“ Elektronen)
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Gang nach Dorn-Bader

  • Lokalisationsenergie
    • Teilchen im „Quantenkäfig“ (W  1/L²)
    • Abschätzung der Energiebereiche für Elektronenhülle bzw. Atomkern
  • Exkurs zu historischen Atommodellen
  • Franck-Hertz-Versuch
    • Scharfe Energieniveaus
    • „Quantensprünge“
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Gang nach Dorn-Bader

  • Linearer Potentialtopf:
    • Motivation: Quantenpferch
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Gang nach Dorn-Bader

  • Elektron im Kräftefeld (Potentialtopf)
  • Stationärer Zustand: UBR liefert „scharfe“ Energiewerte(t    W  0)
  • Superposition aller klassisch denkbaren Möglichkeiten
  • Randbedingung (-L/2) = (L/2) = 0
  • Quantenzahl n
  • Energieeigenwerte Wn  n²
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Gang nach Dorn-Bader

  • Schrödinger-Gleichung:
    • Keine deduktive Herleitung!
    • Eher Plausibilitätsbetrachtungen:
      • 1(x) = 0 sin(2x/B) oder cos-Fktion, wobei x Ort.
      • Ableitungen:
      • ‘‘(x) = - C (x) mit C = (2/B)² = 4²p²/h²
      • Hinweis: Vergleich mit DGL harmonischer Schw.
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Gang nach Dorn-Bader

  • Mit Wkin = p²/2me folgt
  • C = (8²m/h²)Wkin = (8²m/h²)[W – Wpot(x)]
  • d.h.:

‘‘(x) = - C(x,W)  (x)

= - 8²m/h²  [W – Wpot(x)]  (x)

Eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung

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Gang nach Dorn-Bader

‘‘(x) = - C(x,W)  (x)

= - 8²m/h²  [W – Wpot(x)]  (x)

Eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung

  • Proportionalitätsfaktor abhängig von
    • Ort x
    • Gesamtenergie W
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Wpot

4 eV

x

0 eV

-L/2

+L/2

  • Gang nach Dorn-Bader

Anwendung: Potentialtopf endl. Höhe

Gesucht:

Mögliche Lösungen der Schrödingergl.eichung zu diesem Potential (gebundene Zustände!)

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Gang nach Dorn-Bader

‘‘(x) = - C(x,W)  (x)

  • Innerhalb des Topfes:

Wpot = 0  W – Wpot > 0

‘‘(x) = - C (x) mit C > 0

  • Wenn (x)>0, dann Rechtskrümmung
  • Wenn(x)<0, dann Linkskrümmung
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Gang nach Dorn-Bader

  • Außerhalb des Topfes:
  • Wpot = 4eV  W – Wpot < 0
  • ‘‘(x) = - C (x) mit C < 0
  • Wenn (x)>0, dann Linkskrümmung
  • Wenn(x)<0, dann Rechtskrümmung
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Gang nach Dorn-Bader

  • meistens (x)  , d.h. (x)²  +
  • Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Topfes unendlich groß!
  • manche (x)  0, wenn auch ‘(x)  0
  • Eigenfunktionen n(x)
  • diskrete Eigenwerte Wn
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Alternativer U-Gang

  • Vorbemerkungen zu Atommodell
    • Bohr
    • Alternativen
  • Mitteilen der z-u. Schroedinger-Gleichung
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Alternativer U-Gang

  • Intuitiver „Krümmungs-“Begriff‘‘(x) = - C (x)
    • ‘‘(x) „Krümmung“ von  am Ort x
    • Linkskurve für ‘‘(x) > 0
    • Rechtskurve für ‘‘(x) < 0
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Alternativer U-Gang

  • Qualitative Untersuchung einfacher Potentiale
    • Argumentation über „Krümmung“ von 
    • Argumentation über Lage der Wendepunkte
    • Physikalisch sinnvolle Lösungen führen zu diskreten Energiewerten
    • Diskussion immer „schwierigerer“ Potentiale
  • Numerische Lösungen mit Computer
    • Modellbildungssystem
    • Programme mit Schiebereglern
    • H-Atom
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Alternativer U-Gang

  • Modellbildungssystem für einfache Potent.
    • Moebius
    • Dynasis etc.
  • Simulationssoftware für weitere Potentiale
    • Alea (Klett-Software)
    • Bader-Programme (Schroedel-CD)
    • Schrödingers Schlange (Freeware)
    • Schrödingers Wippe (Freeware)
    • Pakma (Schroedel-CD)
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Arbeitsauftrag

Bestimmen Sie mit Hilfe der Simulationssoftware:

  • Eigenfunktionen und Energieeigenwerte
  • Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Orbitale

5 Arbeitsgruppen

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Übungs- / Klausuraufgaben

Aufgabe 1:

Geben Sie in Worten wider, was die Schroedinger-Gleichung aussagt.

Aufgabe 2:

Welche Bedeutung hat die Schroedinger-Gleichung für die Atomphysik?

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Übungs- / Klausuraufgaben

Aufgabe 3:

Skizziere für den unten abgebildeten Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden qualitativ den Verlauf der Wellenfunktionen 1(x) und 2(x) für die Energien W1 bzw. W2, die die zugehörige Schrödingergleichung lösen.

Begründen Sie Ihre Ergebnisse ausführlich!

Zeichnen Sie zudem ein Schaubild von (x)² für die Funktion 1(x). Interpretieren Sie das Schaubild!

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Übungs- / Klausuraufgaben

Vpot

x

W2

W1

1

x

2

x

1²

x