- ポアンカレマップによるリミットサイクルの安定性解析 -

- ポアンカレマップによるリミットサイクルの安定性解析 - • 知能　＝　制御？ • 制御し易い機構があるのでは • 跳躍運動のリミットサイクル • ポアンカレマップ • 自己安定化

跳躍ロボット：1980’- By M. Raibert (CMU, MIT)

説明跳躍：簡単な制御前進速度跳躍高さ胴体姿勢中立点(neutral point)制御なぜ簡単な制御でうまく行くのか？

結論から言うと-自己安定化(Self-stabilization)- SLIPモデル (Spring-Loaded Inverted Pendulum) by Blickhan 1989 エネルギー増減のない外乱安定化遊脚着地角度のみを保持前進速度・跳躍高さなどの情報なし機構（バネー質量系）に安定化の機能がある！

非線形システムの解析 • 定常状態 • n回目の状態とn+1回目の状態の変化 • ポアンカレ（リターン）マップ

A B A 離散的な現象軌道が描かれる位相空間において離散的に繰り返される写像がどのような点の集合になるか、或はどのような性質を持っているかを調べることによって明らかにすることができる。位相平面

定常運動は同じ点を通る 定常運動の参考点（例えば最高跳躍時）位相平面固定点(fixed point)

非線形方程式の解法 固定点の探索全ての自由パラメータが平衡条件を満たす Newton-Raphson法

n歩目の参考点　　　と入力　　　に関して ここで平衡状態　　　　　でヤコビアンを定義ポアンカレマップ#1 を考えた時，固定点　　　　　　は次式を満たす．

ポアンカレ（リターン）マップ ポアンカレマップ#2 外乱等により固定点（定常状態）から状態が少しずれた p = p* + D p 微小変異の間に以下の関係が成り立つ D p[n+1] =JD p[n]

説明微小変異の収束性 D p[n+1] =JD p[n] ・簡単のために１変数のみを考える xn = D p[n] ・n回目とn+1回目の微小変異に以下の関係が成り立つとする xn+1 = axn |a| < 1 のときxnはゼロに収束する

において J の全ての固有値の絶対値が１より小さい時，　　　　　　　　　　　　　は漸近安定な固定点となる．説明漸近安定な固定点一般的には D p[n+1] =JD p[n] 自己安定化 (self stabilization)

attacking angle speed [m/s] 自己安定化を利用した跳躍・走行 [Hackert, Witte & Fischer : 2000] 遊脚着地角(touchdown or attacking angle)を一定に保つことにより，前進速度などを安定化できる．

準受動バウンド走行 ひざ関節にバネを持つ四脚ロボットの二次元モデルエネルギー効率に優れ自己安定化により制御を簡略化できる固定点を運動の理想状態として求める.

Extended flight phase 準受動バウンドの歩容

準受動バウンドの安定化 離散力学システムの固定点定常な準受動走行参考点：跳躍最高点での状態胴体の高さ，傾き，前進速度，角速度入力遊脚着地角度：前脚，後脚

探索された固定点（fixed point） 初期値： =(0.22m, 0rad, 1.37m/s, -1.66rad/s) 1.372(m/s) 0.218(m) 0(rad) -1.658(rad/s)

代表的な漸近安定な固定点 クリアランス：　前脚3cm，後脚2cm

自己安定性を利用している脚式ロボット Sprawlita (2000-) RHex (2000-)

まとめ • 跳躍運動において定常運動は位相平面上の固定点に相当する． • 固定点でのヤコビアン（ポアンカレマップ）の固有値の絶対値がすべて１より小さいとき，外乱によって生じた微小変異は制御無しでゼロに収束する． • このような機構の自己安定性は，制御をより簡単にする可能性を持つ．

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