1 / 74

第四章 关 系

第四章 关 系. 4.1 二元关系 4.2 关系运算 4.3 关系类型. 退出. 4.1 二元关系. 二元关系,这里是指集合中两个元素之间的关系。 1 .基本概念 定义4.1.1 给定任意集合 A 和 B , 若 R  A  B , 则称 R 为从 A 到 B 的二元关系,特别在 A = B 时,称 R 为 A 上的二元关系。. 可见, R 是有序对的集合。若< x , y >  R , 则也表为 xRy , 即< x , y >  R  xRy 。

Download Presentation

第四章 关 系

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 第四章 关 系 • 4.1 二元关系 • 4.2 关系运算 • 4.3 关系类型 退出

  2. 4.1 二元关系 • 二元关系,这里是指集合中两个元素之间的关系。 • 1.基本概念 • 定义4.1.1 给定任意集合A和B,若RAB,则称R为从A到B的二元关系,特别在A=B时,称R为A上的二元关系。

  3. 可见,R是有序对的集合。若<x,y>R,则也表为xRy,即<x,y>RxRy。可见,R是有序对的集合。若<x,y>R,则也表为xRy,即<x,y>RxRy。 • 若R=,则称R为A到B上空关系;若R=AB,称R为A到B上全域关系。特别当A=B时,称为A上空关系,称R=AA为A上的全域关系。称R={<x,x>|xA}为A上的恒等关系,记为IA。

  4. 类似地可定义n元关系。若S  Ai,则称S为 Ai上的n元关系。特别A1=A2=···=An时,称S为A上的n元关系。

  5. 定义4.1.2 令RAB,且 • D(R)={x|(y)(xRy)} • R(R)={y|(x)(xRy)} • F(R)=D(R)+R(R) • 则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关系R的定义域、值域和域。 • 显然D(R)A,R(R)B。

  6. 由于关系是有序对的集合,对它可进行集合运算,其结果也是有序对的集合,即也是某一种二元关系。令R和S是两个二元关系,则R∪S,R∩S,R-S,RS和R’都分别定义了某一种二元关系,并且可表成:由于关系是有序对的集合,对它可进行集合运算,其结果也是有序对的集合,即也是某一种二元关系。令R和S是两个二元关系,则R∪S,R∩S,R-S,RS和R’都分别定义了某一种二元关系,并且可表成: • x(R∪S)yxRyxSy • x(R∩S)yxRyxSy • x(R-S)yxRyxSy • x(RS)yxRyxSy • xR ’yxRy

  7. 2.关系矩阵与关系图 • 表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时,矩阵和有向图都是得力的工具。 • 定义4.1.3 给集合A={a1,a2,···,am}和B={b1,b2,···,bn},且RAB,若 • 1 aiRbj • rij= • 0 否则 • 则称矩阵MR=(rij)mn为R的关系矩阵。 

  8. 当给定关系R,可求出关系矩阵MR;反之,若给出关系矩阵MR,也能求出关系R。当给定关系R,可求出关系矩阵MR;反之,若给出关系矩阵MR,也能求出关系R。 • 集合A上的二元关系R也可用有向图表示。具体方法是:用小圆圈“”表示A中的元素,小圆圈称为图的结点。把对应于元素ai和aj的结点,分别标记ai和aj。。若<ai, aj>R,则用弧线段或直线段把ai和aj连接起来,并在弧线或直线上设置一箭头,使之由ai指向aj;若<ai, ai>R,则在结点ai上画一条带箭示的自封闭曲线或有向环,称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向环。这样得到的有向图<A, R>叫做关系R的图示,简称关系图,记为GR。

  9. 3.关系的性质 • 关系的性质是指集合中二元关系的性质,这些性质扮演着重要角色,下面将定义这些性质,并给出它的关系矩阵和关系图的特点。 • 定义4.1.4令RAA,若对A中每个x,都有xRx,则称R是自反的,即 • A上关系R是自反的<x)(xAxRx) • 该定义表明了,在自反的关系R中,除其他有序对外,必须包括有全部由每个xA所组成的元素相同的有序对。

  10. 在全集U中所有子集的集合中,包含关系是自反的,相等关系=也是自反的;但是,真包含关系不是自反的。整数集合Z中,关系≤是自反的,而关系<不是自反的。在全集U中所有子集的集合中,包含关系是自反的,相等关系=也是自反的;但是,真包含关系不是自反的。整数集合Z中,关系≤是自反的,而关系<不是自反的。

  11. 定义4.1.5令RAA,若对于A中每个x,有xRx,则称R是反自反的,即定义4.1.5令RAA,若对于A中每个x,有xRx,则称R是反自反的,即 • A上关系R是反自反的<x)(xAxRx) • 该定义表明了,一个反自反的关系R中,不应包括有任何相同元素的有序对。

  12. 由定义4.1.4 说明中,可知真包含关系是反自反的,但包含关系不是反自反的;小于关系<是反自反的,而≤不是反自反的。 • 应该指出,任何一个不是自反的关系,未必是反自反的;反之,任何一个不是反自反的关系,未必是自反的。这就是说,存在既不是自反的也不是反自反的二元关系。

  13. 定义4.1.6令RAA,对于A中每个x和y,若xRy,则yRx,称R是对称的,即定义4.1.6令RAA,对于A中每个x和y,若xRy,则yRx,称R是对称的,即 • A上关系R是对称的 • (x)(y)(x,yAxRy→yRx) • 该定义表明了,在表示对称的关系R的有序对集合中,若有有序对<x, y>,则必定还会有有序对<y, x>。

  14. 在全集U的所有子集的集合中,相等关系是对称的,包含关系和真包含关系都不是对称的;在整数集合Z中,相等关系=是对称的,而关系≤和<都不是对称的。在全集U的所有子集的集合中,相等关系是对称的,包含关系和真包含关系都不是对称的;在整数集合Z中,相等关系=是对称的,而关系≤和<都不是对称的。

  15. 定义4.1.7令RAA,对于A中每个x和y,若xRy且yRx,则x=y,称R是反对称的,即定义4.1.7令RAA,对于A中每个x和y,若xRy且yRx,则x=y,称R是反对称的,即 • A上关系R是反对称的 • (x)(y)(x,yAxRyyRx→x=y) • 该定义表明了,在表示反对称关系R的有序对集合中,若存在有序对<x, y>和<y, x>,则必定是x=y。或者说,在R中若有有序对<x, y>,则除非x=y,否则必定不会出现<y, x>。

  16. 在全集U的所有子集的集合中,相等关系=,包含关系和真包含关系都是反对称的,但全域关系不是反对称的。在整数集合Z中,=,≤和<也都是反对称的。在全集U的所有子集的集合中,相等关系=,包含关系和真包含关系都是反对称的,但全域关系不是反对称的。在整数集合Z中,=,≤和<也都是反对称的。 • 可见,有些关系既是对称的又是反对称的,如相等关系;有些关系是对称的但不是反对称的,如Z中的“绝对值相等”;有些关系是反对称的,但不是对称的,如Z中的≤和<。还有的关系既不是对称的又不是反对称的,例如,A={a, c, b>,中R={<a, b>,<a, c>,<c, a>}。

  17. 定义4.1.8令RAA,对于A中每个x, y, z,若xRy且yRx,则xRz,称R是传递的,即 • A上关系R是传递的 • (x)(y)(z)(x,y,zAxRyyRz→xRz) • 该定义表明了,在表示可传递关系R的有序对集合中,若有有序对<x, y>和<y, z>,则必有有序对<x, z>。

  18. 显然,上述提到的关系中,,=和≤,<,=都是传递的;在直线的集合中,平行关系是传递的,但垂直关系不是传递的。显然,上述提到的关系中,,=和≤,<,=都是传递的;在直线的集合中,平行关系是传递的,但垂直关系不是传递的。 • 通过上面几个实例,看出: • ①若A上关系R是自反的,则MR中主对角线上元素全为1,而GR中每个结点有有向环;反之亦然。

  19. ②若A上关系R是反自反的,则MR中主对角线上元素全为0,而GR中每个结点无有向环;反之亦然。②若A上关系R是反自反的,则MR中主对角线上元素全为0,而GR中每个结点无有向环;反之亦然。 • ③若A上关系R是对称的,则MR是对称矩阵,而GR中任何两结点若有弧必成对出现;反之亦然。

  20. ④若A上关系R是反对称的,则MR中以主对角线为对称元素不能同时为1,而GR中若两结点间有弧不能成对出现;反之亦然。④若A上关系R是反对称的,则MR中以主对角线为对称元素不能同时为1,而GR中若两结点间有弧不能成对出现;反之亦然。 • ⑤若A上关系R是传递的,则MR中若rij=rjk=1,则rik=1,而GR中若有弧<x, y>和<y, z>则必有弧<x, z>;反之亦然。上述是正确的,但不易从MR和GR中判定关系R传递性。

  21. 此外,还有: • ①任何集合上的相等关系=是自反的、对称的,反对称的和传递的,但不是反自反的。 • ②整数集合Z中,关系≤是自反的、反对称的和传递的,但不是反自反的和对称的。关系<是反自反的,反对称的和传递的,但不是自反的和对称的。

  22. ③非空集合上的空关系是反自反的,对称的,反对称的和传递的,但不是自反的。空集合上的空关系则是自反的,反自反的,对称的,反对称的和传递的。③非空集合上的空关系是反自反的,对称的,反对称的和传递的,但不是自反的。空集合上的空关系则是自反的,反自反的,对称的,反对称的和传递的。 • ④非空集合上的全域关系是自反的,对称的和传递的,但不是反自反的和反对称的。

  23. 下面给出一个定理,以结束本小节。 • 定理4.1.1设RAA,若R是反自反的和传递的,则R是反对称的。

  24. 4.2 关系运算 • 前已述及,关系是有序对的集合,因此可以对关系进行运算。若R, SAB,则R∪S,R∩S,R’,R-SAB。

  25. 1.复合运算 • 定义4.2.1设R是从A到B的关系,S是从B到C的关系。经过对R和S实行复合(或合成)运算“”,得到了一个新的从A到C的关系,记为RS,也称RS为关系R和S的复合(或合成)关系;或称RS为R和S的复合运算。形式地表为: • RS={<a, c>|(b)(bBaRbbSc)}

  26. 定理4.2.1设RAA,则RIA=IAR=R • 定理4.2.2若RAB,S,TBC,WCD,则 • ① R(S∪T)=RS∪RT • ② R(S∩T) RS∩RT • ③ (S∪T)W=SW∪TW • ④ (S∩T)W  SW∩TW

  27. 定理4.2.3若RAB,SBC,TCD,则 • (RS)T=R(ST) • 复合运算是可结合的,但不是可交换的。望读者举例说明。

  28. 2.幂运算 • 定义4.2.2设R是集合A上的二元关系,nN,R的n次幂记为Rn,定义为: • (1) R0=IA • (2) Rn+1=RnR • 定理4.2.4若RAA,且m, nN,则 • (1) RmRn=Rm+n, • (2) (Rm)n=Rmn。

  29. 定理4.2.5令RAA,且|A|=n,则存在i和j,使得Ri=Rj,其中0≤i<j≤2n2。定理4.2.5令RAA,且|A|=n,则存在i和j,使得Ri=Rj,其中0≤i<j≤2n2。 • 定理4.2.6令RAA,若存在i和j,i<j,使得Ri=Rj。且d=j-i,则 • (1) 对任意k≥0,Ri+k=Rj+k。 • (2) 对任意k,m≥0,Ri+md+k=Ri+k。 • (3) 设S={R0,R1,R2,···,Rj+1},对nN,有RnS。

  30. 3.逆运算 • 定义4.2.3设R是从A到B的二元关系,由关系R得到一个新的从B到A的关系,记为R-1,称R-1为R的逆运算,亦称R-1为R的逆关系。形式地表为 • R-1={<y, x>|<x, y>R} • 或者 xRyyR-1x • 由定义可知,-1=,(AB)-1=BA

  31. 定理4.2.7若RAB,SBC,则(RS)-1=S-1R-1 • 定理4.2.8令R,SAB,则 • ① (R-1)-1=R • ② D(R-1)=R(R),R(R-1)=D(R) • ③ (R∪S)-1= R-1∪S-1 • ④ (R∩S)-1= R-1∩S-1 • ⑤ (R-S)-1= R-1-S-1 • ⑥ RSR-1S-1

  32. 定理4.2.9若RAA,则R为对称R=R-1。

  33. 4.闭包运算 • 关系的闭包运算是关系上的一元运算,是包含该关系且具有某种性质的最小关系。

  34. 定义4.2.4设R是A上的二元关系,R的自反(对称、传递)闭包是关系R1,则定义4.2.4设R是A上的二元关系,R的自反(对称、传递)闭包是关系R1,则 • ① R1是自反的(对称的、传递的) • ② RR1 • ③ 对任何自反的(对称的、传递的)关系R2,若RR2,则R1R2。 • R的自反、对称和传递闭包分别记为r(R)、s(R)和t(R)。

  35. 定理4.2.10若RAA,则 • ① R是自反的iff r(R)=R • ② R是对称的 iff s(R)=R • ③ R是传递的iff t(R)=R

  36. 证明 只证明①,余下自证。 • 若R是自反的,则由定义4.2.4可知,R具有对R1所要求的性质,故r(R)=R;反之,若r(R)=R,则由定义4.2.4①知,R是自反的。 • 由闭包的定义可以知道,构造关系R的闭包方法就是向R中加入必要的有序对,使其具有所希望的性质。下面定理体现了这一点。

  37. 定理4.2.11令RAA,则 • ① r(R)=R∪IA • ② s(R)=R∪R-1 • ③ t(R)=

  38. 定理4.2.12若RAA,|A|=n,则t(R)= 。 • 定理4.2.13若RAA,则 • ① rs(R)=sr(R) • ② rt(R)=tr(R) • ③ st(R)ts(R)

  39. 5.关系运算的矩阵表示 • 关系运算是可以用关系矩阵表示的。 • 设R,SAB,TBC,MR=(aij)mn,MS=(bij)mn,MT=(cij)np,dij表示运算后所得新关系之关系矩阵的元素,则

  40. ① MR∪S=MR∪MSdij=aijbij • 1≤i≤m,1≤j≤n • ② MR∩S=MR∩MSdij=aijbij • 1≤i≤m,1≤j≤n • ③ dij=aji 1≤i≤m,1≤j≤n

  41. ④ MR-S=MR dij=aij(bij) • 1≤i≤m,1≤j≤n • ⑤ =MRTdij=aij • 1≤i≤m,1≤j≤n • ⑥ MRT=MRMTdij= (aikckj) 1≤i≤m,1≤j≤n

  42. 4.3 关系类型 • 关系类型在本书中主要讨论有四种,它们是等价关系,偏序关系,相容关系和次序关系。 • 1.等价关系 • 定义4.3.1设R是集合A上二元关系,若R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系。若<a,b>R,或aRb,称a等价b,记ab。 • 由于R是对称的,a等价b即b等价a,反之亦然,a与b彼此等价。

  43. 鉴于空集合中的二元关系是等价关系,是一种平凡情形,因此,一般讨论非空集合上的等价关系。鉴于空集合中的二元关系是等价关系,是一种平凡情形,因此,一般讨论非空集合上的等价关系。 • 模m等价是Z或其子集上的等价关系,并且是一类重要的等价关系。

  44. 定义4.3.2设m为一正整数而a, bZ。若存在m,使a-b=km,则称a与b是模m等价,记为ab(modm)。 • 定理4.3.1模m等价是任何集合AZ上的等价关系R。

  45. 定义4.3.3设R为非空集合A上的等价关系,对aA,令定义4.3.3设R为非空集合A上的等价关系,对aA,令 • [a]R={x|xAaRx} • 称[a]R为a关于R的等价类,简称a的等价类,简记为[a]。 • 显然,等价类[a]R非空,因为a[a]R。

  46. 定理4.3.2设R是非空集合A上的等价关系,则 • ① a, bA,若aRb,则[a]=[b]。 • ② a, bA,若aRb,则[a]∩[b]=。 • ③ =A • 利用非空集合A及其上等价关系可以构造一个新集合—商集。

  47. 定义4.3.4设R是非空集合A上的等价关系,以及 • A/R={[a]R|aA} • 则称A/R为A对R的商集。 • 该定义表明了,商集A/R是以R的所有等价类为元素的集合。 • 与商集有密切联系的概念是集合的划分。下面给出划分的定义。

  48. 定义4.3.5设A是非空集合,若B={A1,A2,···,An},且①Ai,②Ai∩Aj=,ij,③ =A,则称B是A的划分。称B中元素为A的划分块。 • 可见,商集A/R就是A的一个划分,并且不同的商集对应于不同的划分。反之,任给A的一个划分,B={A1,A2,···,An},如下定义A上的关系R:

  49. R= • 或 R={<a, b>|(Ai)(AiBa, bAi)} • 则不难证明R是A上的等价关系,且A/R就是划分B。因此,非空集合A上的等价关系与A的划分是一一对应的。

  50. 2.偏序关系 • 定义4.3.6设R是非空集合A上的关系,若R是自反的,反对称和传递的,则称R为A上的偏序关系。称有序对<A, R>为偏序集。 • 若R是偏序,<A, R>常记为<A, ≦>,为便于书写,将≦通常记为≤,读作“小于或等于”,因为“小于或等于”也是一种偏序,故不会产生混乱。所以,R是偏序,aRb就表成a≤b。

More Related