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§4.2 几 个常用的概率分布

§4.2 几 个常用的概率分布. 一、二项分布. 设随机变量 X~B( n,p ) ：. 注：从图形观察二项分布的取值情况. function bi( n,p ) for i =0:n y1(i+1)= nchoosek ( n,i ); y2(i+1)= p^i *(1-p)^(n- i ); end y3=y1.*y2; plot(0:n,y3);. >> bi(8,1/3). b inornd ( n,p,M,N ) ：产生 M 行 N 列服从 B( n,p ) 分布的随机变量（ M 、 N 默认为 1 ）. 如：.

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§4.2 几 个常用的概率分布

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Presentation Transcript

  1. §4.2几个常用的概率分布 • 一、二项分布 设随机变量X~B(n,p) ：

  2. 注：从图形观察二项分布的取值情况 function bi(n,p) fori=0:n y1(i+1)=nchoosek(n,i); y2(i+1)=p^i*(1-p)^(n-i); end y3=y1.*y2; plot(0:n,y3);

  3. >> bi(8,1/3)

  4. binornd(n,p,M,N)：产生M行N列服从 B(n,p)分布的随机变量（M、N默认为1） 如： >> binornd(8,1/3,1,6) ans = 5 4 1 1 3 5

  5. binopdf(X,n,p)：n次试验发生X次事件 的概率 如： >> binopdf(3,8,1/3) ans= 0.2731 >> binopdf(5,5000,0.001) ans = 0.1756

  6. binocdf(X,n,p)：n次试验发生小于等 于X次事件的累积概率 如： >> 1-binocdf(1,5000,0.001) ans = 0.9596

  7. 例、一批元件有400件，已知它的次品率 为0.02，求其中至少有5件次品的概率。 解： 次品数X~B(400,0.02) P(X>=5)= 1-p(X<=4) >> 1-binocdf(4,400,0.02) ans = 0.9027

  8. binoinv(P,n,p)：n次试验以累积概率P 发生的最小次数。 例、某证券营业部开有1000个资金账户， 每户资金10万元，设每日每个资金账户 到营业部提取20%现金的概率为0.006， 问该 营业部每日至少要准备多少现金， 才能保证95%以上的概率满足客户的 提款需求？

  9. 解： 设每日到营业部提取资金的账户数 为X,则X~B(1000,0.006),设需准备现金 a万元. P(10*20%*X<=a)>=95%,即 P(X<=a/2)>=95% >> 10*0.2*binoinv(0.95,1000,0.006) ans = 20 故至少需准备20万元.

  10. 二、泊松分布 设随机变量X~𝑃(λ) ：

  11. 注：从图形观察泊松分布的取值情况 functionpo(x) fori=0:10 y(i+1)=x^i*exp(- x)/factorial(i); end plot(0:10,y)

  12. poissrnd(lambda,M,N) 产生M行N列服从𝑃(λ)分布的随机变量（M、N默认为1） 如： >> poissrnd(3,2,5) ans = 3 4 5 3 4 2 3 1 3 7

  13. 2、poisspdf(X,lambda) n次试验发生X • 次事件的概率. • 3、poisscdf(X,lambda) n次试验发生小 • 于等于X 次事件的累积概率. 例、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从 参数为4的泊松分布，试求： （1）每分钟恰有6次呼唤的概率； （2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.

  14. 解： >> poisspdf(6,4) ans = 0.1042 >> poisscdf(10,4) ans = 0.9972

  15. 4、poissinv(P,lambda) n次试验以累 积概率P发生的最小次数. 例、夏季高峰时，个别用户会因超负荷、 线路老化等问题发生断电事故。已知某 城市每天发生的停电次数X服从参数为0.7 的泊松分布，现要求以99%的概率保证 该城市在一天中停电次数尽可能的少， 试求最小的停电次数？

  16. 解： >> poissinv(0.99,0.7) ans = 3 故一天中停电不能超过3次。

  17. 三、均匀分布 设随机变量X~𝑈(𝑎,b) ：

  18. unifrnd(a,b,M,N) 产生M行N列服从𝑈(𝑎,b)分布的随机变量（M、N默认为1） >> unifrnd(2,5,2,3) 如： ans = 3.4951 3.0212 2.6714 4.8792 3.7558 4.2538

  19. 2、unifpdf(X,a,b) 计算随机变量X的概率. 如： >> unifpdf(2,1,6) ans = 0.2000 >> unifpdf(4,1,6) ans= 0.2000

  20. 3、unifcdf(X,a,b) 计算随机变量X的累积概率. • 4、unifinv(P,a,b) 计算累积概率为P 时的随机变量的值. • 例、设公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客在10分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间不超过7分钟的概率.

  21. 设到达时间为X,等候时间为Y, • 则X~U(0,10) 解： • P(Y<=7)=P(X>=3)=1-P(X<=3) >> 1-unifcdf(3,0,10) ans = 0.7000

  22. 四、指数分布 设随机变量X~𝑒(𝜆) ： 其中𝜆>0.

  23. >> x=0:0.2:100; >> y=0.6*exp(-0.6*x); >> plot(x,y)

  24. 1、exprnd(1/lambda,M,N) 产生M行N列服从𝑒(𝜆)分布的随机变量（M、N默认为1）1、exprnd(1/lambda,M,N) 产生M行N列服从𝑒(𝜆)分布的随机变量（M、N默认为1） 如： >> exprnd(2,2,3) ans = 0.4098 4.1273 0.9166 0.1979 0.1812 4.6550

  25. 2、exppdf(X, 1/lambda)计算随机变量X的概率 如： >> exppdf(3,2) ans = 0.1116

  26. 3、expcdf(X, 1/lambda)计算随机 变量X的累积概率. 4、expinv(P, 1/lambda)计算累积 概率为P时的随机变量X的值.

  27. 例、已知顾客在某银行窗口等候服务的时间X服从参数为1/5的指数分布，X的计时单位为分钟。若等候时间超过10分钟，他就离开。设他在一个月内要到银行5次，以Y表示一个月内他因等候时间超过10分钟没有得到服务而离开的次数，试求Y的分布律以及概率例、已知顾客在某银行窗口等候服务的时间X服从参数为1/5的指数分布，X的计时单位为分钟。若等候时间超过10分钟，他就离开。设他在一个月内要到银行5次，以Y表示一个月内他因等候时间超过10分钟没有得到服务而离开的次数，试求Y的分布律以及概率 >> p=1-expcdf(10,5) 解： p = 0.1353

  28. 所以Y服从二项分布B(5,0.1353) >> 1-binocdf(0,5,p) ans = 0.5167

  29. 五、正态分布 设随机变量 ：

  30. 注：作图 function Normal(a,b) x=-6:15; y=1./(sqrt(2*pi*b)) .*exp(-(x-a).^2./(2*b)); plot(x,y) >> Normal(4,9)

  31. 1、normrnd(mu,sigma,M,N) 产生M行N列服从分布的随机变量（M、N默认为1）1、normrnd(mu,sigma,M,N) 产生M行N列服从分布的随机变量（M、N默认为1） 如： >> normrnd(1,2,2,3) ans = -1.1781 2.1051 4.0884 1.0651 3.2012 1.1719

  32. 2、normpdf(X, mu,sigma) 计算随机变量X的概率 如： >> normpdf(-1,1,2) ans = 0.1210

  33. 3、normcdf(X, mu,sigma)计算随机 变量X的累积概率. 4、normspec([a,b],mu,sigma) 绘出区间 [a,b]在概率密度图上的分布. 5、norminv(P, mu,sigma)计算累积 概率为P时的随机变量X的值.

  34. 例：把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度为d度。已知液体的温度T是随机变量，且。例：把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度为d度。已知液体的温度T是随机变量，且。 (1)若d=90度，求的概率。 (2)若要求保持液体的温度至少为80度的概率不小于0.99，问d至少为多少度？ >> normcdf(89,90,0.5) 解：（1） ans = 0.02275

  35. >> norminv(0.99,80,0.5) （2） ans = 81.1632 所以d至少为81.163度

  36. 例：已知试求: 并分别作出它们的图形。 解： >> normcdf(7.2,1,2)-normcdf(5,1,2) ans = 0.0218

  37. >> normspec([5,7.2],1,2)

  38. >> normcdf(1.6,1,2)-normcdf(0,1,2) ans = 0.3094

  39. 2、厂产品不合格率为0.03，现将产品装箱， 若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100 个合格品，则每箱至少应装多少个产品？ 练习作业 1、设指示灯在每次试验中闪亮的概率为0.3， 当指示灯不少于3次闪亮时，报警器发出 信号。 （1）进行5次独立试验，求报警器发出信号 的概率； （2）进行7次独立试验，求报警器发出信号 的概率.

  40. 3、某急救中心在间隔t的时间段中收到呼救的次数X~𝑃(t/2)，且与时间间隔的起点无关（时间以小时计），试求3、某急救中心在间隔t的时间段中收到呼救的次数X~𝑃(t/2)，且与时间间隔的起点无关（时间以小时计），试求 （1） 某天12：00 至15：00之间没有收到呼救的概率； （2） 某天12：00 至17：00之间至少 收到1次呼救的概率；

  41. 4、设每人每次打电话时间T~E(0.5)(单位：分钟)，求282人次所打电话中有2次及以上超过10分钟的概率。4、设每人每次打电话时间T~E(0.5)(单位：分钟)，求282人次所打电话中有2次及以上超过10分钟的概率。 5、秒表的最小刻度值为百分之一秒.若计时精度取最近的刻度值，求使用该秒表计时产生的随机误差X的概率密度函数f(x),并计算误差的绝对值不超过千分之二的概率。

  42. 6、设试求: 7、设试求: （2）、试确定常数c,使得

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