1 / 19

LA CLASE VIRTUAL

LA CLASE VIRTUAL. POLINOMIOS. POLINOMIOS. Dados el número natural n y los n+1 números reales o complejos a 0 ,a 1 ,…,a n (los llamados coeficientes ) se define el polinomio p en la variable x como la función que hace corresponder al valor que tome x el valor

parker
Download Presentation

LA CLASE VIRTUAL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. LA CLASE VIRTUAL POLINOMIOS

  2. POLINOMIOS • Dados el número natural n y los n+1 números reales o complejos a0,a1,…,an (los llamados coeficientes) se define el polinomio p en la variable x como la función que hace corresponder al valor que tome x el valor p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn • Se dice que los polinomios p y q son idénticos si

  3. POLINOMIOS • Se dice que el grado del polinomio p es n cuando an es distinto de cero. El polinomio idénticamente nulo 0 carece de grado. Todos sus coeficientes valen cero y se verifica que • Dos polinomios p y q son idénticos cuando coinciden sus coeficientes, esto es, p-q=0. • A veces se habla del polinomio p(x), entendiendo que se refiere al polinomio p

  4. POLINOMIOS • La suma de los polinomios p y q es el polinomio r de modo que • Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que afectan a la misma potencia de x.

  5. POLINOMIOS • El producto de los polinomios p y q es el polinomio s de modo que • Nótese que el grado del polinomio suma r es a lo sumo el máximo de n y m.

  6. POLINOMIOS • Análogamente el grado del polinomio producto s es a lo sumo m+n. • El cociente de dos polinomios no siempre es otro polinomio. Cuando el cociente f/g del polinomio f y el polinomio g es otro polinomio se dice que g divide a f o que f es múltiplo de g. • La división por el polinomio nulo no está permitida.

  7. POLINOMIOS • En general la división de un polinomio f dividendo por un polinomio g divisor origina un polinomio cociente q y un polinomio resto r, de modo que • 1º f=qg+r, o lo que es lo mismo, • 2º El grado de r es menor que el grado de g o bien r es nulo. • Nota: f/g es un polinomio si y sólo si r=0.

  8. POLINOMIOS • Ejemplo:

  9. POLINOMIOS • El máximo común divisor de f y g (abreviadamente m.c.d.) es el divisor común de mayor grado con an=1. • El mínimo común múltiplo de f y g (abreviadamente m.c.m.) es el múltiplo común de menor grado con an=1. • Se dice que f y g son primos entre sí si el máximo común divisor es el polinomio constante unidad.

  10. POLINOMIOS • El algoritmo euclidiano permite obtener el mcd de f y g de un modo sencillo: 1º f=qg+r 2º g=q´r+r´ 3º r=q´´r´+r´´ … hasta que el resto sea nulo. El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.

  11. POLINOMIOS • Ejemplos: • El m.c.d. de x4-3x2+2 y x4+x3-x-1 es x2-1 • El m.c.m de x2-9 y x2-5x+6 es (x-3)(x+3)(x+2) • Los polinomios 8x3-10x2-x+3 y 2x3-5x2-x+6 son primos entre sí.

  12. POLINOMIOS • El teorema fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio p de grado n tiene al menos un cero, esto es, la ecuación p(x)=0 admite al menos una solución (real o compleja). • Teorema: Es a un cero de p si y sólo si p(x) es divisible por x-a.

  13. POLINOMIOS • Se justifica el teorema ya que siendo p(x)=q(x)(x-a)+r con r polinomio constante o nulo, si p(x) es divisible por x-a debe ser r nulo, esto es, p(x)=q(x)(x-a) por lo que p(a)=q(a)(a -a) =0 y a es un cero de p; recíprocamente, si a es un cero de p es p(a)=0, luego 0=q(a)(a -a)+r y de aquí r=0, esto es, p(x) es divisible por x-a .

  14. POLINOMIOS • Si a es un cero de p el polinomio p se puede factorizar de la forma p(x)=q(x)(x-a) donde (x-a) es un factor lineal y el grado de q una unidad inferior al grado de p. Se podría volver a factorizar q y así sucesivamente hasta llegar a la descomposición en factores lineales de p p(x)=an(x-a1) (x-a2) (x-a3)... (x-an)

  15. POLINOMIOS • Los n ceros obtenidos (repetidos o no) a1,a2,a3... an son ceros del polinomio p de grado n. Cuando los coeficientes del polinomio p son reales y p posee un cero imaginario de la forma a=a+ib entonces también el conjugado a-ib es un cero de p. En este caso se pueden agrupar los dos factores lineales (x-(a+ib))(x-(a-ib)) en un factor cuadrático de la forma (x2+cx+d).

  16. POLINOMIOS • Si a1,a2,a3... ak son los ceros distintos del polinomio p de grado n, con multiplicidades respectivas m1,m2,m3... mk se puede factorizar p de la forma: • Se puede probar que si a es un cero de p de multiplicidad m, mayor que la unidad, también a es un cero de las derivadas sucesivas, hasta el orden de derivación m-1.

  17. POLINOMIOS • La regla de Ruffini se puede utilizar para: • 1º Hallar p(b), donde p es un polinomio y b un valor numérico cualquiera • 2º Hallar el cociente y el resto de la división del polinomio p(x) y el polinomio x-b. • 3º Transformar un polinomio p(x) en un polinomio q(y), mediante la sustitución y=x-b. En este caso hay que apoyarse en el desarrollo de Taylor.

  18. POLINOMIOS • Ejemplo: División de p(x)=5x4+10x3+x-1 por x+2. Aquí se tiene b=-2. El cociente de la división de p(x) por (x+2) es 5x3+1 y el resto -3, precisamente el valor de p(-2). Se tiene p(x)= (5x3+1 )(x+2)-3

  19. POLINOMIOS • Ejemplo: El desarrollo de Taylor del polinomio p(x)=5x4+10x3+x-1 en x=-2 es • Los valores de p y de sus derivadas son calculables por Ruffini en x=-2, llegando a p(x)=5(x+2)4 -30(x+2)3 +60(x+2)2 -39(x+2)-3

More Related