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空间距离. ∟. ∟. 空间距离的类型. 点到点的距离. 点到直线的距离. 点到平面的距离. ∟. ∟. ∟. ∟. ∟. 直线到直线的距离. 直线到平面的距离. 平面到平面的距离. 基本方法. 直接法 按定义直接作出垂线。 运用转化化归思想：面面距离→线面距离→点面距离→点点距离，即最终转化为两点间的距离来计算。通常将该线段置于一个直角三角形中求解。. 间接法： ⑴将点面距离转化为线面距离，或将线面距离转化为面面距离。 ⑵将点面距离转化为求三棱锥某个面的高（用等积法）。. A. A’. 关键：. 求出点面距离. a. A.
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∟ ∟ 空间距离的类型 • 点到点的距离 • 点到直线的距离 • 点到平面的距离
∟ ∟ ∟ ∟ ∟ • 直线到直线的距离 • 直线到平面的距离 • 平面到平面的距离
基本方法 • 直接法 • 按定义直接作出垂线。 • 运用转化化归思想：面面距离→线面距离→点面距离→点点距离，即最终转化为两点间的距离来计算。通常将该线段置于一个直角三角形中求解。
间接法： • ⑴将点面距离转化为线面距离，或将线面距离转化为面面距离。 • ⑵将点面距离转化为求三棱锥某个面的高（用等积法）。
A A’ 关键： 求出点面距离
a A A 如何求直线到平面、平面到平面的距离？ 转化为点到平面的距离！
找出一个过l的辅助平面 ，过A作AA’ ⊥ 于A’，再过A’作A’H⊥l于H，连结AH，由三垂线定理，AH⊥l，即AH的长度就是A到l的距离。 A l A’ H 如何求点到直线的距离？ 如图：求点A到直线l的距离
D’ C’ A’ B’ D C A B 例题1： • 例1.正方体ABCD－A’B’C’D的边长为a，则（1）A点到面BDD’B’的距离为_______。 (2)AA’与BB’D’D的距离为______。 (3)A点到C’D的距离为______。 （4）A点到BD’的距离为_______。 （5）A’点到面AB’D’的距离为______。 O
D’ C’ A’ B’ D C A B 法一：直接作出平面AB’D’的垂线A’H O’ H 法二：间接法。将A’到平面AB’D’的距离视为三棱锥A’－ AB’D’的一条高，用等积法求解。
G D H C F A E B 例题2： • 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面且GC＝2，求点B到平面EFG的距离。 O
S P O • 1.等边△ABC的边长为a，过△ABC的中心O作OP⊥平面ABC，且OP＝ ，则点P到△ABC的边的距离为 • A.a B. C. D. 练习： O C A N B • 2.设三棱锥S－ABC的底面为等腰直角三角形，斜边AC＝10，侧棱SA＝SB＝SC＝13，则顶点S到底面的距离为_________
A D M E F B C 练习： • 3正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图），M为矩形AEFD内的点，如果∠MBE＝∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为1/2，那么点M到直线EF的距离为______ P
C’ A’ B’ F F M E E A C B 例题3 • 如图，已知三棱柱ABC－A’B’C’的棱长都是2，点A’与AB、AC的距离都等于 ，且A’E⊥B’B于E，A’F⊥C’C于F。 ⑴求证：平面A’EF⊥平面B’BCC’； ⑵求点A到平面B’BCC’的距离； ⑶求平面A’EF与平面A’B’C’所成二面角的大小。 G N
P N D C M A B 练习： • 已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝ ，M、N分别是AD、PB的中点。 ⑴求证：平面MNC⊥平面PBC； ⑵求点A到平面MNC的距离。
