第六章刚体力学

第六章刚体力学 §6.1 刚体运动概述 §6.2 作用在刚体上的力系 §6.3 刚体的平衡 §6.4 刚体的定轴转动 §6.5 刚体的平面平行运动

§6.1 刚体运动概述 一、刚体模型介绍定义：刚体是整体及其部分的形状和大小保持不变的物体。 (刚体可以看成任意两质点距离保持不变的质点系。) 作用力的传递过程：作用在A端的力传递到Z端，是靠弹力（波）传递完成的。当形变很小，讨论的运动过程的速度远小于波传播速度时，可以忽略形变，且不考虑弹性波的传播过程，把物体看成刚体。刚体模型等价于弹性波传播速度无穷大。刚体模型的适用范围：刚性物体的低速运动。

二、自由度 定义：确定一个力学体系在空间的几何位置、位形所需独立变量的个数称为该体系的自由度。 • 一个质点在空间有3个自由度。 • N个质点组成的质点系有3N个自由度。 • 一个约束条件就少一个自由度。 z 例轻杆连接的2质点体系自由度5 m1 m2 y x O

例轻杆两两连接的3质点体系自由度6 m2 m1 m3 z y O x

例轻杆两两连接的4质点体系自由度6 m2 m1 m3 m4 z y O x

三、刚体的运动形式及自由度 1、自由刚体的自由度是6，非自由刚体的自由度数<6。（刚体是任意两质点距离保持不变的质点系。） 2、刚体的运动形式及自由度 • 平动：自由度3 • 定轴转动：自由度1 • 平面平行运动＝质点平面运动＋刚体定轴转动：自由度3 • 定点转动：自由度3 • 一般运动＝平动＋定点转动：自由度6

四、刚体质心 简易判断密度均匀的刚体的质心位置：刚体是质量连续分布的质点系。 1）如果具有对称中心，质心就在对称中心。 2）如果没有对称中心，但刚体分区对称，个部分的质心就在其对称中心，这些质心形成分立的质点组，刚体的质心就是这个质点组的质心。直角坐标系中

薄板、细线质心的简易求法： Pappus定理I：假如在一个平面上取任一闭合区域，并使它在空间运动形成一个立体，在运动时，令各点的运动方向始终垂直于该区域的平面，这样形成的立体的体积就等于它的横截面积乘以质心在运动过程中所经过的距离。 Pappus定理II：假如在一个平面上取一段曲线，并使它在空间运动形成一个曲面，在运动时，令各点的运动方向始终垂直于该曲线平面，这样形成的曲面就等于曲线长度乘以质心在运动过程中所经过的距离。

五、刚体的运动特征 1）刚体的质心固结在刚体上，随刚体一起运动，刚体的平动运动可以用质心的运动表征。质心运动方程： 2)刚体的转动满足质点系角动量定理角动量定理： 3）刚体的内力做功为零。内力做功决定于相对位移，刚体各质点的相对位移为零。 4）刚体的动能定理：

§6.2 作用在刚体上的力系 一、力系 1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。 2、分类： ①共面力系：所有的力位于同一平面内。共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交于一点的力系。平行力系：所有力互相平行或反平行。 ②异面力系：力的作用线不在一个平面内。

二、力系等效 1、等效力系的定义如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这两个力系互为等效力系。 2、力系的等效条件：力系力的矢量和为零，对固定参考点的力矩和为零的力系。 3、零力系：说明： ①所有的零力系都等效 ②任何力系加上零力系后与原力系等效 ③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系

4、力偶： 等值反向不共线的一对力。力偶矩 • 力偶的力矩和与参考点无关，只和作用点的相对位置有关。 • 力偶矩相等的力偶等效。

三、力的平移定理： 1、作用在刚体上的力的特性：作用在刚体上的力是滑移矢量，可以沿着力的作用线移动（滑移），但不能任意平移。 ①力的效果决定于力的三要素：力不是自由矢量大小、方向、作用点自由矢量：矢量和起始参考点无关，如位移、速度、加速度；反之称为非自由矢量，如位矢、力。 ②作用在刚体上的力沿着力的作用线滑移时，对刚体的作用效果不变。

2、力的平移定理： 作用在刚体上某点的一个力等效于作用于刚体上另一点的一个与它相等的力及一个附加力偶。附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩。 F1 = F2 = F3 F2、F3构成零力系 O F2 F1与力系（F1、F2、F3）等效，F1、F3构成力偶。 F3 F1 P

四、力系的简化（等效力系） 1、共面力系：可分为共点力系和平行力系力的滑移特性 ①共点力系（汇交力系）: 共点力系等效于一个作用于交点的单力，单力就是力系中所有力的矢量和。 ②平行力系：等效于一个单力或一个力偶。 F1′ D F1 C A B A B -f f C f -f D F1 F1′ F F2 F2′ F2 F2′ F＝F1+F2 F＝F2 - F1

2、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶 z F1 -F3 F A F3 O y B x F2

§6.3 刚体的平衡 O O  O 平动：直线平动、曲线平动刚体运动转动：定轴转动、一般转动平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。转动：刚体的一般运动(n=6)可视为随刚体上某一基点A的平动和绕该点的定点转动的合成.

证明：如图,选c为基点， 则p点的速度若选为基点，则p点绕点有一角速度，则刚体角速度(矢量)的绝对性刚体运动分解为基点的平动和绕该点的定点转动的合成,选择不同的基点，平动速度就不同,而转动角速度就与基点的选择无关。即刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同,这即是刚体角速度的绝对性。

由此得到 故刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同，与基点无关。

一、刚体的平衡状态 处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和角动量均不随时间改变（通常等于零）的状态。二、刚体的平衡方程 1、刚体的运动方程质心运动方程：角动量定理： 2、平衡条件： (对任一定点成立)

m 例质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a的线悬于 O 点，在 B端挂质量为 m 的重物。求平衡时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力 TA 和 TB 。解：考虑杆的刚体平衡，B为参考点 O A a a a y B θ x O

O 定理：刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。 [证] 1、根据力的滑移特性，将沿作用线移至汇交点O 2、根据力的平行四边形法则，将合成合力 O 3、根据二力平衡条件，这两力必共线，故也过O点。 ∴三力必汇交且共面。

例：半径为R 的半球形碗内搁一均匀的筷子AB。筷子长2 l, 设 , 且为光滑接触。求筷子平衡时的倾角 a。

§6.4 刚体的定轴转动 Y θ X 刚体作定轴转动时，其上的任意一点都绕转轴做圆周运动,用一个变量θ=θ(t)即可描述其运动。设轨迹圆半径r： x=rcosθ， y=rsinθ

一、刚体定轴转动的角量描述 定义：角位置θ,(与零点选取有关） 1.角位移角位移不是矢量 2. 角速度 3. 角加速度 4.刚体定轴匀变速转动方程

二、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 1、角量与线量的对应关系 2、速度和角速度的关系 r的起始点在转轴上！ 3、切向加速度和法向加速度

三、刚体的转动惯量 1、刚体对定轴的角动量质点动量： 2、刚体的转动动能质点的动能：

3、刚体的转动惯量 刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。定义：质量分立的体系：线分布：面分布：体分布：质量连续分布的刚体：

说明： 1)转动惯量和质量类似，是刚体转动惯性大小的量度，单位：kg·m2。 2)刚体的转动惯量不仅和刚体的总质量有关，还和质量相对轴的质量分布有关。 3)质量均匀分布形状规则的刚体，可以用定义公式计算，形状复杂的刚体通常通过实验测量。 4)回转半径k：

几种典型形状刚体的转动惯量计算 z dm x o dx 1) 均匀细棒 a) 转轴过中心与杆垂直 z dm b) 转轴过棒一端与棒垂直 x dx o

z dm m R o 2)均匀细园环转轴过圆心与环面垂直问题：如何计算园环转轴通过园环直径的转动惯量？

z 3) 均匀圆盘绕中心轴的转动惯量 R o r 质量为m, 半径为R, 厚为l, 转轴过圆心与环面垂直 m l 圆柱的转动惯量？

4) 均匀薄球壳绕直径的转动惯量 z 质元面积 R 圆环质元均匀薄球壳转动惯量

ω ω ω O´ ω R R m R O ω R1 R2 典型形状刚体的转动惯量细圆棒 I=mR2 圆环圆球圆柱球壳圆筒

例求组合刚体的转动惯量。 如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，边缘粘一质量为m的质点，试求对中心轴oz的转动惯量。解：圆环dm的转动惯量为r2dm 转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布

4、平行轴定理 设C是刚体的质心，刚体绕过质心C 的转轴的转动惯量IC、将此轴平移距离 d 后，刚体绕此新轴的转动惯量ID为： C d D P

z dm x o dx 1) 均匀细棒 a) 转轴过中心与杆垂直 b) 转轴过棒一端与棒垂直 z dm 应用平行轴定理 x dx o

5、正交轴定理 如果一块薄板绕位于板上两个相互垂直的轴（设为x、y轴）的转动惯量为 Ix 和 Iy ，则薄板绕z轴的转动惯量为： z 适用于薄板刚体或者平面分布的质点组，z轴垂直与刚体平面。 O y x P

例求质量为m、半径为R的细元环绕直径转动的转动惯量。解1：用λ表示细元环的质量密度 λ=m/2πR ; dm=λds z O y 垂直轴定理 Iz=Ix+Iy （质量分布在xy平面内）解2： x dm 已知圆环绕中心轴：Iz=mR2 Ix＝Iy＝ Iz /2

四、定轴转动定律 1.力对定轴转动刚体转轴的力矩过力的作用点作轴的垂面,交轴于O′点。力F 分解为F∥和F⊥。 d O′ 过O′点作F⊥的垂线d。力F对轴 l 的力矩: O 定义：为力F对转轴的力矩。（r 垂直于l）

2.刚体对定轴的角动量 3.刚体定轴转动定律视刚体为质点系，质点系的角动量定理： =0 对转轴的分量内 I:刚体对转轴的转动惯量

I 不变时成立 定轴转动定律：牛顿第二定律：说明： (1)定轴转动定律和牛顿第二定律形式类似、地位相当。 (2)力矩、角动量、转动惯量必须对同一转轴而言, 转动定律具有瞬时性。 (3)L是角动量转轴上的分量、M是外力对转轴的力矩之和。

五、刚体定轴转动的角动量定理 由质点系角动量定理，相对z 轴对任一瞬时有：即使物体不是刚体，即对定轴的转动惯量I随时间改变，只要任一瞬时它可看作是绕该定轴以角速度ω转动，即有：对上式积分有刚体定轴转动的角动量定理

说明： 1. 角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变. 角动量守恒的两种情况: (1) 刚体定轴转动时, 如果转动惯量不变, 则角速度也不变; (2) 如转动惯量改变, 则角速度也改变. 2.多物体组成的系统角动量具有可叠加性；六、刚体角动量守恒定律 3.角动量守恒定律是一条普适定律。

例设电风扇的电机力矩恒定为M，风叶所受空气阻力矩为Mf =－Kω，风叶转动惯量为I。求（1）通电后t时刻的角速度ω；(2)稳定转动时的角速度；（3）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？解：1) 2) 为电扇的稳定角速度 3)

例：如图，圆盘绕过o点定轴转动，圆盘的M、R、及ω0已知。子弹m,以v0射入盘边缘，求此后盘转动的角速度。错解：对M和m,用动量守恒律其中：V0=Rω0 正解：对M和m 用角动量守恒律，对转轴有

例有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为m2 、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后棒绕轴转动的角速度 为多大？解：对于整个系统不考虑轴间的摩擦阻力矩，则系统不受外力矩的作用，碰撞前后角动量守恒。

解: 隔离法列出运动方程 T1 T2 T1 T2 a m1 a 滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等 m2 G1 G2 例一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体, m1<m2 . 设滑轮的质量为m, 半径为r, 所受的摩擦阻力矩为Mr. 绳与滑轮之间无相对滑动. 求: 物体的加速度和绳的张力. a m1 m2

T1 T2 T1 T2 a a m1 a m2 m1 G1 m2 G2 从以上各式解得

解：细绳拉紧时滑块的速度 例光滑斜面与水平面成θ角，在斜面上放一质量为m的物块，在斜面的延长线上方有一半径为R，转动惯量为I的轮轴，轮轴上绕有细绳，一端与m相连。物块由静止下滑距离为L时细绳拉紧，开始计时，求任一时刻轮轴的角速度。由角动量守恒求初始角速度 T T mg

第六章 刚体力学