Повторим геометрию

1. Повторим геометрию И. Ширстова, г. Москва

2. Задача. В прямоугольном параллелепипеде A…D1AA1= 2а, AB= 2а, AD = 4а, N∈ [CC1), CN: CC1 = 3 : 2. На луче AB взята точка K так, что KA : AB = 4 : 3. 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KDN и найти площадь сечения. 2. Построить угол между плоскостями KDN и АВС и найти величину этого угла.

3. Решение. 1. Построим сечение: (DCC1): (ND) ∩ [D1C1] = T; (ABC): (KD)∩ [BC] = E; (BB1C): (EN) ∩ [B1C1] = P. PTDE — искомое сечение. 2. Построим угол между плоскостями KDN и АВС: (KDN) ∩ (АВС) = (KD). Построим (CM)  (KD). По теореме о трех перпендикулярах (NM)  (KD); NMC — угол между плоскостями KDN и АВС.

4. 3. Определим положение некоторых точек, для этого рассмотрим выносные чертежи. ΔKBE~ ΔCDE по двум углам;

5. 4. Найдем площадь сечения и угол между плоскостями KDN и АВС. 1-й способ. 1. ΔECD: 2.  ΔMNC:

6. 3.  ΔECD — проекция ΔEND на плоскость АВС; по теореме о площади ортогональной проекции

7. 4.  ΔPNT~ ΔEND по двум углам;

8. 2-й способ. Введем декартову систему координат: D(0; 0; 0), направим координатные оси x, y, z по ребрам DA, DC, DD1 соответственно. Тогда точки будут иметь следующие координаты: E(3a; 2a; 0), N(0; 2a; 3a). Угол между плоскостями KDN и АВС можно найти, используя следующую теорему: «Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям». является вектором нормали к плоскости АВС.

9. Найдем вектор нормали к плоскости сечения: Воспользуемся скалярным произведением векторов:

10. По определению скалярного произведения векторов имеем: Площадь сечения можно искать, как в 1-м способе.

11. 3-й способ. Вектор нормали к плоскости сечения можно найти, используя уравнение плоскости, проходящей через точки E, N и D. 4-й способ. Площадь сечения можно найти, вычислив непосредственно длины оснований и высоту трапеции, лежащей в сечении. Для нахождения угла между плоскостями KDN и АВС можно воспользоваться теоремой о площади ортогональной проекции