Onde Elastiche

1. Onde Elastiche Taiwan data : 20/09/1999tempo : 17:47:19.0 GMTlatitudine : 23.78 °longitudine : 121.09 °profondità : 33 kmmagnitudo : 6.5 Mb

2. Foreword • Equazioni del moto • Descrizione della sorgente sismica • Teoria che leghi la descrizione della sorgente e le equazioni del moto • Ipotesi: • Sovrapposizione lineare del moto • Il moto sismico può essere determinato unicamente dalla combinazione • delle proprietà della sorgente e del mezzo di propagazione

3. Propagazione delle onde sismiche • Ingredienti: • Sforzo, deformazione • Legge di Hooke (comportamento elastico) • Equazione del moto • Ipotesi semplificative: • gli spostamenti associati alla propagazione delle onde sono di piccola entità • Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo “elastico” (ritorno alla posizione di equilibrio una volta rimossa la sollecitazione esterna)

4. Tensore gradiente di spostamento corpo elastico e isotropo Spostamento di P in P’ Spostamento di Q in Q’ Regime di elasticità lineare

5. Tensore delle deformazioni infinitesime Per ogni coppia di indici i,j rotazione rigida deformazione infinitesima Tensore delle deformazioni infinitesime L’effetto di una deformazione infinitesima su di un elemento linea dxi è quello di cambiare la posizione relativa dei suoi estremi di una quantità pari a eijdxj Il tensore delle deformazioni è simmetrico

6. Definizione di Sforzo n tn t tt t

7. j direzione della componente di sforzo i direzione della normale alla superficie considerata Tensore degli Sforzi Volume infinitesimo La condizione di elasticità lineare equivale a supporre il cubetto in uno stato prossimo all’equilibrio di conseguenza il momento associato agli sforzi agenti sul cubetto deve essere nullo: Il tensore degli sforzi è un tensore simmetrico Qualunque forza applicata su di una generica superficie può essere scritta come combinazione lineare delle componenti del tensore degli sforzi

8. plastico rottura elastico Legge di Hooke Legge di Hooke Relazione Costutiva Un corpo che obbedisce alla relazione costitutiva è lineare e elastico Per un materiale omogeneo e isotropo: in termini di deformazione in termini di spostamento

9. Equazioni del moto Cerchiamo una relazione tra accelerazione, forze di volume e sforzi agenti su di un volume V racchiuso da una superficie S. Bilancio delle forze agenti sul volume V Teorema della divergenza Bilancio delle forze scritto per componenti Equazione del moto

10. Equazione d’onda Legge di Hooke Equazione del moto

11. Teorema di Lamè Se il campo di spostamento soddisfa la condizione: E se le forze di volume e i valori iniziali di u e vengono espressi in termini di potenziali di Helmotz nulli Con Allora esistono due potenziali  e  per u con le seguenti proprietà: Onda P Onda S

12. Teorema di Reciprocità (Betti) Il teorema di reciprocità stabilisce una relazione tra una coppia di soluzioni per lo spostamento generate da diverse forze applicate condizioni al bordo su S condizioni iniziali t=0 condizioni al bordo su S condizioni iniziali t=0 generalmente diverse Il teorema del Betti non coinvolge condizioni iniziali per . È dunque valido anche se le quantità vengono valutate in un tempo t1=t e le quantità vengono valutate in un tempo t2=τ-t

13. Integriamo il Betti in un intervallo temporale (o,τ) Il termine di accelerazione si riduce ad un termine che dipende solo dal valore iniziale e finale del sistema se esiste un tempo τ0 in cui sono ovunque nulli attraverso il volume V e quindi allora : Campo di spostamento in condizione di passato quiescente

14. Funzione di Green per l’elastodinamica Il campo di spostamento generato da una sorgente impulsiva unidirezionale è la funzione di Green per l’elastodinamica . Impulso unitario applicato in direzione Gin(x,t;ξ,τ) la i-esima componente dello spostamento generato La funzione di Green è un tensore che dipende sia dalle coordinate sia della sorgente sia del ricevitore, e soddisfa l’equazione: Reciprocità Se le condizioni al bordo sono indipendenti dal tempo, il tempo origine può essere traslato: Se G soddisfa condizioni al bordo omogenee su S, sfruttando il teorema di Betti è possibile dimostrare che:

15. Teorema di Rappresentazione Campo di spostamento in condizione di passato quiescente Il teorema di rappresentazione è uno strumento che consente di sintetizzare lo spostamento generato da sorgenti realistiche a partire dallo spostamento generato dalla sorgente più semplice: un impulso unidirezionale, localizzato nello spazio e nel tempo

16. Teorema di Rappresentazione Superficie terrestre Piano di faglia Se lo scorrimento avviene su Σ, il campo di spostamento è discontinuo e l’equazione del moto non viene soddisfatta all’interno di S. Tuttavia è soddisfatta all’interno della superficie Continuità delle trazioni sulla superficie Σ Assenza di forze di volume Σ è scelta in modo tale che G sia continua su di essa assieme a tutte le sue derivate

17. Campo d’onda generato da una sorgente puntiforme con simmetria sferica Tempo di ritardo Se la sorgente si estende su di un volume V: Equazione di Poisson

18. Soluzione per la funzione di Green per l’elastodinamica in un mezzo omogeneo illimitato e isotropo Teorema di rappresentazione Troviamo i due potenziali per la forza tali che: Usiamo la soluzione dell’equazione di Poisson per costruire i potenziali

19. Il secondo passo per trovare lo spostamento è quello di risolvere l’equazione d’onda per i potenziali di Lamè La soluzione è data da:

20. La funzione di Green per lo spostamento dovuta ad una forza di volume X0(t) nella direzione x1 è dunque: Introducendo i coseni direttori: Termine di near field Far-Field onde S Far-Field onde P

21. Proprietà del campo far-field onda P • Si attenua come r-1 • Ha una forma d’onda che dipende dalla combinazione spazio-temporale t-r/α, si propaga con una velocità pari ad α • La forma d’onda è proporzionale alla forza applicata al tempo di ritardo • La direzione dello spostamento uP in x è parallela alla direzione γ dalla sorgente. Il campo d’onda far-field per l’onda P è longitudinale: il moto delle particelle ha la stessa direzione del verso di propagazione

22. Proprietà del campo far-field onda S • Si attenua come r-1 • Ha una forma d’onda che dipende dalla combinazione spazio-temporale t-r/β, si propaga con una velocità pari ad β • La forma d’onda è proporzionale alla forza applicata al tempo di ritardo • La direzione dello spostamento uS in x è perpendicolare alla direzione γ dalla sorgente. Il campo d’onda far-field per l’onda S è trasversale: il moto delle particelle è normale alla direzione di propagazione