反比例函数与几何面积问题

反比例函数与几何面积问题

问题：如图，已知点P（x ，y）是反比例函数y= （k>0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x 轴于A，且 =6探究 1：求k 的值。 1 1 y P O A x

解：∵点P（ , ）在y= 上 ∴k= 依题意有OA=| | ， PA=| | ∴ = ·OA·PA= | |= |k|=6 ∵k>0 ∴k=12

小结：反比例函数 y= (k≠0)图象上一点P（x，y）向 x 轴作垂线，垂足为A ，则构成△POA的面积为 |k| ，即当k 一定时，也为定值。 y P O A x

问题：如图，已知点P（， ）是反比例函数y= （k>0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x 轴于A，且 =6 探究2：延长PO与双曲线交于另一点Q （，），过点Q作QB⊥x 轴于B，求证：OP=OQ y P B O A x Q

另类做法： 证明：当k=12 时，有y = ① 设过点P直线为 y= x（ >0）② 将②代入①有 = x,即 -12=0 ③ 依题知、是方程③的两根。∴ + =0 而 =OA， = - OB ∴OA-OB=0，即OA=OB 又∵∠OBQ=∠PAO=90°，∠QOB=∠AOP ∴ △OBQ≌△OAP，∴OP=OQ

小结：若反比例函数 y = (k≠0)与正比例 函数 y = x ( ≠0) 存在两个交点P( , )，Q（，），则点P与点Q关于原点对称。 y P B O A x Q

探究3：延长BQ至点C，过点C作CD⊥y 轴于D，交双曲线于点E，连接QE、BD、QD、BE， ①求△BQD和△BDE的面积。 ② 试探索QE与BD是什么位置关系？为什么？ y P B O A x Q C D E

y P B A O x Q D C E

y P B A O x Q C D E

①依题意可知四边形BCDO为矩形， ∴OB=CD ∴ = ·BQ·CD= ·BQ·OB= = 6 连接OE ∴ CD∥OB ∴ = = |K|= ×12=6

② 试探索QE与BD是什么位置关系？为什么？ y B P B O A x Q Q C D E E D

y B P B M O A x Q Q C N D E E D

②位置关系：QE∥BD 理由：作QM⊥BE于M，EN⊥BD于N， ∴QM∥EN 而 = =6 即 ·BD·QM= ·BD·EN ∴ QM=EN ∴四边形 ENMQ为平行四边形 ∴ QE∥BD

小结如图，若过点A作AB⊥x 轴于 B，AC⊥y轴于C，分别交双曲线 y= (k≠0)于点D、E，则有DE∥BC。 y y E A C D D O B O B x x E A C

再见

反比例函数与几何面积问题

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