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纠错码 —— 原理与方法

纠错码 —— 原理与方法. 有关事项. 目的：了解信道编码的 作用与意义 ，对信道编码的研究方法和成果有广泛的基本认识，学会 应用 ，为进一步研究打下基础 特点：以概念和物理意义为主，数学推导尽量放到课外 考核形式：论文 / 计算机仿真 + 开卷考试 参考书： “ 纠错码 —— 原理与方法 ”，王新梅， 西安电子科技大学出版社 ，高等学校教材； “ 差错控制编码（第二版） ” , Shu Lin ， Daniel J.Costello, 机械工业出版社 ，电子与电气工程丛书）. 其他有关事项.

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纠错码 —— 原理与方法

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  1. 纠错码——原理与方法

  2. 有关事项 • 目的：了解信道编码的作用与意义，对信道编码的研究方法和成果有广泛的基本认识，学会应用，为进一步研究打下基础 • 特点：以概念和物理意义为主，数学推导尽量放到课外 • 考核形式：论文/计算机仿真+开卷考试 • 参考书： “纠错码——原理与方法”，王新梅，西安电子科技大学出版社，高等学校教材； “差错控制编码（第二版）”, Shu Lin，Daniel J.Costello, 机械工业出版社，电子与电气工程丛书）

  3. 其他有关事项 • 课外阅读，以turbo code，LDPC code，喷泉码，polar码为引子 • 论文与编程：五年内的国外期刊，以一两篇为主，结合自己的理解，按电子学报论文形式，有创见更好，可以与编程结合。编程内容在随后的课程中出题目。占50% • 考试：基本概念，50% • 联系方式：email: rsun@mail.xidian.edu.cn

  4. 第1章 纠错码基本概念 • 什么是纠错码？为什么要引入纠错码？纠错码在通信系统中起什么作用？ • 如何实现纠错码？ • 如何衡量纠错码的纠错能力及性能？ • 纠错码的发展概况

  5. 1.1 纠错码的作用

  6. 数字通信系统模型

  7. 数字通信系统的简化模型

  8. 信源、信道与信道编码 • 信源：实时性与非实时性，可变速率，多媒体 • 信道：离散与连续，时变与非时变，有记忆与无记忆 • 常见信道：模拟基带信道、射频信道、存储器等 • 不同的信源和信道类型所对应的最佳编码方案是不同的。 • 信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射 • 复接、代数编码、调制、成形滤波、扩频、上下变频等等都属于广义的信道编码范畴

  9. 信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射

  10. 信 道 • 信道实际上也是从发空间X到收空间Y一个映射函数 • 发空间的维数n与收空间的维数m可以不等 • 根据收发空间中每一维所取的数域有限或无限可分为离散信道和连续信道 • 这里借用了空间的名称，但只用到了它的集合概念而没有用到空间中的运算

  11. 信道特性的描述 • 离散信道 • 可用转移概率律描述：P(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)X, b=(b1,b2,...bm)Y,均为矢量（或n(m)重符号）

  12. 信道特性的描述 • 连续信道 • 可用转移概率密度函数描述：p(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)X, b=(b1,b2,...bm)Y, 均为矢量（或n(m)重符号） • 根据奈奎斯特采样定理，带限的时域连续波形可以用采样序列描述。

  13. 无记忆信道 • 离散信道 • 当m=n，且P(y=b|x=a)=P(y1|x1)P(y2|x2)...P(yn|xn) 时，各维的收符号只与相应的发符号有关，称为无记忆离散信道，简写为DMC • 连续信道 • 当m=n，且p(y=b|x=a)= p(y1|x1)p(y2|x2)...p(yn|xn) 时，各维的收符号只与相应的发符号有关（无符号间串扰），称为无记忆连续信道 • 非时变信道 • 当各因子具有相同的转移概率形式时

  14. 有记忆信道 • 实际的连续信道通常会有符号间串扰（ISI），因此是有记忆的，但在一种较常见的特殊情况下，即在加性平稳白高斯噪声下的线性信道（y=Ax+n）时，可以等效于一个无记忆信道。

  15. 有记忆信道的无记忆化 对A作线性变换使正交化得：A=UTU，其中为A的特征值矩阵。代入得 y= UTUx+n，令x=UTx’，y’=UTy，n=UTn’，则有y’=x’+n’。于是对x’和y’而言就形成了一个无记忆信道。由于U为正交变换，不会产生信息量丢失，因此可以认为X’-Y’信道与X-Y信道是等价的。于是我们就可以直接利用有关无记忆信道的编码了。

  16. 信道模型 • 离散无记忆信道DMC

  17. 二进制信道 二进制信道

  18. DMC信道 DMC信道

  19. 二进制删除信道 二进制删除信道

  20. 二进制纯删除信道 二进制纯删除信道

  21. 错误类型 • 随机错误——随机错误信道：深空信道，卫星信道等 • 突发错误——突发错误信道：无线信道，电缆传输（开关脉冲噪声，串音），磁记录信道 • 混合错误——混合信道

  22. 收 发 可纠正错误的码 FEC 收 发 能够发现错误的码 ARQ 应答信号 收 发 能够发现和纠正错误的码 HEC 应答信号 差错控制系统分类

  23. 纠错码的基本原理 ——纠错码如何纠正错误？

  24. 引入信道编码 • 检错和纠错：对付信道引入的差错 • 直观的译码准则：最小距离译码 • Shannon第二定理 • 当信息速率R小于信道容量C时，总存在一种编码方式使差错率低于任一给定值e • 接近信道容量

  25. 许用码字 重复码 • 00…00 • 11…11 • 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为n，信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效率(码率)R=1/n

  26. 0.9 0 0 0.1 0.1 1 1 0.9 BSC信道 n=2时 许用码组：00，11 禁用码组：01，10 能够发现一个错误，但不能纠正错误 n=3时 许用码组：000，111 禁用码组：001, 010, 100, 011, 101, 110 能够纠正一个错误，发现两个错误

  27. n=4时 许用码组：0000，1111 禁用码组：0001, 0010, 0100, 1000, 0011, 0101, 0110, 1100, 1001, 1010, 0111, 1101, 1110, 1011 译码正确 译码失败 译码错误 能够纠正一个错误同时发现两个错误 发现三个错误

  28. 译码失败：译码器根据接收到的信号无法作出明确判断译码失败：译码器根据接收到的信号无法作出明确判断 译码错误：译码器根据接收到的信号作出错误判断 完备译码：根据接收信号，译码器一定能作出是哪 一组信息的判断 不完备译码

  29. 有编码系统和无编码系统 • 调制也是一种编码 • 广义地讲，实际系统中都有信道编码，而现实中常分为编码和调制两块，前者负责离散编码，后者负责将离散符号变成波形，这样才有无编码系统及编码增益等概念 • M进制正交编码加BPSK调制的性能与无编码的M进制正交FSK是完全一致的。

  30. 信道编码的作用 • 信道编码的作用：在资源、可靠性和传信量之间选择一个好的工作点（有时还要考虑延时）。 • 资源指的提供信息传输所付出的代价 • 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括实现复杂度 • 一个好的编码就是要充分利用资源，传递尽可能多的信息

  31. 三种情形： • 给定资源和可靠性要求，通过信道编码尽量提高传输速率 • 给定对信息传输的速率和可靠性要求，通过信道编码尽量减少资源开销 • 给定资源和传输速率，通过编码提高可靠性

  32. 编码的实质——利用冗余降低差错概率 • 将所有可能的输入信息（消息）映射到信道符号（波形）空间的点，而这个点的集合要小于（包含于）全信道空间中。

  33. 编码与构造编码 • 编码：针对当前要传的消息，根据映射规则，确定当前要发哪一个波形（矢量） • 构造编码：寻找并建立映射规则 • 编码设计准则——最佳译码时的差错概率（最佳译码有可能做不到） • 自由距最大化准则——一种最常用的编码构造准则

  34. 纠错码如何纠正错误？ 在信息序列之后按照一定的规则添加一定长度的保护比特(校验比特或监督比特)

  35. 几个基本概念

  36. 许用码组和禁用码组 译码错误和译码失败 完备译码和不完备译码 错误图样 汉明距离和重量 码纠错能力判断 编码增益 最大似然译码 最大后验概率译码

  37. 错误图样 Example 发送序列C: (1111011000) 接收序列R: (0110010110) 比较C和R，可写出另一个序列E：1001001110 序列E定义为错误图样(Error Pattern) R = C + E

  38. 汉明距离和重量 • 汉明距离：给定两个序列C1和C2，它们对应位取值不同的个数称为C1和C2的汉明距离。C1=10101, C2=01111, d(C1,C2)=3 • 汉明重量：序列C中非零码元的个数 w(C1)=3, w(C2)=4 • 最小汉明距离：(n, k)分组码中，设任意两个码字之间距离的最小值为d0，则d0定义为该分组码的最小汉明距离

  39. 码纠错能力的判断 • 任一(n, k)分组码，若要在码字内： 1) 检测e个随机错误，则要求码的最小汉明距离d0>=e+1 2) 纠正t个随机错误，则要求d0>=2t+1 3) 纠正t个随机错误，同时检测e (e>=t)个错误，则要求d0>=e+t+1 4) 纠正t个随机错误和ρ个删除，则要求 d0>=2t+ρ+1

  40. 性能的衡量——编码增益 • 在一个码率为R的编码通信系统中，为传输每个信息比特需要传输符号的数目为1/R，若每个传输符号的能量为Es，则每个信息比特对应的能量Eb为：Eb=Es/R • 编码阈值 • 给定性能前提下， 编码增益=未编码时需要的信噪比(dB) – 编码时需要的信噪比(dB)

  41. 信道编码定理 • 每个信道具有确定的信道容量，对任何小于C的码率R，存在有速率为R码长为n的分组码及(n0,k0,m)卷积码，若用最大似然译码，随着码长的增加其译码错误概率p可以任意小。

  42. E(R) C1>C2 0 R C1 C2 信道容量 • 在高斯白噪声信道时，信道容量

  43. 性能的衡量——香农限 软判决条件下，BPSK调制，AWGN信道香农限

  44. 各种码的性能比较

  45. 译码准则 • 首先说明，译码本身是一种信息处理，肯定会引入一定的信息损失，但最重要的是尽量正确地恢复原始信息。 • 最大后验概率 • 最大似然 • 序列译码

  46. 几种基本的译码方法 问题： MC R 如何根据接收信号R估计发送序列C’,进而估计信息序列M’ 设计译码算法的原则：使译码错误概率最小

  47. 最大后验概率译码

  48. 最大似然译码

  49. 信道编码的分类

  50. 纠错码的发展概况 • 通信的数学理论，Shannon(1948) • 汉明码，Hamming (1950) • 级连码，Forney(1966) • 卷积码及有效译码, (60年代) • RS码及BCH码的有效译码(60年代) • TCM，Ungerboeck(1982),Forney(1984) • Turbo码，Berrou(1993) • LDPC 码，Gallager(1963),Macky(1996) • 空时编码,Tarokh(2000) • 网络编码，纠错码范畴？ • Polar码，E.Arikan, 2009

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