Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη , PhD Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ

1. Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη, PhD Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ Χειμερινό Εξάμηνο2011-2012 ΔΧ ΔΧ 1

2. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ • Ανάλυση - Σχεδιασμός Πειραμάτων • y = y(x1, x2, …) – y: απόκριση(response), xi , i=1, 2, …: παράγοντες (factors) • Παραδοσιακός σχεδιασμός: ομάδες πειραμάτων (αριθμ. ομάδων > αριθμός παραγόντων) στα οποία ένας μόνο παράγοντας, ο ίδιος για κάθε ομάδα, μεταβάλλεται • DOE: όλοι οι παράγοντες μεταβάλλονται συγχρόνως σε κάθε πείραμα. Μόνο το DOE • δίνει όρους αλληλεπίδρασης, xixj, i≠ j. Παράδειγμα: y = y(x1 , x2) = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b12 x1 x2 ΔΧ

3. Μόνο το DOEκαι όχι ο παραδοσιακός σχεδιασμός οδηγεί στη σωστή βελτιστοποίηση • Το DOE επιλογής (screening DOE) είναιDOE δύο επιπέδων: ο κάθε παράγοντας, xi, i=1, 2, …, παίρνει 2 τιμές, μια χαμηλή, Xi-ή xi-= -1, και μιαυψηλή, Xi+ή xi+= +1. • Xi-, Xi+: φυσικές ή μη κωδικοποιημένες τιμές, xi-, xi+: κωδικοποιημένες τιμές • Αν οι φυσικές τιμές παριστάνονται με Χ (κεφαλαίο) και οι κωδικοποιημένες με x(μικρό), ο μετασχηματισμός από τη μία κατηγορία στην άλλη γίνεται με βάση τη σχέση x = [Χ – (Χ+ + Χ-)/2] / [ (Χ+ - Χ-)/2] • Για το Σχεδιασμό Πειραμάτων (DOE), προτιμάται η χρήση κωδικοποιημένων τιμών για τους παράγοντες γιατί το μοντέλο που προκύπτει είναι ακριβές. Αυτό συμβαίνει για δύο λόγους : (α) οι παράγοντες σε κωδικοποιημένες τιμές είναι ορθογώνιοι, και (β) οι επιδράσεις των διαφόρων παραγόντων (συντελεστές του μοντέλου) είναι συγκρίσιμες ΔΧ

4. Μοντέλο Παλινδρόμησης Είναι εύκολο να ανακτήσει κανείς τα υπόλοιπα από ένα 2kσχεδιασμό με προσαρμογή μοντέλου παλινδρόμησης στα δεδομένα. To μοντέλο παλινδρόμησης είναι y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + ε όπου οι παράγοντεςΑ και Β αντιπροσωπεύονται από τις μεταβλητέςx1 καιx2, και η αλληλεπίδρασηΑΒ αντιπροσωπεύεται από τον όρο x1x2 Για τους συντελεστές ισχύει β0 = μέσος όλων των μετρήσεων βi, i=1,2 = (Επίδραση του όρου xi)/2 β12 = (Αλληλεπίδραση του όρου x1x2)/2 ΔΧ

5. b ab Υψηλό (+) Β (1) Χαμηλό (-) a Χαμηλό (-) Υψηλό (+) Α Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο, Μεk παράγοντες και 2επίπεδα τιμών Με δυο παράγοντες, Α και Β, τον καθένα σε δυο επίπεδα τιμών, «χαμηλό» και «υψηλό» ή «+» και «-», το σχέδιο αυτό παριστάνεται από ένα τετράγωνο με 22 = 4δοκιμές (trials) πειράματος/μέτρησης στις γωνίες του τετραγώνου. Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει το τετράγωνο και τον πίνακα δοκιμής (test matrix) Κάθε δοκιμή παριστάνεται από ένα μικρό χαρακτήρα (όχι κεφαλαίο), π.χ., a, b Άν ένα γράμμα είναι σε συγκεκριμένη γωνία, ο αντίστοιχος παράγοντας έχει την «υψηλή» του τιμή για τη δοκιμή που παριστάνεται από το γράμμα αυτό. Αντο γράμμαλείπει από τη γωνία, ο παράγοντας έχει «χαμηλή» τιμή για τη συγκεκριμμένη δοκιμή, π.χ., για τη δοκιμή aοι παράγοντες Α και Β είναι στό «υψηλό» και «χαμηλό» επίπεδο, αντίστοιχα Η δοκιμή με τους δυο παράγοντες σε χαμηλό επίπεδο παριστάνεται από το (1) Η σημειολογία αυτή ισχύει για κάθε 2k σχεδιασμό, π.χ.,για το 24 σχέδιο, η δοκιμή με Α και Cστο «υψηλό»επίπεδο καιΒ και Dστο «χαμηλό»επίπεδο, παριστάνεται από το αc Οι χαρακτήρες(1), a, b, και ab παριστούν επίσης τα αθροίσματα όλων των n δοκιμών στα συγκεκριμένα σημεία του σχεδίου ΔΧ

6. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο Για να υπολογίσουμε τήν κύρια επίδρασηΑ, υπολογίζουμε το μέσο των μετρήσεων στη δεξιά πλευρά του τετραγώνου, όταν το Α είναι σε «υψηλό» επίπεδο, και αφαιρούμε απ αυτό το μέσο των μετρήσεων στην αριστερή πλευρά του τετραγώνου όπου το Α είναι σε «χαμηλό» επίπεδο, δηλ Παρόμοια για τήν κύρια επίδραση Β Για την αλληλεπίδραση ΑΒ, παίρνουμε τη διαφορά των μέσων στις διαγώνιες n = αριθμός δοκιμών πειράματος/μέτρησης Οι ποσότητες που περικλείονται στις αγκύλες λέγονται αντιθέσεις (contrasts). Για πάραδειγμα, η αντίθεση του Α είναι:ΑντίθεσηΑ= a + ab – b – (1) Ο πίνακας με «συν» και «πλην» που ακολουθεί, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορισθεί το πρόσημο σε κάθε δοκιμή για συγκεκριμένη αντίθεση. Οι ονομασίες των στηλών στον πίνακα αυτό είναι οι κύριες επιδράσειςΑ και Β, η αλληλεπίδρασηΑΒ, και η στήλη ταυτότητας, Ι. Οι ονομασίες των σειρών είναι οι δοκιμές. Να σημειωθεί ότι τα πρόσημα στην ΑΒ στήλη είναι γινόμενα των προσήμων από τις στήλες Α και Β b ab Υψηλό (+) Β (1) Χαμηλό (-) a Χαμηλό (-) Υψηλό (+) Α ΔΧ

7. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο Επίδραση Παραγόντων Για να παραχθεί μια αντίθεση Δοκιμή Ι Α Β ΑΒ από αυτό τον πίνακα, πολλα- 1(1) + - - + πλασιάζονται τα πρόσημα στην 2 a + + - - κατάλληλη στήλη του πίνακα με 3 b + - + - τις δοκιμές (μικρά γράμματα) 4ab + + + + που απαριθμούνται στις σειρές και προσθέτονται ΔΧ

8. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Το παραγοντικό σχέδιο με k = 2 παράγοντες και κάθε παράγοντα για 2 επίπεδα τιμών μπορεί να επεκταθεί σε περισσότερους απο 2 παράγοντες. Για παράδειγμα, όταν k = 3, το σχέδιο για το πείραμα περιλαμβάνει 8 δοκιμές (του πειράματος) που σχηματίζουν τις γωνίες κύβου. Η επόμενη εικόνα, εκτός από τον κύβο, δείχνει και τον πίνακα δοκιμών (test matrix). ΔΧ ΔΧ 8

9. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Υπενθυμίζεται ότι τα μικρά γράμματα (1), α, b, αb, c, αc, bc και αbc παριστάνουν το άθροισμα των n μετρήσεων για καθεμιά από τις 8 δοκιμές του πειράματος. Από τον κύβο, μπορεί κανείς να υπολογίσει τη μέση επίδραση του Α, με υπολογισμό του μέσου των 4 δοκιμών (του πειράματος) στη δεξιά και 4 δοκιμώνστην αριστερή πλευρά του κύβου, όπου το Α είναι σε υψηλό και χαμηλό επίπεδο, αντίστοιχα, και αφαίρεση των 2 μέσων Το ίδιο γίνεται και με τόν άλλο παράγοντα Β που είναι η μέση διαφορά των 4 δοκιμών στην πίσω και 4 δοκιμώνστη μπροστινή όψη του κύβου καθώς καί τον παράγοντα Cπου είναι η μέση διαφορά μεταξύ των 4 δοκιμώνστην πάνω και 4 δοκιμώνστην κάτω όψη του κύβου Η πρώτη σειρά της εικόνας που ακολουθεί δείχνει τις κύριες επιδράσεις των τριών παραγόντων ΔΧ ΔΧ 9

10. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 ΔΧ ΔΧ 10

11. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Όταν το Cείναι σε χαμηλό επίπεδο,η αλληλεπίδρασηΑΒ είναι απλά η μέση διαφορά της επίδρασης Α στα δυο επίπεδα τιμών του Β, Όταν το Cείναι σε υψηλό επίπεδο,η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι Η αλληλεπίδρασηΑΒ είναι απλά η διαφορά των μέσων στα δυο διαγώνια επίπεδα του κύβου ( αριστερός κύβος στη μεσαία σειρά της εικόνας) Με παρόμοιο τρόπο, βλέπουμε από τη μεσαία σειρά της εικόνας ότι ΔΧ ΔΧ 11

12. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Η αλληλεπίδρασηΑΒC είναι η μέσηδιαφορά μεταξύ της ΑΒ αλληλεπίδρασης στα δυο επίπεδα τιμών του C Oι ποσότητες στίς αγγύλες των διαφόρων εξισώσεων είναι οι αντιθέσεις στους 8 συνδυασμούς παράγοντα και επιπέδου τιμών. Τα πρόσημα για τις κύριες επιδράσεις, στήλες Α, Β, και C, ανακτώνται αν το «συν» συνδεθεί με το υψηλό επίπεδο και το «πλην» με το χαμηλό. Τα πρόσημα για τις υπόλοιπες στήλες ανακτώνται με πολλαπλασιασμό των προσήμων των κατάλληλων στηλών που προηγούνται, ανά σειρά Συνδυασμός Παραγοντικές Επιδράσεις Επεξεργασίας Ι Α Β ΑΒ C ΑC ΒC ΑΒC (1) + - - + - + + - a + + - - - - + + b + - + - - + - + ab + + + + - - - - c + - - + + - - + ac + + - - + + - - bc + - + - + - + - abc + + + + + + + + ΔΧ ΔΧ 12

13. Ανάλυση • Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 • O παραπάνω πίνακας έχει μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες: • Eκτός από τη στήλη ταυτότηταςΙ, κάθε στήλη έχει ίδιο αριθμό «συν» και «πλην», • Το άθροισμα των γινομένων των προσήμων σε οποιεσδήποτε δυό στήλες είναι μηδέν, δηλ., οι στήλες είναι ορθογώνιες, • Πολλαπλασιασμός οποιασδήποτε στήλης με τη στήλη Ι αφήνει την πολλαπλασιαζόμενη στήλη αμετάβλητη, δηλ., Ι είναι στοιχείο ταυτότητας, • Το γινόμενο δυο οποιονδήποτε στηλών παράγει μια στήλη του πίνακα, π.χ., Α x B = AB, • και ΑΒ x ΑΒC = A2B2C = C, γιατί κάθε στήλη που πολλαπλασιάζεται με τον εαυτότης είναι στήλη ταυτότητας ( Ι ) • Ο υπολογισμός οποιασδήποτε κύριας επίδρασης ή αλληλεπίδρασης γίνεται με • πολλαπλασιασμό των συνδυασμών παράγοντα και επιπέδου στην πρώτη στήλη του πίνακα • με τα πρόσημα στην αντίστοιχη στήλη κύριας επίδρασης ή αλληλεπίδρασης, άθροιση των • αποτελεσμάτων για να δημιουργηθεί η αντίθεση, και διαίρεση της αντίθεσης με το μισό • του ολικού αριθμούδοκιμών του πειράματος. Με αυτό τον τρόπο • Επίδραση = Αντίθεση / (n2k-1) • SS = (Αντίθεση)2/(n2k) ΔΧ ΔΧ 13

14. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Παράδειγμα Γίνεται ένα πείραμα για να μελετηθεί η επιφανειακή επίστρωση ενός μεταλλικού αντικειμένου. Το πείραμα είναι 23 παραγοντικός σχεδιασμός με παράγοντες Το ρυθμό τροφοδοσίας (Α), το βάθος περικοπής (Β), και τη γωνία (κλίση) του εργαλείου (C), με n = 2μετρήσεις. Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει τα δεδομένα της επιφανειακής επίστρωσης για το πείραμα, και το σχέδιο φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί Παράγοντες σχεδίου Επανάληψη Α Β C Eπιφανειακή Επίστρωση Άθροισμα 1 (1) -1 -1 -1 9, 7 16 2 a 1 -1 -1 10, 12 22 3 b -1 1 -1 9, 11 20 4 ab 1 1 -1 12, 15 27 5 c -1 -1 1 11, 10 21 6 ac 1 -1 1 10, 13 23 7 bc -1 1 1 10, 8 18 8 abc 1 1 1 16, 14 30 ΔΧ ΔΧ 14

15. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Παράδειγμα ΔΧ ΔΧ 15

16. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 ΠαράδειγμαΗ κύρια επίδραση και το άθροισμα τετραγώνωντουΑ είναι Οι άλλες επιδράσεις και αθροίσματα τετραγώνων είναι: Β = 1.625 SSB = 10.5625 C = 0.875 SSC = 3.0625 AB = 1.375 SSAB = 7.5625 AC = 0.125 SSAC = 0.0625 BC = -0.625 SSBC = 1.5625 ABC = 1.125 SSABC = 5.0625 Aπό την εξέταση του μεγέθους των επιδράσεων, ο ρυθμός τροφοδοσίας (Α) είναι καθαρά η πιο σημαντική, ακολουθούμενη από το βάθος περικοπής (Β) και την ΑΒ αλληλεπίδραση, αν και η αλληλεπίδραση είναι σχετικά μικρή. Η ανάλυση μεταβλητότητας για το πλήρες παραγοντικό μοντέλο δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. Με βάση τις Ρ-τιμές, είναι προφανές ότι ο ρυθμός τροφοδοσίας (Α) είναι πολύ σημαντικός. ΔΧ ΔΧ 16

17. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Παράδειγμα Η ΑΝΟVΑ που παρουσιάζεται στον παραπάνω πίνακα δίνει F-λόγους που υπολογίζονται από σημαντικούς όρους του μοντέλου, κύριες επιδράσεις, αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων, και αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων. Το ίδιο σχέδιο αναλύεται από το λογισμικό ΜΙΝΙΤΑΒ και τα αποτελέσματα δίνονται στην επόμενη διαφάνεια. Αν και οι δυο πίνακες, ο ένας από την ΑΝΟVΑ κι ο άλλος από το λογισμικό ΜΙΝΙΤΑΒ φαίνονται να είναι κάπως διαφορετικοί, δίνουν τις ίδιες πληροφορίες. Το μέσο τετράγωνο για κάθε ομάδα όρων ανακτάται με συνδυασμό των αθροισμάτων των τετραγώνων για κάθε μεταβλητή στο μοντέλο και διαίρεση με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας που συνδέονται με αυτή την ομάδα όρων του μοντέλου. ΄Ενα t-τέστ χρησιμοποιείται για να εξεταστεί η σημαντικότητα κάθε όρου στο μοντέλο, ξεχωριστά. Υπολογισμός των συντελεστών στο μοντέλο παλινδρόμησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει την επιφανειακή επίστρωση σαν συνάρτηση των μεταβλητών στο πλήρες παραγοντικό μοντέλο ΔΧ ΔΧ 17

18. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Παράδειγμα ΔΧ ΔΧ 18

19. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Παράδειγμα Η t-τιμή υπολογίζεται από τη σχέση t0 = β̂ / s.e. (β̂ ) όπου β̂ είναι η προσέγιση του συντελεστή και s.e. (β̂ ) το υπολογιζόμενο τυπικό σφάλμα του συντελεστή. Για το 2kπαραγοντικό σχέδιο, το υπολογιζόμενο τυπικό σφάλμα του συντελεστή είναι s.e. (β̂ )= √[σ̂2/(n2k)] Στο παράδειγμα μας s.e. (β̂ )= √2.4375/(2(23))= 0.390312 Αν οποιαδήποτε προσέγγιση συντελεστήδιαιρεθεί με το υπολογιζόμενο τυπικό σφάλμα, το αποτέλεσμα είναι η t-τιμήγια να εξεταστεί αν ο αντίστοιχος συντελεστής παλινδρόμησης είναι μηδέν. Τα t-τεστ της παλινδρόμησης είναι ισοδύναμα με τα F-τέστ της ΑΝΟVA. Αυτό δείχνουν και οι Ρ τιμές στους δυο πίνακες που είναι σχεδόν ίδιες Επίσης, το τετράγωνο οποιασδήποτε t-τιμής παράγει την τιμή του αντίστοιχου F-λόγου. Γενικά, το τετράγωνο μιας τυχαίας t μεταβλητής με ν βαθμούς ελευθερίας καταλήγει σε μια τυχαίαμεταβλητή F με ένα βαθμό ελευθερίας στον αριθμητή και ν βαθμούς ελευθερίαςστον παρονομαστή Με βάση τα αποτελέσματα της ΑΝΟVA για το πείραμα της επιφανειακής επίστρωσης, συμπεραίνεται ότι το πλήρες παραγοντικό μοντέλο με όλους τους όρους δεν είναι απαραίτητο. Ένα μοντέλο με λιγότερες μεταβλητές είναι επαρκές. Οι κύριες επιδράσειςΑ και Β έχουν και οι δύο μικρές σχετικά Ρ-τιμές (< 0.10) 8-5-2009 ΔΧ ΔΧ 19

20. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Παράδειγμα Η αλληλεπίδρασηΑΒ είναι είναι η αμέσως επόμενη σημαντικότερη επίδραση (Ρ-τιμή = 0.12). Το μοντέλο παλινδρόμησης που χρησιμοποιούμε για αυτή τη διεργασία είναι y = β0 + β1x1+ β2x2+ β12 x1x2+ ε όπου x1παριστάνει το Α, x2παριστάνει το Β, και x1 x2την αλληλεπίδραση ΑΒ. Οι συντελεστές παλινδρόμησης είναι ο ολικός μέσος και το ήμισυ των προσεγγιστικών τιμών των αντιστοίχων επιδράσεων. Κατ’ αυτό τόν τρόπο ŷ= 11.0625 + (3.375/2)x1+ (1.625/2)x2+ (1.375/2)x1x2 = 11.0625 + 1.6875x1 + 0.8125x2 + 0.6875x1x2 Οι τιμές των μπορούν να βρεθούν απευθείας από τον πίνακα με τα αποτελέσματα του ΜΙΝΙΤΑΒ. Το μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για υπολογισμό της επίστρωσης της επιφάνειας σε κάθε σημείο του σχεδίου, π.χ., για x1=x2= -1, η υπολογισθείσα τιμή είναι ŷ = 11.0625 + 1.6875(-1) + 0.8125(-1) + 0.6875(-1) (-1) = 9.25 Τα υπόλοιπα μπορεί να ανακτηθούν σαν διαφορές μεταξύ μετρηθέντων και υπολογισθέντων τιμών της επίστρωσης επιφανείας σε κάποιο σημείο του σχεδίου. Στο σημείο όπου και οι τρείς παράγοντες, Α, Β, και Cείναι σε χαμηλό επίπεδο,οι τιμές της επιφανειακής επίστρωσης είναι 9 και 7, και τα υπόλοιπα 9 – 9.25 = -0.25 και 7 – 9.25 =2.25 . Ένα διάγραμμα κανονικής πιθανότητας για τα υπόλοιπα δίνεται στην διαφάνεια που ακολουθεί. Επειδή τα υπόλοιπα, κατά προσέγγιση, είναι πάνω σε μια ευθεία γραμμή, θεωρείται ότι υπάρχει κανονικότητα στα δεδομένα. Δεν υπάρχουν ενδείξεις για τιμές που δεν ανήκουν στην ίδια ομάδα (outliers) ΔΧ ΔΧ 20

21. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Παράδειγμα Είναι χρήσιμο να παρασταθούν τα υπόλοιπα σαν συνάρτηση των προβλεπόμενων τιμών ή των παραγόντων Α, Β και C. Αυτά τα διαγράμματα δεν δείχνουνπιθανάπροβλήματα Eπειδή οι κύριες επιδράσεις Α και Β είναι θετικές, και επειδή μικρές τιμές της απόκρισης (επιφανειακή επίστρωση) είναι προτιμητέες, οι τιμές των Α (ρυθμός τροφοδοσίας) και Β (βάθος εγκοπής) πρέπει να καθοριστούν σε χαμηλό επίπεδο. Επειδή όμως το μοντέλο έχει μια αλληλεπίδραση, πρέπει η αλληλεπίδραση να ληφθεί υπ όψιν όταν συνάγονται συμπεράσματα. Ο κύβος στο παράπανω διάγραμμα δείχνει ότι η επιφανειακή επίστρωση παίρνει τις χαμηλότερες τιμέςόταν Α και Β είναι στο χαμηλό τους επίπεδο ΔΧ ΔΧ 21

22. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Στο παράδειγμα της επιφανειακής επίστρωσηςχρησιμοποιήθηκε μοντέλο παλινδρόμησης (regression model). Γενικά, το μοντέλο παλινδρόμησης έχει τη μορφή y = β0 +β1x1 + β2x2 +... βkxk+ ε όπου y είναι η μεταβλητή απόκρισης, {x1, x2 ,...., xk} είναι το σύνολο των μεταβλητών παλινδρόμησης ή πρόβλεψης (regressoror predictor variables), β0, β1,...,βkείναι οι συντελεστές παλινδρόμησης, και ε το σφάλμα που έχει κανονική κατανομή με μέσο0 και διασποράσ2 Στο παράδειγμα με k = 2, συμπεριλήφθηκε και ο όρος της αλληλεπίδρασης y = β0 +β1x1 + β2x2 +β12x1 x2 + ε Στη γενική περίπτωση οι συντελεστές παλινδρόμησης υπολογίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, δηλ., τη μέθοδο στην οποία οι συντελεστές παλινδρόμησης επιλέγονται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα τετραγώνων των λαθώνε. Στην ειδική περίπτωση του 2k σχεδίου, είναι πολύ εύκολο να βρή κανείς τους συντελεστές βk , γιατί απλά ο κάθε συντελεστής είναι το ήμισυ της προσεγγιστικής τιμής της επίδρασης του αντίστοιχου παράγοντα. Αυτό προϋποθέτει ότι οι παράγοντεςxπαίρνουν κωδικοποιημένες τιμές -1 και +1 Το διάγραμμα του κύβου με τις προβλεφθείσες τιμές της απόκρισης χρησιμοποιείται για να βρεθούν οι κατάλληλες ρυθμίσεις για το ρυθμό τροφοδοσίας και το βάθος της εγκοπης στο παράδειγμα επιφανειακής επίστρωσης. Το μοντέλο παλινδρόμησης που περιγράφει την επίστρωση, αν ο όρος αλληλεπίδρασης παραλειφθεί, είναι ŷ = 11.0625 +1.6875x1 + 0.8125x2 8-5-2009 ΔΧ ΔΧ 22

23. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Η αλληλεπίδραση μπορεί να παραλειφθεί μόνον αν οι μεταβλητές στο σχεδιασμό πειραμάτων είναι ορθογώνιες, όπως είναι στο 2k σχέδιο Τα διαγράμματα στο πάνω μέρος της εικόνας που ακολουθεί δείχνουν την προβλεφθείσα τιμή τηςεπίστρωσης σαν συνάρτηση των δυο μεταβλητών, x1(ρυθμός τροφοδοσίας) και x2(βάθος εγκοπής). Τα άνω διαγράμματα είναι τρισδιάστατα και δείχνουν τα επίπεδα τιμών της απόκρισης που προβλέπονται από το μοντέλο παλινδρόμησης. Αυτά τα διαγράμματα ονομάζονται διαγράμματα επιφάνειας απόκρισης (response surface plots) 8-5-2009 ΔΧ ΔΧ 23

24. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Το μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε για να κατασκευαστεί το δεξιό διάγραμμα ονομάζεται μοντέλο επιφάνειας απόκρισης πρώτου βαθμού (first-order response surface model). Tα κάτω διαγράμματα είναι διδιάσταταδιαγράμματα ισοϋψών καμπύλων (contour plot) που δημιουργήθηκαν όταν η τριδιάστατη επιφάνεια απόκρισης από τα αντίστοιχα ‘ανω διαγράμματα προβάλλεται στο x1 - x2 επίπεδο και σημεία με την ίδια τιμή επίστρωσης (απόκρισης) ενώνονται. Στο κάτω αριστερό διάγραμμα, οι γραμμές με την ίδια τιμή απόκρισης (ισοϋψεις καμπύλες ή contours) είναι ευθείες γιατί η επιφάνεια απόκρισης είναι πρώτου βαθμού, δηλ., περιέχει μόνο τις κύριες επιδράσεις x1 και x2 Το μοντέλο ŷ = 11.0625 +1.6875x1 + 0.8125x2 +0.6875 x1x2 είναι η αρχή της δημιουργίας της τρισδιάστατης επιφάνειας απόκρισης που απεικονίζεται στο άνω δεξιό διάγραμμα της ίδιας εικόνας. Το κάτω δεξιό διάγραμμα είναι η προβολή της τρισδιάστατης επιφάνειας απόκρισης στο επίπεδο x1 - x2 . Ας σημειωθεί ότι η προσθήκη του όρου αλληλεπίδρασης έχει σαν αποτέλεσμα την εισαγωγήκαμπυλότητας (curvature) στην προβολή της επιφάνειας απόκρισης Η μελέτη της επιφάνειας απόκρισης κάνει την ερμηνεία των αποτελεσμάτων του πειράματος πολύ εύκολη. Μοντέλα επιφάνειας απόκρισης έχουν πολλές χρήσεις στη βελτίωση και αριστοποίηση διεργασιών Αν κανείς θέλει να ελαχιστοποιήσει την απόκριση, από την επιφάνεια απόκρισης φαίνεταιότι χρειάζεται να ρυθμίσει τις τιμές τωνx1 και x2 να ειναι στο ή κοντά στο χαμηλό τους επίπεδο 8-5-2009 ΔΧ ΔΧ 24

25. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Αν κανείς θέλει να έχει συγκεκριμένη τιμή για την επίστρωση (απόκριση), ας υποτεθεί επίστρωση 10.25, μελέτη της επιφάνειας απόκρισης δείχνει ότι μπορεί να διαλέξει από πολλούς συνδυασμούς των συνθηκών λειτουργίας x1καιx2για να έχει η διεργασία σαν αποτέλεσμα απόκριση στην καμπύλη (contour)ŷ =10.25. O πειραματιστής μπορεί να διαλέξει συνθήκες λειτουργίας που δίνουν την επιθυμητή απόκριση10.25 και συγχρόνως να κάνει το ρυθμό τροφοδοσίαςx1όσο γίνεται μεγάλος για να μεγιστοποιήσει το ρυθμό παραγωγής Οποιοδήποτε 2k σχέδιο καταλήγει ή έχει προβολή σε ένα άλλο παραγοντικό σχέδιο με δυο επιπέδα τιμών και λιγότερες μεταβλητές αν ένας ή περισσότεροι από τους αρχικούς παράγοντες απαλειφθούν, κι αυτό προσθέτει στην κατανόηση των υπολοίπων παραγόντων. Στο παράδειγμα της επίστρωσης αν απαλειφθεί ο παράγοντας C(γωνία ή κλίση του εργαλείου), ο κύβος εκφυλίζεται σε τετράγωνο στο επίπεδο Α-Β. ΄Ομως, για καθεμιά από τις τέσσερεις επαναλήψεις του πειράματος (δοκιμές) γίνονται τέσσερεις μετρήσεις Γενικά, αν κανείς απαλείψει h από τους kπαράγοντες, το αρχικό 2k σχέδιο με n μετρήσεις ανά δοκιμή (επανάληψη πειράματος με διαφορετικές συνθήκες) έχει προβολή σε 2r σχέδιο(r = k – h) με 2h μετρήσεις Η ΑΝΟVA είναι μια μέθοδος που προσδιορίζει ποιές επιδράσεις είναι αμελητέες Υπάρχουν δυο ακόμη μέθοδοι που κάνουν τό ίδιο Στην πρώτη, υπολογίζονται τα τυπικά σφάλματα των επιδράσεων και συγκρίνονται με τα μεγέθη των αντίστοιχων επιδράσεων ΔΧ ΔΧ 25

26. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης Στη δεύτερη, χρησιμοποιούνται διαγράμματα κανονικής πιθανότητας για να εκτιμηθεί η σπουδαιότητα των επιδράσεων Το τυπικό σφάλμα κάθε επίδρασης σε ένα 2kσχέδιο είναι όπου το σ̂2 είναι προσέγγιση της διασποράς σ2 του πειραματικού λάθους, ίσο με τό μέσο τετράγωνο σφάλματος, ΜSE Στο παράδειγμα της επίστρωσης σ̂2 = ΜSE= 2.4375 και Δυο τυπικές αποκλίσεις οριοθετούν τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τις προσεγγίσεις των επιδράσεων Α: 3.375 + 1.56 Β: 1.625 + 1.56 C: 0.875 + 1.56 AB: 1.375 + 1.56 AC: 0.125 + 1.56 BC: -0.625 + 1.56 ABC: 1.125 + 1.56 ΔΧ ΔΧ 26

27. Ανάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)– 2k Παραγοντικό Σχέδιο για k> 3 Μοντέλο Επιφάνειας Απόκρισης Τα διαστήματα είναι κατά προσέγγιση διαστήματα εμπιστοσύνης με (βεβαιότητα) 95%. Επειδή, με εξαίρεση τις κύριες επιδράσεις Α και Β, τα διαστήματα αυτά περιέχουν το μηδέν, μόνο οι κύριες επιδράσεις Α και Β είναι σημαντικές 24 πείραμα: 4 κύριες επιδράσεις, 6 αλληλεπιδράσεις 2 παραγόντων, 4 αλληλεπιδράσεις 3 παραγόντων, και 1 αλληλεπίδραση 4 παραγόντων 26 πείραμα:6 κύριες επιδράσεις, 15 αλληλεπιδράσεις 2 παραγόντων, 20 αλληλεπιδράσεις 3 παραγόντων, και 15 αλληλεπιδράσεις 4 παραγόντων, 6 αλληλεπιδράσεις 5παραγόντων, και 1 αλληλεπίδραση 6 παραγόντων Αρχή της ανεπάρκειας των επιπτώσεων: το σύστημα κυριαρχείται συνήθως από κύριες επιδράσεις και αλληλεπιδράσεις χαμηλής τάξης (αλληλεπιδράσεις με 3 ή περισσότερους παράγοντες είναι συνήθως αμελητέες). Για k > 4, είναι συνηθισμένο να έχει κανείς μόνο μια μέτρηση ανά δοκιμή (επανάληψη πειράματος) και να συγκεντώσει τις αλληλεπιδράσεις υψηλής τάξης σαν προσέγγιση του σφάλματος ΔΧ ΔΧ 27

28. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Προσθήκη σημείων στο κέντρο σε 2k σχεδιασμό Μια πιθανή αιτία ανησυχίας στη χρήση του παραγοντικού σχεδίου με δυο επίπεδα τιμών είναι η υπόθεση γραμμικότητας στις επιδράσεις των παραγόντων Όταν ο όρος της αλληλεπίδρασηςπροστίθεται στο μοντέλο με τις κύριες επιδράσεις, εμφανίζεται καμπυλότητα στην επιφάνεια απόκρισης(response surface) Σε μερικά συστήματα ή διεργασίες, είναι απαραίτητο να ενσωματώσει κανείς επιδράσεις δευτέρας τάξης για να έχει ένα επαρκές μοντέλο Στην περίπτωση k = 2, τομοντέλο που περιέχει επιδράσεις δευτέρας τάξης είναι: y = β0 + β1x1+ β2x2+ β12x1 x2+ β11x12+ β22x22 + ε όπου οι συντελεστές β11 καιβ22είναι για όρους με τετράγωνα μεταβλητών, δηλ., μοντέλο (επιφάνειας απόκρισης) δευτέρου βαθμού. Το μοντέλομε όρους δευτέρου βαθμούείναι επαρκές όταν όλοι οι παράγοντες έχουν τρία επίπεδα τιμών. Όταν όλοι οι παράγοντες έχουν δύο επίπεδα τιμών, για έχουμε μοντέλο με όρους δευτέρου βαθμού, προστίθενται κεντρικά σημεία. Τα κεντρικά σημεία απαιτούν nCμετρήσεις στα σημεία xi= 0(i = 1,2,…,k ), και δεν επηρεάζουν τις προσεγγίσεις των επιδράσεων σε ένα 2k σχέδιο. Αν τα κεντρικά σημεία επαναληφθούν, γεννάταιμια άλλη ανεξάρτητη προσέγγιση του σφάλματος. Ας θεωρηθεί ένα 22 σχέδιο με μια μέτρηση σε κάθε παραγοντικό σημείο (- , -), (+ , -), (- , +) και(+ , +),και nC μετρήσεις στoκεντρικό σημείο (0 , 0) ΔΧ

29. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Προσθήκη σημείων στο κέντρο σε 2k σχεδιασμό Αν η διαφοράy̅F-y̅C, όπου y̅Fείναι ο μέσος των τεσσάρωνμετρήσεων στα τέσσερα παραγοντικά σημεία, και y̅Cο μέσοςτων nCμετρήσεων στα κεντρικά σημεία, είναι μικρή, τα κεντρικά σημεία βρίσκονται στο ή κοντά στο επίπεδο που περνάει από τα παραγοντικά σημεία και δεν υπάρχει καμπυλότητα. Αν η διαφορά y̅F-y̅Cείναι μεγάλη, υπάρχει καμπυλότητα Το άθροισμα των τετραγώνων με ένα βαθμό ελευθερίας για αυτούσια τετραγωνική καμπυλότητα είναι όπου nF είναι ο αριθμός των σημείων του παραγοντικού σχεδίου. Αυτό το μέγεθος μπορεί νασυγκριθεί μετο μέσο τετράγωνο σφάλματος για να εξεταστεί η καμπυλότητα Γενικά, όταν σημεία προστίθενται στό κέντρο του 2kσχεδίου, το κατάλληλο μοντέλο είναι όπου βjjείναι αυτούσιες τετραγωνικές επιδράσεις. Το τέστ για καμπυλότητα είναι Αν τα παραγοντικά σημεία στο σχέδιο δεν επαναλαμβάνονται, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τα nC σημεία για να βρεί προσέγγιση του σφάλματος με nC – 1 βαθμούς ελευθερίας ΔΧ 29 ΔΧ

30. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Ομαδοποίηση (Blocking) και Ανακάτωμα (Confounding) σε 2k Σχέδιο Μερικές φορές είναι αδύνατονα κάνει κανείς όλες τις μετρήσεις σε 2k παραγοντικό σχέδιο κάτω από σταθερές ή ομογενείς συνθήκες. Για παράδειγμα, μπορεί να μην είναι δυνατό να κάνει κανείς όλες τις δοκιμές με μια ομάδα (εργατών) ή με μια παρτίδα (πρώτης ύλης). Στην περίπτωση αυτή, η ομαδοποίηση (blocking) είναι μια άριστη τεχνική για να εξαλείψει κανείς την ανεπιθύμητη μεταβλητότητα που προκαλείται από τις μη ομογενείς συνθήκες Εάν το σχέδιο αναπαράγεται (is replicated), και αν το κομμάτι που αποκλείστηκε (blocked) είναι αρκετού μεγέθους, τότε μια από τις τεχνικές είναι να περιλάβει κανείς κάθε επανάληψη του πειράματος (replicate)σε μία ομάδα ή σύνολο ομογενών συνθηκών (block). Για παράδειγμα, ας θεωρηθεί ένα 23 σχέδιο με δυο εκτελέσεις του πειράματος, (replicates) , όπου το πείραμα περιλαμβάνει όλες τις δοκιμές, δηλ., όλους τους συνδυασμούς των επιπέδων τιμών των παραγόντων . Ας υποτεθεί ότι παίρνει 1 h για να τελειώσει μιαδοκιμή . Κάνοντας τις 8 δοκιμές με την πρώτη εκτέλεση του πειράματος σε μια ημέρα και τις άλλες 8 δοκιμές με την δεύτερη εκτέλεσημια άλλη ημέρα, κάθε επίδραση του χρόνου ή η διαφορά του πώς η διεργασία λαμβάνει χώρα τις δυό ημέρες, μπορεί να απαλειφθεί. Οι δυο ημέρες γίνονται οι δύοομάδες(blocks)στο σχέδιο. Η διαφορά στις αποκρίσεις των δυο ημερών είναι η επίδραση των ομάδων(block effect). ΔΧ

31. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Ομαδοποίηση (Blocking) και Ανακάτωμα (Confounding) σε 2k Σχέδιο Επειδή οι δυο δοκιμές (του πειράματος) με το «σύν» πρόσημο, ab και (1), είναι στην ομάδα (block)1,και οι δύο με το «πλήν» πρόσημο, aκαιb, είναι στην ομάδα (block) 2, η επίδραση των ομάδων (block) και η αλληλεπίδρασηΑΒ είναι αδύνατο να διακριθούν, δηλ., η αλληλεπίδραση ΑΒσυγχέεται (is confounded) με τις επιδράσεις των ομάδων (blocks) Ηαιτία γι αυτό (δηλ., ΑΒ συγχέεται με τις επιδράσεις των ομάδων) φαίνεται από τα «συν» και «πλην» πρόσημα του προηγούμενου πίνακα. Από τον πίνακα αυτό φαίνεται ότι όλες οι δοκιμές (του πειράματος)που έχουν πρόσημο «συν» στο ΑΒ εκχωρούνται στην ομάδα (block) 1, και όλες οι δοκιμές που έχουν πρόσημο «πλην» στο ΑΒ εκχωρούνται στην ομάδα (block)2. Αυτό το σχέδιο μπορείνα χρησιμοποιηθεί για να ανακατέψει (confound)κάθε 2kσχέδιο σε δυο ομάδες (blocks) ΔΧ 31 ΔΧ

32. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Ομαδοποίηση (Blocking) και Ανακάτωμα (Confounding) σε 2k Σχέδιο Aς θεωρήσουμε ένα 2kσχέδιο που διακρίνεται σε δυό ομάδες (blocks), καιας υποτεθεί ότι συγχέεται η αλληλεπίδραση τριών όρων ΑΒCμε τις ομάδες (blocks). Aπό τον πίνακα με τα πρόσημα, εγχωρούνται οι δοκιμές (πειράματος) με το «πλην»πρόσημο στο ΑΒCστο κομμάτι (block) 1και αυτές με «συν» πρόσημο στο ΑΒCστο κομμάτι (block) 2, όπως στην παρακάτω εικόνα Κλασματική Αναπαραγωγή (Factorial Replication) 2k Σχεδίου Καθώς ο αριθμός των παραγόντων σε ένα 2k σχέδιο αυξάνεται, ο αριθμός των δοκιμών που απαιτούνται αυξάνεται ταχέως. Για παράδειγμα, ένα 25 σχέδιο απαιτεί 32 δοκιμές. Στο σχέδιο αυτό, μόνο 5 βαθμοί ελυθερίας αντιστοιχούν στις κύριες επιδράσεις και 10 βαθμοί ελευθερίας αντιστοιχούν στις επιδράσεις δυο παραγόντων ΔΧ

33. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Κλασματική Αναπαραγωγή 2k Σχεδίου Αν υποτεθεί ότι ωρισμένες αλληλεπιδράσεις υψηλής τάξης είναι αμελητέες, ένα κλασματικό παραγοντικό σχέδιο με λιγότερες από 2k δοκιμέςμπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποκτήσει κανείς πληροφορίες για τις κύριες επιδράσεις και τις αλληλεπιδράσεις χαμηλής τάξης Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Έχει 2k-1 δοκιμές και συχνά ονομάζεται 2k-1 σχέδιο. Για παράδειγμα, το 23-1 σχέδιο είναι το μισό κλάσμα του 23 σχεδίου. Ο πίνακας των προσήμων για το 23 σχέδιο είναι ο ακόλουθος Ας θεωρηθεί ότι οι 4 δοκιμές (πειράματος) a, b, c, καιabc αποτελούν το μισό κλάσμα. ΔΧ

34. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Το γεωμετρικό σχέδιο φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί Το 23-1 σχέδιο αποτελείται μονάχα από τις δοκιμές που έχουν «συν» πρόσημο για την επίδραση ΑΒC. Η ΑΒC ονομάζεται γεννήτρια (generator)αυτού του συγκεκριμένου κλάσματος. Το στοιχείο ταυτότηταςΙ είναι επίσης «συν» για τις τέσσερεις δοκιμές, και η ισότητα Ι = ΑΒC είναι η καθοριστική σχέση (defining relation) για το σχέδιο. Oι δοκιμές στα 23-1 σχέδια έχουν 3 βαθμούς ελευθερίας για τις κύριες επιδράσεις. Από τον προηγούμενο πίνακα, οι προσεγγίσεις των κυρίων επιδράσεων είναι Α = ½[a – b – c + abc] B = ½[-a + b – c + abc] C = ½[-a - b + c + abc] ΔΧ

35. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Oιπροσεγγίσεις των αλληλεπιδράσεων δυο παραγόντων είναι ΒC = ½[a – b – c + abc] AC = ½[-a + b – c + abc] AB = ½[-a - b + c + abc] Ο γραμμικός συνδυασμός των παρατηρήσεων στη στήλη Α, που παριστάνεται ως [Α] προσεγγίζει το άθροισμα Α + ΒC, ενώ το [C]προσεγγίζει το άθροισμα C + ΑΒ. Δυο η περισσότερες επιδράσεις που εμπίπτουν σ’ αυτή την κατηγορία λέγονται ψευδομοιογενείς (aliases). Στο 23-1 σχέδιο, Α και ΒC είναι ψευδομοιογενή, όπως ακριβώς είναι και C και ΑΒ . Ψευδομοιογενοποίηση (aliasing) είναι το άμεσο αποτέλεσμα της κλασματικής αναπαραγωγής (fractional replication) Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις, είναι δυνατόν να επιλέξει κανείς το κλάσμα, έτσι ώστε οι κύριες επιδράσεις και οι αλληλεπιδράσειςχαμηλής τάξης να είναι ψευδομοιογενείς με αλληλεπιδράσεις υψηλής τάξης (που είναι συνήθως αμελητέες) Η δομή της ψευδομοιογενοποίησης γι αυτό το σχέδιο μπορεί να βρεθεί από την καθοριστική σχέση (defining relation) I = ABC. Αν οποιαδήποτεεπίδραση πολλαπλασιαστείμέλος με μέλος με την καθοριστική σχέση αναπαράγεται το ψευδομοιογενές της επίδρασης. Για παράδειγμα, το ψευδομοιογενές του Α είναι Α = Α . ABC = Α2BC = BC επειδή Α . Ι = Α και Α2 = Ι. Τα ψευδομοιογενή των Β και C είναι Β = Β . ΑBC = ΑΒ 2C = ΑC C = C . ΑBC = ΑΒC2 =ΑΒ ΔΧ

36. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Ας υποτεθεί τώρα ότι επιλέγεται το άλλο ήμισυ κλάσμα του σχεδίου, στο οποίο οι δοκιμές έχουν «πλην» πρόσημο στο ΑΒC. To σχέδιο για το δεύτερο ήμισυ παρουσιάζεται στην προηγούμενη εικόνα και η καθοριστική σχέση είναι Ι = - ΑΒC. Τα ψευδομοιογενή είναι Α = - ΒC, B = - AC, καιC = - AB. Eτσι οι επιδράσειςΑ, Β και C γι αυτό το κλάσμα στην πραγματικότητα είναι προσεγγίσεις στο Α – ΒC, Β – ΑC, και C – ΑΒ. Στην πραγματικότητα, δεν έχει σημασία ποιό ήμισυ κλάσμα επιλέγουμε. Το κλάσμα με το «συν» πρόσημο στην καθοριστική σχέση ονομάζεται κύριο κλάσμα (principal fraction) και το άλλο κλάσμα συνήθως ονομάζεται αναπληρωματικό κλάσμα (alternate fraction). Mερικές φορές χρησιμοποιεί κανείς σειρές (sequences) κλασματικών παραγοντικών σχεδίων(fractional factorial design) για τον υπολογισμό των επιδράσεων. Για παράδειγμα , ας θεωρηθεί ότι έχει εκτελεστεί το κύριο κλάσμα του 23-1 σχεδίου. Από το σχέδιο αυτό έχουμε τις ακόλουθες προσεγγίσεις επιδράσεων: [A] = A + BC [B] = B + AC [C] = C + AB Aς θεωρηθεί ακόμη ότι οι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων είναι αμελητέες. Εαν αυτό συμβαίνει, το 23-1 σχέδιο παράγει τις προσεγγίσεις των τριών κυρίων επιδράσεωνΑ, Β, C. Αν όμως κανείς, μετά την εκτέλεση του κυρίου κλάσματος, δεν είναι βέβαιος για τις αλληλεπιδράσεις, είναι πιθανό να τις υπολογίσει με την εκτέλεση του αναπληρωματικού κλάσματος. ΔΧ

37. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Το αναπληρωματικό κλάσμα παράγει τις ακόλουθες προσεγγίσεις επιδράσεων: [A]΄ = A - BC [B]΄ = B - AC [C]΄ = C – AB Αν κανείς συνδυάσει τις προσεγγίσεις από τα δυο κλάσματα, έχουμε τα ακόλουθα: Eπίδραση, i ½([i] + [i]΄) ½([i]-[i]΄) i = A ½(A + BC + A – BC) = A ½[A + BC –( A – BC)] = BC i = B ½(B + AC + B – AC) = B ½[B + AC –(B – AC)] = AC i = C ½(C + AB + C – AB) = C ½[C + AB –(C – AB)] = AB Έτσι, συνδυάζοντας μια σειρά από δυο κλασματικά παραγοντικά σχέδια, μπορεί κανείς να απομονώσει τις κύριες επιδράσεις από τις αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων. Αυτή η ιδιότητα κάνει το κλασματικό παραγοντικό σχέδιο παρά πολύ χρήσιμο σε προβλήματα με πειραματικά δεδομένα, γιατί μπορεί κανείς να εκτελέσει σειρές μικρών, αποδοτικών πειραμάτων, να συνδυάσει πληροφορίες από αρκετά πειράματα, και να επωφεληθεί της γνώσης για την διεργασία εκτέλεσης πειραμάτων, όπως προχωράει Ένα 2k-1σχέδιο μπορεί να κατασκευαστεί αν κανείς καταγράψει τους συνδυασμούς για ολοκληρωμένο παραγοντικό σεk-1 παράγοντες, και έπειτα να προσθέσει τον k παράγοντα με προσδιορισμό των «συν» και «πλην» επιπέδων με «συν» και «πλην» πρόσημα της αλληλεπίδρασης υψηλότερης τάξης +ABC. ΔΧ

38. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Επομένως, ένα 23-1κλασματικό παραγοντικό δημιουργείται από την καταγραφή ενός ολοκληρωμένου 22 παραγοντικού και εξίσωση του παράγοντα C με την αλληλεπίδραση +ΑΒ Για να δημιουργηθεί το κύριο κλάσμα, χρησιμοποιεί κανείς τη σχέση C = +AB ως εξής: Ολοκληρωμένο 22 23-1, Ι = ΑΒC A B A B C = AB - - - - + + - + - - - + - + - + + + + + Για να δημιουργηθεί το αναπληρωμένο κλάσμα, χρησιμοποιεί κανείς τη σχέση C = - AB Τό διάγραμμα κανονικής πιθανότητας είναι πολύ χρήσιμο για να εκτιμηθεί η σημαντικότητα των επιδράσεων από ένα κλασματικό παραγοντικό, ιδιαίτερα άν πολλές επιδράσεις πρέπει να αξιολογηθούν. Υπόλοιπα μπορεί να ανακτηθούν από ένα κλασματικό παραγοντικό με τη μέθοδο της παλινδρόμησης. Τα υπόλοιπα μπορεί να παρασταθούν σαν συνάρτηση των προβλεπόμενων τιμών, τα επίπεδα των παραγόντων, και σε διάγραμμα κανονικής πιθανότητας για να εκτιμηθεί η ισχύς των υποθέσεων στις οποίες στηρίζεται το μοντέλο, και για να αποκτήσει κανείς περισσότερη γνώση για την κατάσταση των πειραματικών δεδομένων ΔΧ

39. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Το Ήμισυ Κλάσμα του 2k Σχεδίου Αν ένας ή περισσότεροι παράγοντες από ένα ήμισυ κλάσμα του 2k μπορεί να παραλειφθεί, το σχέδιο θα έχει προβολή στο ολοκληρωμένο παραγοντικό σχέδιο. Στην παρακάτω εικόνα το 23-1 σχέδιο έχει προβολή σε ολοκληρωμένο παραγοντικό με δυο οποιουσδήποτε από τους τρείς παράγοντες. Αν από τους τρείς παράγοντες, το πολύ-πολύ δυο είναι σημαντικοί, το σχέδιο 23-1είναι άριστο σχέδιο για τον εντοπισμό των σημαντικώνπαραγόντων. Πειράματα που σκοπεύουν στον εντοπισμόλίγων σχετικά σημαντικών παραγόντων από μεγάλο αριθμό παραγόντων (the vital few from the trivial many) ονομάζονται πειράματα διαχωρισμού (screening experiments) ΔΧ ΔΧ

40. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Δυνατότητα Διάκρισης Σχεδίου (Design Resolution) • Είναι ένας χρήσιμος τρόπος για να ταξινομηθούν τα κλασματικά ολοκληρωμένα σχέδια με • βάση τους σχηματισμούς (patterns)ψευδομοιογενών που παράγουν. Δυνατότητα • διάκρισης σε επίπεδο ΙΙΙ, IV, και Vείναι ιδιαίτερα σημαντικά. Οι τύποι αυτοί • ορίζονται ως εξής: • Σχέδια με δυνατότητα διάκρισης ΙΙΙ – είναι εκείνα στα οποία κύριες επιδράσεις δεν είναι ψευδομοιογενή με άλλες κύριες επιδράσεις, αλλά είναι ψευδομοιογενή με αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων και αυτές, με τη σειρά τους, είναι ψευδομοιογενή η μια με την άλλη. Το 23-1 σχέδιο με Ι = ΑΒC έχει δυνατότητα διάκρισης ΙΙΙ. Συνήθως χρησιμοποιούνται ρωμαϊκοί αριθμοί σαν κάτω δείκτες για να δείξουν δυνατότητα διάκρισης, • Σχέδια με δυνατότητα διάκρισης IV – σ’ αυτά τα σχέδια καμμία από τις κύριες επιδράσεις δεν είναι ψευδομοιογενής με άλλη κύρια επίδραση ή αλληλεπίδραση δυο παραγόντων, αλλά οι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων είναι ψευδομοιογενή η μια με την άλλη. Το σχέδιο 24-1με Ι = ΑΒCDέχει δυνατότητα διάκρισης IV, και ΔΧ

41. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) - Δυνατότητα Διάκρισης Σχεδίου (Design Resolution) • Σχέδια με δυνατότητα διάκρισης V - σ’ αυτά καμμια κύρια επιδράση ή αλληλεπίδραση δυο παραγόντων δεν είναι ψευδομοιογενή με άλλη κύρια επίδραση ή αλληλεπίδραση, αλλά οι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων είναι ψευδομοιογενή με αλληλεπίδραση τριών παραγόντων. Το σχέδιο 25-1 με Ι = ΑΒCDΕέχει δυνατότητα διάκρισης V • To σχέδιο δυνατότητας διάκρισης ΙV δίνει πολύ καλές πληροφορίες για τις κύριες • επιδράσεις και κάποιες πληροφορίες για τις αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων ΔΧ

42. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Αν και το 2k-1 σχέδιο έχει επιτυχία στη μείωση των δοκιμών που απαιτούνται για ένα πείραμα, συχνά χρησιμοποιούνται μικρότερα κλάσματα που δίνουν σχεδόν τις ίδιες πληροφορίες με ακόμη λιγότερους υπολογισμούς. Ένα 2k σχέδιο μπορεί να εκτελεστεί σαν 1/2pκλάσμα, που ονομάζεται 2k-p κλασματικό παραγοντικό σχέδιο. ΄Ετσι το ¼ κλάσμα ονομάζεται 2k-2κλασματικό παραγοντικό σχέδιο, το 1/8 κλάσμα ονομάζεται 2k-3σχέδιο, το 1/16 ονομάζεται 2k-4σχέδιο, και ούτω καθεξής Για να κατανοηθεί το ¼ κλάσμα, ας θεωρηθεί ένα πείραμα με 6 παράγοντες για το οποίο ενδιαφέρουν κυρίως οι κύριες επιδράσεις αλλά είναι επιθυμητό να αποκτηθούν πληροφορίες για τις αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων. ΄Ενα 26-1σχέδιο απαιτεί 32 δοκιμές και έχει 31 βαθμούς ελευθερίας για τις αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων Επειδή υπάρχουν μόνο 6 κύριες επιδράσεις και 15 αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων, το ½ κλάσμα είναι μη αποδοτικό, γιατι απαιτεί πολύ περισσότερες δοκιμές. Ας θεωρηθεί τώρα ένα ¼ κλάσμα ή 26-2 σχέδιο. Το σχέδιο αυτό απαιτεί 16 δοκιμές και με 15 βαθμούς ελευθερίας επιτρέπει υπολογισμό όλων των 6 κυρίων επιδράσεων και, σε κάποιο βαθμό, εξέταση των αλληλεπιδράσεων δυο παραγόντων. Για να δημιουργηθεί αυτό το σχέδιο, πρέπει κανείς να κατασκευάσει το 24 σχέδιο στους παράγοντες Α, Β, C, και D, και έπειτα να προσθέσει δυο στήλες για Ε και F, όπως στον πίνακα παρακάτω ΔΧ

43. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Για να βρεί κανείς τις δυο στήλες Ε και F, διαλέγει τις γεννήτριεςΙ = ΑΒCΕ και Ι = ΒCDF. Έτσι, η στήλη Ε είναι Ε = ΑΒC και η στήλη F είναιF = ΒCD. Οι στήλες ΑΒCΕκαιΒCDF είναι ίσες με την στήλη ταυτότητας (identity column). Όπως είναι γνωστό, το γινόμενο δυο οποιονδήποτε στηλών στον πίνακα με τα «συν» και «πλην» πρόσημα για το 2k σχέδιο, είναι μια άλλη στήλη. Το γινόμενο ΑΒCΕ(ΒCDF) = ΑΒ2C2DΕF= ΑDΕF είναι επίσης στήλη ταυτότητας ΔΧ

44. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Σαν αποτέλεσμα, η πλήρης καθοριστική σχέση για το 26-2σχέδιο είναι Ι = ABCE = BCDF = ADEF H πλήρης δομή των ψευδομοιογενών είναι: A = BCE = DEF = ABCDF AB = CE = ACDF = BDEF B = ACE = CDF = ABDEF AC = BE = ABDF = CDEF C = ABE = BDF = ACDEF AD = EF = BCDE = ABCF D = BCF = AEF = ABCDE AE = BC = DF = ABCDEF E = ABC = ADF = BCDEF AF = DE = BCEF = ABCD F = BCD = ADE = ABCEF BD = CF = ACDE = ABEF ABD = CDE = ACF = BEF BF = CD = ACEF = ABDE ACD = BDE = ABF = CEF ΔΧ

45. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Aς σημειωθεί ότι σ΄ αυτό το σχέδιο με δυνατότητα διάκρισης ΙV, οι κύριες επιδράσεις είναι ψευδομοιογενή με αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων και υψηλότερες αλληλεπιδράσεις, και οι αλληλεπιδράσεις δυο παραγόντων είναι ψευδομοιογενή η μια με την άλλη. Αυτό το σχέδιο δίνει καλές πληροφορίες για τις κύριες επιδράσεις και κάποια ιδέα για τη δύναμη των αλληλεπιδράσεων δυο παραγόντων Στο προηγούμενο παράδειγμα, επιλέχθηκανΙ = ABCDκαι I = BCDFσαν γεννήτριες για τη δημιουργία του 26-2 κλασματικού παραγοντικού σχεδίου. Η επιλογή αυτή δεν είναι αυθαίρετη. Μερικές γεννήτριες παράγουν σχέδια με πιο ελκυστικές δομές ψευδομοιογενών από άλλες. Για συγκεκριμένο αριθμό παραγόντων και αριθμό δοκιμών που θέλει κανείς να εκτελέσει, πρέπει να επιλέξει το σχέδιο με την υψηλότερη δυνατότητα διάκρισης. Σχέδια με μέγιστη δυνατότητα διάκρισης για 2k-p κλασματικά παραγοντικά και επιλογές για τις γεννήτριες τους δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Αν όλες οι γεννήτριεςεπιλεχθούν με θετικό πρόσημο, παράγεται το κύριο κλάσμα (main fraction). Αν μια ή περισσότερες γεννήτριεςεπιλεχθούν με αρνητικά πρόσημα, παράγεται το αναπληρωματικό κλάσμα ΔΧ

46. Κ = + ΑΒ Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο 15/5/2009 ΔΧ 46 ΔΧ

47. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Κομμάτια που κατασκευάστηκαν με μέθοδο σχηματοποίησηςμε έγχυση (injection molding) υφίστανται υπερβολική συρρίκνωση που προκαλεί προβλήματα σε διεργασίες συναρμολόγησης (assembly operations) μετάτην σχηματοποίηση με έγχυση. Μια ομάδα για βελτίωση ποιότητας αποφάσισε να εξετάσει αν η συρρίκνωση μπορεί να ελαττωθεί. Η ομάδα μελέτησε τους ακόλουθους επτά παράγοντες: θερμοκρασία εκμαγείου(mold temperature) (Α), ταχύτητα έλικα εκβολέα (screw speed) (Β), χρόνος παραμονής (holding time) (C), χρόνος κύκλου λειτουργίας (D), περιεχόμενο υγρασίας (Ε), μέγεθος πύλης εξόδου (gate size) (F), και επικρατούσα πίεση (G). Kάθεπαράγοντας εξετάζεται σε δυο επίπεδα, με σκοπό να διαπιστωθεί πως κάθε παράγονταςεπιρρεάζει τη συρρίκνωση, όπως επίσης πως αλληλοεπιδρούν οι παράγοντες. Η ομάδα αποφασίζει να χρησιμοποιήσει κλασματικό παραγοντικό σχέδιο με 2 επίπεδα και 16 δοκιμές. Ο προηγούμενος πίνακας δείχνει ότι το κατάλληλο σχέδιο είναι ένα 2ΙV7-3σχέδιο με γεννήτριεςΙ = ABCE, I = BCDF, και I = ACDG. Το σχέδιο παριστάνεται στον επόμενο πίνακα όπου η τελευταία στήλη δίνει τη συρρίκνωση για το κομμάτι που δημιουργήθηκε σε κάθε μια από τις 16 δοκιμές ΔΧ

48. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Η δομή ψευδομοιογενών δίνεται στον πίνακα παρακάτω ΔΧ

49. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Ακολουθούντα διαγράμματα κανονικής πιθανότητας για τις προσεγγίσεις των επιδράσεων και αλληλεπίδρασης θερμοκρασίας εκμαγείου και ταχύτητας έλικα εκβολέα Οι μοναδικές μεγάλες επιδράσεις είναι:Α = 13.8750 (θερμοκρασία εκμαγείου) και Β = 35.6250 (ταχύτητα έλικα εκβολέα), και η αλληλεπίδρασηΑΒ = 11.8750. Με βάση τον πίνακα με τη δομή ψευδομοιογενών, το προηγούμενο συμπέρασμα γίνεται αποδεκτό Από το διάγραμμα αλληλεπίδρασης ΑΒ, φαίνεται ότι η διεργασία επιρρεάζεται ελάχιστα από τη θερμοκρασία εκμαγείου όταν η ταχύτητα του έλικα του εκβολέα είναι στο χαμηλό επίπεδο, αλλά επιρρεάζεται πολύ όταν η ταχύτητα του έλικα του εκβολέα είναι στο υψηλό επίπεδο. Με την ταχύτητα του έλικα στο χαμηλό επίπεδο, η διεργασία συνοδεύεται από συρρίκνωση 10%, ανεξάρτητα από το επίπεδο της θερμοκρασίας. Με βάση αυτή την ανάλυση, η ομάδα αποφάσισε να ρυθμίσει τη θερμοκρασία εκμαγείου και την ταχύτητα του έλικα στο χαμηλό επίπεδο. Η επιλογή αυτή μειώνει τή συρρίκνωση στο 10%. Όμως, η μεταβλητότητα σε συρρίκνωση από κομμάτι σε κομμάτι είναι πιθανό πρόβλημα ΔΧ 49 ΔΧ

50. Aνάλυση Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) -2k-pΚλασματικό Παραγοντικό Σχέδιο Παράδειγμα Η μέση συρρίκνωση μπορεί να μειωθεί σχεδόν στο μηδέν με κατάλληλη τροποποίηση της μηχανής, αλλά η μεταβλητότητα στη συρρίκνωση από κομμάτι σε κομμάτι κατά τη διάρκεια μιας δοκιμής μπορεί να προκαλέσει προβλήματα στη συναρμολόγηση, ακόμη κι αν η μέση συρρίκνωση είναι σχεδόν μηδέν. ΄Ενας τρόπος να αντιμετωπίσει κανείς αυτό το πρόβλημα είναι να εξετάσει αν καμμιά από τις μεταβλητές της διεργασίας επιρρεάζει τη μεταβλητότητα στη συρρίκνωση των κομματιών Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει το διάγραμμα κανονικής πιθανότητας για τα υπόλοιπα. Τα διαγράμματα των υπολοίπωνσανσυνάρτησης κάθε μεταβλητής επίσης κατασκευάζονται. Ένα από αυτά τα διαγράμματα, υπόλοιπα σαν συνάρτηση του χρόνου παραμονής Cδείχνει ότι υπάρχει πολύ λιγότερη διασπορά στα υπόλοιπα για χαμηλό αντί για υψηλό χρόνο παραμονής. ΔΧ ΔΧ