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平行四邊形性質

平行四邊形性質. 兩組對邊平行的四邊形 就叫做. 平行四邊形. 以前我們透過實測發現： 一些 平行四邊形的兩組對邊等長且 兩組對角相等. 那麼，是不是 所有 的平行四邊形都是如此呢？. A. D. 1. 4. 2. 3. B. C. 探索活動. 1. 剪下兩張紙帶 ， 做任意角度的重疊 ， 然後剪下重疊的 平行四邊形 ， 並命名為 ABCD 。. 甲. 乙. A. D. A. A. C. 4. 4. 2. 1. 3. 3. B. B. C.

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平行四邊形性質

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  1. 平行與四邊形 平行四邊形性質 兩組對邊平行的四邊形就叫做 平行四邊形 以前我們透過實測發現：一些平行四邊形的兩組對邊等長且 兩組對角相等 那麼，是不是所有的平行四邊形都是如此呢？

  2. 平行與四邊形 A D 1 4 2 3 B C 探索活動 1.剪下兩張紙帶，做任意角度的重疊，然後剪下重疊的 平行四邊形，並命名為ABCD。 甲 乙

  3. 平行與四邊形 A D A A C 4 4 2 1 3 3 B B C 1 C C D A 2

  4. 平行與四邊形 A C 4 2 3 B 1 C D A (3) 和 是否等長？□是□否。為什麼？ (4)承上，以哪一種全等性質說明△ABC △CDA最合理？ CA AC A D 1 4 2 3 B C 我們試圖引用三角形全等性質，導出它的邊角關係。 畫出對角線線段AC，形成 △ABC和 △CDA，並標上∠1，∠2，∠3，∠4。 請推導下列問題： (1) ∠1和∠3是否相等？□是□否。為什麼？ ˇ (2) ∠2和∠4是否相等？□是□否。為什麼？ ˇ ˇ □SSS □SAS □RHS □ASA □AAS ˇ

  5. 平行與四邊形 根據 △ABC △CDA我們可以推得： A C 4 (1)對應邊 ＝ (2)對應邊 ＝ 2 3 B 1 C D A AB BC CD DA A D 1 4 2 3 C B (3)對應角∠B＝ ∠D ∠2＋∠3 ∵∠1＝∠3且∠2＝4， ∴ ∠1＋∠4＝ ∠BCD ∴ ∠BAD＝

  6. 平行與四邊形 1.對探索活動的四邊形ABCD畫出另一條對角線BD，是否能仿照原先的推導過程，推得△ABD與△CDB全等？ 討論活動 2.每個人剪出的平行四邊形ABCD形狀不一定相同，其推導過程和結果是不是因此而發生變化呢？ 3.如果改變紙帶甲和紙帶乙的寬度或重疊角度觀察重疊部分形狀的變化。 這些四邊形是不是仍然能夠依照探索活動的推導過程，推得「兩組對邊等長，兩組對角相等」的性質呢？ 編輯手1

  7. 平行與四邊形 已知：四邊形ABCD，AB//DC，AD//BC。 求證：(1)AB＝DC，AD＝BC (2) ∠A＝∠C，∠B＝∠D ∴△ABC △CDA (ASA) 綜合上述探索活動與討論問題所推導的過程和結論，我們以簡潔的格式和文字符號整理如下，以方便說明「任意四邊形ABCD它的兩組對邊等長，兩組對角相等」。 D A 1 4 2 3 B C 在△ABC和△CDA中 證明： 連接AC， ∠3 ∵AD//BC，∴∠1＝_______ ∠2 ∵AB//DC，∴∠4＝_______ 又AC＝AC(公用邊) ∴AB＝DC，AD＝BC (對應邊) ，∠B＝∠D(對應角) ∴∠BAD＝∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝∠DCB

  8. 平行與四邊形 堂 習 練 隨 請利用「兩平行線被一直線所截時，同側內角互補」推得「平行四邊形的兩組對角相等」。 D A 已知：ABCD為平行四邊形。 求證：∠A＝∠C，∠B＝∠D C B 證明： ∵ AD//BC ∴∠A＋∠B＝1800，∠C＋∠D＝1800 又∵AB//DC ∴∠A＋∠D＝1800，∠B＋∠C＝1800 請與例題作比較 ∴∠A＋∠B＝∠B＋∠C ∴∠A＋∠B＝∠A＋∠D ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D

  9. 平行與四邊形 1. △ABC △CDA A D C B 編輯手2 根據以上的推導過程所得到的結論，不只是針對特殊的平行四邊形，對所有的平行四邊形也都會成立， 也就是，任意平行四邊形具有下列性質： 1.任一條對角線均可將它分成兩個全等的三角形。 2.兩組對邊等長。 3.兩組對角相等。 2.AB＝CD，AD＝BC 3. ∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D

  10. 平行與四邊形 編輯手3 討論問題 請在下表中畫出每個四邊形的兩條對角線。 觀察它們的關係，提出你的猜測，並將該圖形具有的性質在欄位中打ˇ。 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

  11. 平行與四邊形 D A O C B ∴△OAD △OCB(ASA) 例題1 已知：如右圖，平行四邊形ABCD，AB//DC，AD//BC 求證：OA＝OC，OB＝OD 1 2 證明： 在△OAD和△OCB中 3 4 ∵AD//BC ∠4 ∠3 ∴∠1＝_____，∠2＝_____ (內錯角) BC (平行四邊形對邊等長) 又，AD＝_______ ∴OA＝OC，OB＝OD 平行四邊形兩對角線互相平分

  12. 平行與四邊形 D A ∴△ABC △DCB (SAS) C B 例題2 已知：長方形ABCD，如右圖。 求證：AC＝BD(兩對角線等長) 證明： 在△ABC和△DCB中 ∵AB＝DC (對邊等長) 為什麼可以直接說AB＝DC呢？ ∠ABC＝∠DCB＝900 BC＝BC (公用邊) ∴AC＝BD

  13. 平行與四邊形 D A 堂 習 練 隨 求證：(1)OA＝OC，OB＝OD (2)AC＝BD (3)AC BD B C ∴ AC BD ∴ △OAB △OCB(SSS) 已知：正方形ABCD，如右圖。 O 在△OAB和△OBC中， 證明： 又∵∠AOB＋∠BOC ＝_______ OC ∵OA＝_______ 1800 OB OB＝_______ (公用邊) ∴∠AOB＝∠BOC＝900 AB＝BC ∴∠AOB＝∠BOC

  14. 平行與四邊形 A D B C D A C B A D AC BD B C 從上述例題與隨堂練習中，我們得到以下一些特殊四邊形的對角線性質 ： 1.平行四邊形的兩條對角線會 互相平分 2.長方形的兩條對角線會 互相平分且等長 3.正方形的兩條對角線會 互相平分、等長且垂直 OA＝OC，OB＝OD O OA＝OC，OB＝OD 且 AC＝BD O OA＝OC，OB＝OD 且 AC＝BD O

  15. 平行與四邊形 編輯手4 平行四邊形的判別 請就上列表格中，觀察並猜測看看，當有「一組對邊平行且等長的四邊形」是什麼樣的四邊形？ 平行四邊形

  16. 平行與四邊形 探索活動 在方格紙上，任意畫兩條平行且等長的線段，連接端點形成四邊形ABCD。 D A 已知：四邊形ABCD，AD//BC，AD＝BC 求證：ABCD為平行四邊形。 B C 該如何證明呢？ 我們透過問題的分析，從結果反推已知，來找尋證明的可能路徑：

  17. 平行與四邊形 D A 1 4 2 3 B C 問題分析： (1)要證明四邊形ABCD為平行四邊形， 只要再證明哪一組對邊平行即可？ AB和DC (2)要證明對邊平行，可以利用「平行線截角性質」，所以要引用「三角形全等性質」證明角度的關係，因此需要將四邊形分割成三角形，必須畫「輔助線」線段AC(對角線) 。 (3)要證明AB//DC，可以先證明哪兩個內錯角相等？ ∠2和∠4 (4)要證明兩個內錯角相等，可以先證明哪兩個三角形全等？ △ABC和△CDA

  18. 平行與四邊形 D A 1 4 2 3 B C 根據上述，以哪一種全等性質說明△ABC △CDA最合理？ (5)要證明△ABC和△CDA全等，必須先確定下列條件是否成立： ＊∠1和∠3是否相等？ □是 □否 為什麼？ ˇ ∵AD//BC∴∠1＝∠3(內錯角相等) ˇ ＊AD和BC是否等長？ □是 □否 為什麼？ 已知條件 ＊AC和CA是否等長？ □是 □否 為什麼？ ˇ 公用邊 □SSS □SAS □RHS □ASA □AAS ˇ

  19. 平行與四邊形 討論問題 1.在探索活動中，為什麼要對四邊形ABCD畫出對角線AC呢？ 目的是為了什麼？ 就是為了引用「三角形全等性質」來進行推導，所以必須將四邊形分成兩個三角形。 2.在探索活動中，我們的分析過程和證明過程有什麼不一樣呢？ 「證明」是從已知推導到結果，「分析」則是相反，是從結果反推到已知，透過問題分析我們可以找到證明的可能方向，提供一種線索的搜尋。

  20. 平行與四邊形 D A 1 4 AD＝BC，∠1＝∠3，AC＝AC， △ABC △CDA(SAS) 2 3 B C 在探索活動中，我們透過分析的方式，從結果一步一步推回已知，如下圖；反過來，是不是可以大約看出證明的推導過程呢？ 已知：四邊形ABCD，AD//BC，AD＝BC 分析過程 證明過程 ∠2＝∠4 AB//DC 結果：ABCD為平行四邊形

  21. 平行與四邊形 D A B C ∴△ABC △CDA(SAS) 例題3 1 4 已知：如右圖，四邊形ABCD，其中 AD//BC，且AD＝BC 2 3 求證：四邊形ABCD為平行四邊形。 證明 連接對角線AC ∵AD//BC ∴∠1＝∠3(內錯角相等) 在△ABC和△CDA中， ∵BC＝AD(已知) ，∠1＝∠3，AC＝AC(公用邊) ∴AB//CD (內錯角相等) ∴∠2＝∠4 (對應角) ∴四邊形ABCD為平行四邊形 ＃ 故得證 返回

  22. 平行與四邊形 在國一時，我們曾用吸管以「兩組對邊等長」拼出四邊形，不管怎麼擠壓，看起來都像是 平行四邊形 只是觀察、猜測是不能當做數學性質的。 真的是這樣嗎？ 所以我們來推導看看「是不是所有具有兩組對邊等長的四邊形都會是平行四邊形？」

  23. 平行與四邊形 D A C B 「兩組對邊等長」四邊形，會是平行四邊形。 已知：四邊形ABCD，其中AB＝DC， AD＝BC。 求證：四邊形ABCD為平行四邊形。 該如何證明呢？

  24. 平行與四邊形 D A C B △ABC △CDA 問題分析 1 1.要證明四邊形ABCD為平行四邊形， 要先證明哪幾組對邊平行？ 4 2 3 AB//DC，AD//BC 2.要證明對邊平行，可以利用截角性質，所以可以將四邊形 分割成三角形，因此要如何分割呢？ 連接對角線AC，並標上角的名稱以方便推導。 3.要證明對邊平行，可以先證明哪些內錯角相等？ ∠1＝∠3和∠2＝∠4 4.要證明內錯角相等，可以先證明哪兩個三角形全等？ 返回

  25. 平行與四邊形 D A 5.要證明 ，必須先確定下列條件是否成立： 1 4 C B 2 3 根據上述，以哪一種全等性質說明△ABC △CDA最合理？ △ABC △CDA ˇ ＊AB和CD是否等長？□是 □否 為什麼？ 已知條件 ＊AD和BC是否等長？□是 □否 為什麼？ ˇ 已知條件 ＊AC和CA是否等長？□是 □否 為什麼？ ˇ 公用邊 ˇ □SSS □SAS □RHS □ASA □AAS 從分析中看的出證明的過程嗎？

  26. 平行與四邊形 D A 1 4 C B 2 3 ∴△ABC △CDA(SSS) 證明 1.連接對角線AC 2.在△ABC和△CDA中 ∵AD＝BC，AB＝DC(已知條件) 又∵AC＝AC(公用邊) ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 (對應角) ∴AD//BC，AB//DC (內錯角相等) ∴四邊形ABCD為平行四邊形。 ＃ 返回

  27. 平行與四邊形 從探索活動、例題及隨堂練習，我們可以得到下面的結論： （1）具有「一組對邊平行且等長」的四邊形，會是平行四邊形。 （2）任何具有「兩組對邊等長」的四邊形，會是平行四邊形。

  28. 平行與四邊形 探索活動 編輯手5 通過圓心，兩圓各畫一條直徑(對角線) ，並考慮垂直、等長的不同關係，然後連接成四邊形，提出你的猜測，寫在表格中。 長方形 正方形 平行四邊形 菱形

  29. 平行與四邊形 是不是都這樣呢？我們來推導看看！ 透過探索活動，我們可以觀察到： 平行四邊形 1.兩條對角線互相平分的四邊形會是 菱形 2.兩條對角線互相平分且垂直的四邊形會是 長方形 3.兩條對角線互相平分且等長的四邊形會是 正方形 4.兩條對角線互相平分、等長且垂直的四邊形會是

  30. 平行與四邊形 A B O D (3)要證明∠2＝∠4，先證明△OAD △OCB。 C 例題4 已知：如右圖，四邊形ABCD， OA＝OC，OB＝OD 2 1 3 求證：ABCD為平行四邊形 4 (方法一)問題分析 (1)要證明ABCD為平行四邊形，先證明AD//BC，AB//DC。 (2)要證明AD//BC，利用截角性質，證明∠2＝∠4(內錯角)。 (4)要證明AB//CD，同理。

  31. 平行與四邊形 2 1 3 4 A ∴△OAD △OCB(SAS) B O D C 證明 在△OAD和△OCB中， ∵OA＝OC (已知) OB＝OD (已知) ∠1＝∠3(對頂角相等) ∴ ∠2＝∠4 (對應角) ∴AD//BC(內錯角相等) 同理可證，AB//DC ∵AD//BC，AB//DC，∴ABCD為平行四邊形 ＃

  32. 平行與四邊形 A B O D (2)要證明AB＝DC，AD＝BC，先證明△OAB △OCD，△AOD △COB C (方法二)問題分析 在前面我們已證得「兩組對邊分別等長的四邊形必為平行四邊形」，所以 (1)要證明ABCD為平行四邊形，先證明AB＝DC，AD＝BC

  33. 平行與四邊形 A O B D C ∴△AOB △COD (SAS) 2.同理可證△AOD △COB，∴AD＝BC 證明 1.在△AOB和△COD中 5 1 3 6 ∵OA＝OC，OB＝OD (已知) 又∠5＝∠6 (對頂角) ∴AB＝CD (對應邊) 3. ∵AB＝CD，AD＝BC ∴ABCD為平行四邊形 ＃

  34. 平行與四邊形 練 習 隨 堂 D C A O B 已知：如右圖，四邊形ABCD，OA＝OC， OB＝OD且AC⊥BD。 (兩對角線互相平分且垂直) 求證：四邊形ABCD為菱形 問題分析 (1)要證明四邊形ABCD為菱形，先證明四邊等長。 (2)要證明四邊等長，先證明△OAB、△OCB、△OCD和 △OAD均全等。

  35. 平行與四邊形 D C A ∴△OAB △OCB △OCD △OAD (SAS) O B 證明 在△OAB、△OCB、△OCD和△OAD中 1 4 3 2 ∵OA＝OC，OB＝OD (已知) 又∵AC⊥BD， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝900 ∴ AB＝BC＝CD＝DA (對應邊) ∴ 四邊形ABCD為菱形 ＃

  36. 平行與四邊形 甲 乙 戊 丙 丁 A L C B 自我評量 1.已知「一組對邊平行且等長的四邊形必為平行四邊形」。如下圖，直線L平行線段BC，請在L上甲、乙、丙、丁、戊五個點中，選一點作為D點，使得ABCD連線形成一個平行四邊形。並說明其理由。 參考答案： 以A為圓心，BC為半徑畫弧，交L於戊點即為所求之D點。 因為 A戊//BC且A戊＝BC，所以ABCD為平行四邊形。

  37. 平行與四邊形 甲 乙 2.用甲、乙兩個全等的三角形，可以組合成平行四邊形嗎？有幾種組合方式？為什麼是平行四邊形？ D A C B

  38. 平行與四邊形 已知：如右圖，△ABD △CDB D A 求證：ABCD為平行四邊形。 C B 提示： (一) 「AD//BC且AB//DC」(兩組對邊互相平行) (二) 「AD//BC且AD＝BC」(一組對邊平行且相等) (三) 「AD＝BC且AB＝DC」(兩組對邊相等) (四) 「∠A＝∠C且∠ABC＝∠ADC」(兩組對角相等) (你可以推導看看嗎？)

  39. 平行與四邊形 D A C B 已知：四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D。 求證：四邊形ABCD為平行四邊形 問題分析 1.證明四邊形ABCD為平行四邊形，可先證明AD//BC，AB//DC 2.利用「平行線截角性質」證明平行。 證明 ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D 同理可證，AB//DC 又∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝3600 ∴四邊形ABCD 為平行四邊形 ∴∠A＋∠B＋∠A＋∠B＝3600 2(∠A＋∠B) ＝3600 ＃ ∴∠A＋∠B＝1800 ∴AD//BC(同側內角互補)

  40. 平行與四邊形 D A O B C 已知：如右圖，四邊形ABCD，其中OA＝OC＝OB＝OD (對角線互相平分且等長) 求證：ABCD為長方形 問題分析 1.要證明ABCD為長方形，先證明有 四個直角。 2.要證明有四個直角，先證明∠ABC為直角，另三個角 同理可證。

  41. 平行與四邊形 D A O B C 證明 1 1.在△ABC中， 2 4 3 ∵OA＝OB，且OB＝OC ∴△OAB和△OBC均為等腰三角形， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 2.同理可證，∠BCD、∠CDA、∠DAB均為直角， 又△ABC內角和等於1800 ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝1800 ∴四邊形ABCD為長方形 ＃ ∠2＋∠2＋∠3＋∠3＝1800 ∠2＋∠3＝900 ∴∠ABC為直角

  42. 平行與四邊形 有一種升降裝置，其基本原理如下圖，其中AC＝BC＝AD，升降過程當中∠1始終保持與∠2相等。試問AB和CD是否始終會保持平行且等長呢？ D A 1 2 B C 已知：如上圖，AC＝BC＝AD，且∠1＝∠2。 求證：AB＝CD，AB//CD。

  43. 平行與四邊形 D A C B 要證明AB＝CD，AB//CD，只要先證明△ABC △CDA 1 2 ∴△ABC △CDA (SAS) 【方法一】 3 問題分析 4 證明 在△ABC和△CDA中， ∵BC＝AD，AC＝AC，且∠2＝∠1 ∴ AB＝CD (對應邊) ，∠3＝∠4 (對應角) ∴ AB//CD (內錯角相等) ＃

  44. 平行與四邊形 D A C B 1 2 【方法二】 問題分析 「一組對邊平行且等長的四邊形」必為平行四邊形， 平行四邊形必有兩組對邊平行，兩雙對角相等。 證明 ∵ ∠1＝∠2，∴AD//BC (內錯角相等) 又 AD＝BC (已知) ∵ AD//BC且AD＝BC， ∴ ABCD為平行四邊形 ∴ AB//CD 且 AB＝CD ＃

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