第五节重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡

第4讲 第五节重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡以等角速旋转容器中的相对平衡液体为例，讨论相对平衡液体问题的一般分析方法。如图，一盛有某种液体的圆柱形容器，以等角速度绕其中心铅直轴旋转。液体达到平衡时。液面为一旋转曲面。将直角坐标系的原点选在液面中心，并取 z 轴竖直向上与转轴重合。这时液体中任一质点A受到的单位质量力在三个坐标轴方向上的分量分别为

将它们代入欧拉微分方程式得 在液体内对上式积分得式中C为积分常数。将边界条件x=y=z=0时，p=p0代入上式得 C=p0，则液体内部静水压强的分布规律为 (A) 作等角速度旋转的相对平衡液体，其内部静水压强的分布除与z轴有关外，还同时与x、y轴有关，即

(A) 表明，液面为一旋转抛物面。因为液体中任一点的水深，则由上(A)式可得讨论：（1）设液面的 z 轴坐标用zs表示，则将 p=p0 代入上(A)式可得液面方程为可见，在等角速度旋转的相对平衡液体中，铅直方向上的静水压强分布规律与静止液体中静水压强分布规律相同。可以证明，在重力和惯性力同时作用的相对平衡液体中，铅直方向上的静水压强分布规律都与满足上式。

（2）将P = 常数代入上(A)式得等压面方程为 该式表明，在等角速度旋转的相对平衡液体中，等压面为一系列平行于液面的旋转抛物面。注意，上述规律与水静力学基本方程一样，也必须是在同种相互连通的平衡液体中才成立。

第六节作用在平面上的静水总压力 平面上静水总压力的计算问题就是确定其大小和作用点。一、解析法如图，AB为一与水平面成角的任意形状倾斜平面，其左侧承受水压，水面与大气相通。设该平面面积为A，形心点为C。取平面AB的延伸面与水面的交线为ox轴，方向垂直纸面向里，oy轴沿着AB平面的倾斜方向向下。为使受压平面AB能展示出来，将其绕oy轴旋转90。

1．静水总压力P的大小 由于受压平面AB两侧都同时承受着大气压作用，求静水总压力时，可只计算相对压强引起的作用。在平面AB上任取一点M，围绕点M取一微元面积dA。设M点在水面下的淹没深度为h，则 dA面上受到的静水压力为根据平行力系的求和原理，整个AB面上静水总压力P的大小为

为受压平面AB对ox轴的静矩。由理论力学可知，其值等于受压面面积A与其形心点坐标 yc 的乘积。故式中pc和hc分别为受压面AB形心点C处的静水压强和C点在水面下的淹没深度。当受压平面形心在液面下的淹没深度hc不变时，只要受压面积不发生变化,静水总压力P值就不会随受压面的倾斜角而变化.

2．静水总压力P的作用点 静水总压力P的作用线与受压平面的交点称为静水总压力的作用点，又称为压力中心，常以D表示。 yD的确定如图，根据理论力学中的合力矩定理（即合力对某一轴的力矩等于合力的各分力对同一轴力矩的代数和），对ox轴取力矩得为受压面AB对ox轴的惯性矩，则

若令IC为受压面AB对通过其形心C并与ox轴平行的直线为轴的惯性矩，则根据理论力学中的惯性矩平行移轴定理得若令IC为受压面AB对通过其形心C并与ox轴平行的直线为轴的惯性矩，则根据理论力学中的惯性矩平行移轴定理得所以式中的yD和yC分别表示从静水总压力的作用点D和受压平面的形心C沿着受压平面到自由液面的距离总是正值，故上式就是计算yD的常用公式，因为式中的

yD>yC。这说明静水总压力P的作用点D总是位于受压平面的形心点C之下 xD的确定作用点D的横坐标xD的确定方法与yD类似。在工程实际中，受压平面常常具有纵向（即平行于oy轴方向）对称轴。这时，总压力的作用点D必位于该对称轴之上。故当yD确定之后，总压力作用点D的位置就完全确定了，可无需计算. 常见受压平面的面积A，形心yC和惯性矩IC的计算公式见下表

说明，上述公式只适用于受压平面一侧有同种液体，并且液面相对压强为零（即为自由液面）的情况。当不符合这些条件时，应注意正确使用这些公式。说明，上述公式只适用于受压平面一侧有同种液体，并且液面相对压强为零（即为自由液面）的情况。当不符合这些条件时，应注意正确使用这些公式。例如，若受压平面一侧为同种液体，但液面的相对压强不为零，公式中的hc应取受压平面形心点C在测压管液面下的淹没深度，式中的yC和yD则应取受压平面的形心点C和静水总压力的作用点D沿受压平面到测压管液面的距离. 二、图解法图解法就是利用静水压强分布图求解平面上静水总压力的方法。计算底边与液面平行的矩形平面上的静水总压力时，采用此法很方便。

如图为与水平面成角的矩形平面闸门，其宽度为b，高为l，上边缘与自由水面齐平，闸前水深为H。现讨论该闸门上静水总压力P的计算问题。 1．静水总压力P的大小恰好为闸门上静水压强分布图的面积,令为Sp，则式中该闸门上静水总压力P的大小等于作用其上的静水压强分布图的面积Sp与闸宽b的乘积，即为静水压强分布体的体积V。

2．静水总压力P的作用点 静水总压力P的作用线必通过静水压强分布体的形心并与矩形闸门的纵向对称轴相交，这一交点即为的作用点D。如图闸门上静水压强分布图为直角三角形，故作用点D到自由水面的距离为或D点的淹没深度为这一关系也可由解析法得到

例2-6某倾斜矩形闸门AB，转轴位于A端，如图。已知闸门的倾角α=60，门宽b=2.5m，门长l = 4m，门顶在水面下的淹没深度h1=3m。若不计闸门自重和轴间摩擦阻力，试求闸门开启时所需竖直向上的提升力T。【解】（1）先求作用于闸门上的静水总压力P 矩形平面上的静水总压力，可采用解析法和图解法两种方法求解。 ① 解析法 P的大小 P的作用点

式中 ②图解法 P的大小首先画出闸门AB上的静水压强分布图，如上图. 门顶A点的静水压强门底B点的静水压强面积为

则静水总压力P为 P的作用点如图，将闸门AB上的静水压强分布图分解为三角形和矩形两部分，并假设这两部分对闸门AB产生的作用力分别为P1和P2 根据合力矩定理，对A轴取力矩得故

（2）求竖直向上的拉力T 在不计闸门AB的自重和轴间摩擦阻力时，该闸门所受的力为：静水总压力P和提升力T。当提升力T对A轴的力矩大于等于压力P对A轴的力矩时，闸门AB才能被开启。令即竖直向上的提升力时闸门才能被开启

例2-7平面AB如图所示。已知其宽度b=1m，倾角α=45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m。试求作用在平面AB上的静水总压力大小及其作用点。例2-7平面AB如图所示。已知其宽度b=1m，倾角α=45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m。试求作用在平面AB上的静水总压力大小及其作用点。所以压强分布图的面积为【解】对于两侧具有同种液体的受压平面，采用图解法计算较为简单、方便，其求解过程如下：（1）总压力P 的大小画出AB平面上的静水压强分布图。该压强分布图由三角形AEA'和矩形EFBA'组成，图中

静水总压力P的大小为 （2）总压力P的作用点设三角形和矩形压强分布图对平面AB所产生的作用力分别为P1和P2. 则

小结： （1）平面壁静水总压力计算的解析法 P的大小 P的作用点（2）平面壁静水总压力计算的图解法作业4：

第五节 重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡