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La Probabilidad y la Estad ística en la Enseñanza Obligatoria . Fco. Vecino Rubio Dpto. Did áctica de las Matemáticas U.C.M. ¿Qu é enseñar?. (Competencias a enseñar en el campo de la Probabilidad y de la Estad ística en la Enseñanza Obligatoria) .

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La Probabilidad y la Estadística

en la

Enseñanza Obligatoria

Fco. Vecino Rubio Dpto. Didáctica de las Matemáticas U.C.M.

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¿Qué enseñar?

(Competencias a enseñar en el campo

de la Probabilidad y de la Estadística

en la Enseñanza Obligatoria)

Saber a enseñar (Teoría de la Transposición didáctica-Y. Chevallard)

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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESO

Introducción

Las probabilidades y la estadística constituyen ramas de las matemáticas que se han desarrollado tardíamente, respecto a otras. Así ocurre con la estadística matemática (nacida hacia el 1900) y con la probabilidad (axiomatizada por Kolmogoroff en 1933).

Su entrada en la enseñanza es relativamente reciente (Década de los 70). Toda proposición de enseñanza matemática de ese periodo tiene como característica la potencia de las matemáticas: a partir de un pequeño número de axiomas, se puede deducir un gran número de resultados (aspecto epistemológico)

Se pueden rastrear otras dos razones que han aconsejado la introducción de lo aleatorio en la enseñanza:

- Su papel cada vez más importante en la investigación científica, fundamental y aplicada (aspecto formativo)

- Su intervención en múltiples situaciones de la vida cotidiana (aspecto socio-cultural)

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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESO RELACIÓN ESTADÍSTICA-PROBABILIDAD

Estadística descriptiva (recogida y resumen de datos sobre ciertos hechos)

Probabilidad (teoría axiomática que servirá de modelo matemático para los estudios estadísticos)

Combinatoria (Capítulo precedente e introductorio a la probabilidad)

Consecuencia: Desconexión total de la probabilidad y la estadística

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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESORELACIÓN ESTADÍSTICA-PROBABILIDAD (años 82-87)

ESTADÍSTICA

  • Se da importancia a:
  • la organización de datos (selección, clasificación,árboles, histogramas, combinaciones,…)
  • la estadística descriptiva y sus medidas (media, mediana, varianza, desviación típica)

Consecuencia:

Falseamiento del juego y ocultación de ciertos elementos fundamentales:

- proponerse un problema

- determinar la población referencial y las muestras que se tomarán en cuenta

- reformulación de las cuestiones iniciales

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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESO RELACIÓN ESTADÍSTICA-PROBABILIDAD (años 87-92)

PROBABILIDAD

Cálculo de probabilidades, en el caso de sucesos equiprobables que puedan aparecer en un número finito de pruebas

Reducción de las mismas a un caso de combinatoria y cálculo a partir de la fórmula de Laplace

La relación estadística-probabilidad sigue siendo inexistente ya que las probabilidades se siguen introduciendo a partir de la combinatoria y de la equiprobabilidad

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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESO RELACIÓN ESTADÍSTICA-PROBABILIDAD (años 87-92)

  • En la introducción de la E.D. en la E.S.O. se declaran los siguientes objetivos:
  • asociar representaciones (esquemas, tablas, figuras,…) a las observaciones reales
  • asociar esas representaciones a actividades y conceptos matemáticos
  • usar las matemáticas para resolver problemas encontrados en otras disciplinas
  • Observada una situación y planteadas determinadas preguntas a propósito, se tendrá que:
  • recoger datos estadísticos pertinentes
  • organizarlos con la ayuda de útiles numéricos y gráficos
  • definir y usar (según los casos) conceptos y modelos matemáticos
  • resolver problemas en un modelos matemático considerado pertinente
  • confrontar soluciones obtenidas con la primera situación
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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESO RELACIÓN ESTADÍSTICA-PROBABILIDAD (años 87-92)

En ESO los alumnos retomarán ese marco estadístico, se introducirá la probabilidad (en forma idéntica a la introducción de periodos anteriores) llegando hasta la probabilidad condicionada y la ley binomial. La combinatoria continua siendo un capítulo indispensable para la introducción de la probabilidad.

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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESO RELACIÓN ESTADÍSTICA-PROBABILIDAD (años 1993-2001)

La novedad mayor la constituye la introducción de la probabilidad, al abandonar la aproximación laplaciana y adoptar la aproximación frecuentista, como una aplicación empírica de la ley de los grandes números.

Se introducen además de experiencias de equiprobabilidad, experiencias donde no es posible conjeturar a priori la probabilidad de un suceso dado (Ej.: lanzamiento de una chincheta)

Otra novedad la constituye el hecho de no considerar la Combinatoria como capítulo prólogo del de la probabilidad. Aparece como un útil más entre otros posibles.

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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESO y BUP RELACIÓN ESTADÍSTICA-PROBABILIDAD (años 2002 )

  • Se constata que el tema Estadística está dividido en dos:
  • una parte descriptiva y
  • una parte inferencial
  • En la parte descriptiva se estudian los parámetros de posición y, de forma más tímida, los de dispersión
  • En la parte inferencial se trata de familiarizar al alumno con las muestras aleatorias. Para ello se propone la realización práctica de una experiencia y la simulación posterior, con calculadora u ordenador.
  • Se introducen los parámetros de dispersión varianza y espacio intercuartil.
  • Por otra parte aparece la noción de probabilidad de forma similar a como se introducía en el periodo anterior
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Didáctica de la Probabilidad y Estadística en E. Primaria y ESO RELACIÓN ESTADÍSTICA-PROBABILIDAD (años 2002 )

Conclusiones:

Hay una aproximación a la probabilidad basada en la equirepartición, llamada por Bernouilli probabilidad a priori. Para ello es necesario un experimento con un número finito de sucesos equiprobables, lo que justifica un capítulo anterior de combinatoria.

Hay una aproximación frecuentista a la probabilidad, basada en la convergencia de las frecuencias cuando el experimento se realiza repetidamente (probabilidad a posteriori).

Presenta, sin embargo, algunas dificultades:

- no se trata de la convergencia estudiada por los alumnos en Análisis, por tratarse de una convergencia estocástica y, por otra parte

- puede ser que los alumnos no lleguen a dar el salto conceptual al fijarse sólo en la prueba empírica de la simulación

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¿Cómo enseñar?

(Competencias de Didáctica de la Probabilidad y de la Estadística a desarrollar por el profesor)

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NUESTRA PROPUESTA DIDÁCTICA

  •  PROBABILIDAD en Primaria y primer ciclo de la ESO
  • Planteamiento de situaciones problema que permitan una experimentación estocástica repetible
  • Aproximación frecuentista a la probabilidad Obtención de una regla general (fórmula de Laplace). Obtención de primeros resultados probabilísticos
  • Introducción de la combinatoria como un problema de lógica
  • ESTADÍSTICA en Primaria y primer ciclo de la ESO

Planteamiento de situaciones problema que permitan obtener datos de una muestra de una población dada

Organización de los datos obtenidos mediante simbolizaciones matemáticas adecuadas. Frecuencias asociadas a los datos obtenidos. Medidas de centralización y dispersión asociadas

CONSECUENCIA: Coordinación Probabilidad - Estadística

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INSTRUMENTOS TEÓRICO-DIDÁCTICOS PARA EJECUTAR NUESTRA PROPUESTA

Teoría de las situaciones didácticas (G. Brousseau)

Situaciones de introducción: Situaciones-problema a-didácticas

Variables didácticas ligadas a la proposición-resolución de problemas: el contexto (real o simulado), las preguntas, el programa de cálculo y la comunicación de resultados

Aprendizaje en un contexto de interacciones sociales (Organización de la clase en grupos)

Teoría de los campos conceptuales (G. Vergnaud)

Situaciones que dan sentido al concepto que se va a introducir

Técnicas de resolución de esas situaciones

Lenguaje característico de las situaciones de aprendizaje de la Probabilidad y de la Estadística

Consideración de los campos conceptuales respectivos de la probabilidad elemental y de la estadística elemental

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ALGUNAS SITUACIONES QUE EJEMPLIFICAN LA PROPUESTA DIDÁCTICA

1.- CASILLEROS. FICHAS (Situación de probabilidad donde intervienen varios campos conceptuales

2.- UN JUEGO AUDAZ (Situación de probabilidad donde se introducen los principales resultados del campo conceptual de la probabilidad elemental)

3.- LAS RULETAS (Situación Estadística)

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LOS CASILLEROS (Szendrei y Szitányi)

Una situación de aproximación al pensamiento probabilístico

En la pizarra está dibujado el casillero siguiente:

Regla: El maestro saca un número de las cartas, comprendido entre el 1 y el 9 (se han retirado los reyes), los alumnos escriben ese número en uno de los espacios (no se permite cambiar). Después de introducir esta carta entre las demás, saca otra y los niños escriben esa cifra en otra de las casillas libres. Después de introducir esa segunda carta, saca una tercera y los alumnos escriben la cifra en la casilla vacía. Gana el que obtiene un número mayor.

Objetivo doble:

- desarrollo de la mentalidad sobre sucesos aleatorios y, por tanto de la probabilidad (no hay estrategia segura)

- desarrollo de estrategias basadas en el sistema de numeración decimal

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LOS CASILLEROS (Szendrei y Szitányi)

Una situación de aproximación al pensamiento probabilístico

2. En otra clase se dibuja lo siguiente en la pizarra:

+

La regla es la misma que en la fase anterior, sólo que aquí sacaremos sólo los seis primeros números de la baraja (se eliminan del 7 al 10), que van a escribir ellos donde decidan.

El objetivo de tipo probabilístico sigue siendo el mismo (Se crea en los alumnos la inseguridad de dónde poner cada cifra que sale o de reservar el puesto de las centenas por si sale una cifra más grande)

El objetivo de tipo aritmético ha variado ya que se trata de determinar cuándo resulta la suma más grande

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LAS FICHAS (Szendrei y Szitányi)

Otra situación de aproximación al pensamiento probabilístico

  • Reglas:
  • El juego se juega por parejas
  • Cada miembro de la pareja elige un lado de la pista
  • Se juega con un peón, que se mueve por la pista,y con 10 fichas que tienen una cara verde y la otra roja. Cada uno elige un color
  • Cada uno por turno lanza las 10 fichas y el peón avanza una casilla, desde el centro hasta los extremos, si hay más fichas de su color
  • Gana quien llega el primero a su extremo.
  • Pista:
  • Objetivo:
  • Da igual la elección de color y, por tanto, el juego es equitativo
  • Desarrollo del pensamiento aleatorio
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LAS FICHAS (Szendrei y Szitányi)

Otra situación de aproximación al pensamiento probabilístico

2.El juego se desarrolla de la misma forma pero cada uno dispone de un peón para moverse.

Regla nueva: Avanza hacia su lado si el número de fichas de su color es par.

¿Tienen los dos las mismas probabilidades de avanzar?

¿Variaría algo si se jugase con 9 monedas?

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EL ÁBACO PROBABILÍSTICO

Un caso de cadena absorbente: Un juego audaz

Situación 1: Un jugador tiene 1€ y quiere llegar a 5 €. Para ello apuesta cada vez el máximo conveniente para llegar a su objetivo. ¿Qué probabilidad tiene de conseguirlo? ¿Cuántas veces tendrá que jugar como media? (Juega cada vez lanzando una moneda)

S

2

4

S

0

5

1

3

¿I?

slide21

BÚSQUEDA DE INVARIANTES Y LENGUAJE ASOCIADO

(Competencias que desarrolla esta situación)

  • ¿Asignación de probabilidades de transición entre estados consecutivos?
  • ¿Regla o teorema implícito?
  • ¿Probabilidad de paso de un estado absorbente a si mismo?
  • ¿Probabilidad de paso de un estado absorbente a otro?
  • ¿Cálculo de las probabilidades de paso entre dos estados cualesquiera?
  • ¿Conceptos o teoremas en acto aplicados?
  • ¿Cálculo del número medio de pasos para llegar de un estado a un estado absorbente?
  • ¿Tablas asociadas?
  • ¿Conceptos y teoremas en acto aplicados?
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EL ÁBACO PROBABILÍSTICO

Cadenas absorbentes

FUNCIONAMIENTO DEL ÁBACO PROBABILÍSTICO EN LAS CADENAS ABSORBENTES

1º) Se cargan todos los estados interiores con una ficha menos de las mínimas necesarias para poder mover. El estado de partida se carga con las mínimas necesarias para poder mover.

2º) Se mueve mientras haya un estado desde el que se pueda.

3º) Cuando ya no se puede mover desde ningún estado, se pregunta uno si todos los estados interiores (excluido el inicial) están cargados como al principio.

- Si la respuesta es sí, se ha acabado

- Si es no, se vuelve a cargar el inicial con las fichas necesarias para poder mover y se vuelve a 2º.

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EL ÁBACO PROBABILÍSTICO

Cadenas absorbentes

Cálculo de probabilidades y medias:

  • Cuando el juego se ha acabado:
  • la probabilidad de alcanzar un estado absorbente es:
  • “nº de fichas absorbidas en ese estado / nº total de fichas absorbidas”
  • el número medio de pasos hasta llegar a un estado absorbente (se para el algoritmo) es:
  • “nº total de pasos dados por el grafo/nº total de fichas absorbidas”
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UN CASO DE CADENA ABSORBENTE: UN JUEGO AUDAZ

2

4

0

5

1

3

M=30/15=2

P(5)=3/15=1/5

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LAS RULETAS. SITUACIÓN ESTADÍSTICA

1.- SITUACIÓN:

"Cada día, desde el inicio de curso, se giran varias veces dos ruletas (con las cifras del 0 al 9) y se apunta, cada vez, la cifra que indica el número de unidades del producto de los dos números resultantes"

2.- EXPERIMENTACIÓN

Se divide la clase en cinco equipos. Cada uno realiza 5 giros de ambas ruletas, anotan los resultados y realizan las tablas estadísticas correspondientes.

He aquí una tabla de 2000 ensayos que habrán rellenado los alumnos:

Se plantean entonces preguntas como:

Si se hacen otros 2000 ensayos, ¿se producirán los mismos resultados?

¿Los resultados encontrados serán próximos a los anteriores?

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LAS RULETAS. SITUACIÓN ESTADÍSTICA

3.- INVESTIGACIÓN

Se retiran las ruletas

El profesor guiará el debate, para llevar a los alumnos a realizar la tabla de multiplicación módulo 10:

Planteadas preguntas sobre el número de veces que aparece cada cifra, se llega a la confección de la tabla de frecuencias que, previa discusión sobre los parecidos entre ella y la tabla obtenida más atrás, debería llevar a la confección de una tabla de comparación de frecuencias relativas (son las que se parecen):

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LAS RULETAS. SITUACIÓN ESTADÍSTICA

Será conveniente realizar los histogramas correspondientes a ambos tipos de frecuencias relativas, para comprobar que son prácticamente superponibles.

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LAS RULETAS. SITUACIÓN ESTADÍSTICA

4.- SIMULACIÓN

"Dos urnas con 10 fichas numeradas del 0 al 9, cada una"

Realizadas algunas extracciones para calcular los productos, no será difícil llegar, con los alumnos, a la conclusión de que el modelo funciona igual si se usa una sola urna sacando dos fichas sucesivamente y volviéndolas a meter, cada vez, en la urna.

"Tabla de cifras aleatorias (se puede obtener con un ordenador) a disposición del alumno. Dos cifras,una después de otra, simulan una extracción"

Elaboración de tablas de frecuencias, observación de parecidos con las tablas teóricas y elaboración de conclusiones.

CONSECUENCIA: SECUENCIA DIDÁCTICA (EXPERIMENTACIÓN → MODELO TEÓRICO → SIMULACIÓN)