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第二章 行列式

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第二章 行列式. 学时: 18 学时。 教学手段: 课堂讲授与学生自学提出问题进行讨论相结合,教师辅导答疑,学生演练习题。 基本内容和教学目的: 基本内容:置换概念,行列式的定义、性质及其计算。 教学目的: 1 .准确理解和掌握行列式的定义和性质, 2 .能较为熟练地进行行列式的计算。 本章的重点和难点: 重点 行列式的计算 难点 行列式概念 , 行列式的展开定理及用定义证明行列式性质. §2.1 引言. §2.1 引言.

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第二章 行列式
  • 学时:18学时。
  • 教学手段:
    • 课堂讲授与学生自学提出问题进行讨论相结合,教师辅导答疑,学生演练习题。
  • 基本内容和教学目的:
    • 基本内容:置换概念,行列式的定义、性质及其计算。
    • 教学目的:
    • 1.准确理解和掌握行列式的定义和性质,
    • 2.能较为熟练地进行行列式的计算。
  • 本章的重点和难点:
    • 重点 行列式的计算
    • 难点 行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质
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§2.1 引言

解方程是代数中一个基本问题,在中学我们学过一元、二元、三元以至四元一次线性方程组。在解线性方程组时,我们曾用代入消元法和加减消元法来解线性方程组。例如,对二元一次方程组

(2.1.1)

利用加减消元法,由

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+

,则有

我们用记号

表示

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+

,则

是方程组(2.1.1)的公式解。

对三元一次线性方程组

(2.1.2)

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是方程组(2.1.2)的公式解。

代替

中第1

列,第

这里

是分别用

2列,第3列所得的行列式。

由此,我们引入了二阶行列式和三阶行列式的定义,同时给出了二元一次和三元一次线性方程组的公式解。

我们自然要问,对于n元一次线性方程组

(2.1.3)

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是否也有类似于(2.1.1)、(2.1.2)的公式解?

这首先就必须解决:能否把二阶、三阶行列式推广到n阶行列式?要解决这个问题,必须回答以下一系列问题:

  • 这个n阶行列式如何定义?
  • n阶行列式中一共包含有多少项?
  • 每一项由哪些元素组成?
  • 哪些项前面带正号?
  • 哪些项前面带负号?

有了n阶行列式的定义后,我们才能研究方程组(2.1.3)有没有类似于二元、三元方程组的公式解。

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一、排列与对换

由n个数码1,2,…,n组成的一个无重复的有序数组称为这n个数码的一个排列,简称为n元排列。

  • 排列的定义:

例如,

312是一个3元排列,2341是一个4元排列,45321是一个5元排列,等等。

3元排列共有多少种不同的排列?

123 132 213 231 312 321

n元排列共有多少种不同的排列?

在n元排列中,只有123…n这个排列是按自然顺序排列,其他排列或多或少破坏自然排列。

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在一个n元排列中,如果有一个较大的数码排在一个较小的数码前面,则称这两个数码在这个排列中构成一个反序,一个n元排列中所有反序的总和称为这个排列的反序数,记为
  • 反序的定义:

例如:

一般地,

这是计算一个n元排列的反序数的一般方法,特别在证明题中有用。

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中,如果交换

在一个n元排列

某两个数码的位置而别的数码不动,则称对这个排列施行了一个对换。

  • 对换的定义:

如果交换的两个数码是

,就把这个对换记为

例如

问题1:任意两个n元排列是否可经一系列对换而互变?

引理1:

任意一个n元排列

可经一系列对换变为自然排列12…n。

证明(用归纳法):

1、当n=2时,结论显然成立。

2、假设结论对n-1元排列成立,

(1) 则对任一个n元排列

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假如

,则由归纳假设知

可经

一系列对换变为12…(n-1)。于是经同样一系列的对换,

变为12…(n-1)n;

(2)假如

,设

,于是经

一次对换

,得

变为

由(1)知,经一系列对换可把

12…n。因而

可经一系列变换变为

12…n。(证毕) 由于对换是可逆的,因此有

推论1:

自然排列12…n可经一系列的对换变到任意一个n元排列: 。

由引理1和推论1,我们圆满地解决上面提出的 问题1,这就是:

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定理2.2.1:任意两个n元排列可经一系列对换互化。

问题2:排列的反序数可以是

,反序数

  • 排列的奇偶性:

究竟有何作用?

二、排列的奇偶性。

如果一个n元排列的反序数是一个奇数,则称该排列为奇排列,反序数是偶数的排列称为偶排列。

是偶排列。

例如:

是奇排列,而

问题3:

对n元排列施行一次对换,对排列的奇偶性有没有影响?

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例如,

定理2.2.2:每一个对换均改变排列的奇偶性。

证明:(先特殊后一般)

1、先考虑特殊情况,即对换的两个数在n元排列中是相邻的。

经对换(j,k)

设排列(1):

,在排列(1)中,

化为排列(2):

与其他数构成反序,则在排列(2)中仍然构成反序;

与其他数不构成反序的,则在排列(2)

中也不构成反序。不同的是

的顺序发生变化,

若在(1)中

构成一个反序,则在(2)中

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不构成一个反序,

不构成反序,或在(1)中

构成一个反序。无论是减少还是增

则在(2)中

加一个反序,排列反序数的奇偶性均发生变化,因此定理成立。

2、再考虑一般情况,设排列为(3):

对换后化为排列(4):

这样一个对换可以经由一系列相邻数码的对换来实现。从(3)出发,依次把

对换,

对换,与

…,与

对换。经过S+1次相邻数码的对换,排列

(3)化为排列(5):

;再把

依次与

对换,则经S次相邻数码的对换,排列(5)

就化为排列(4)。故经2S+1相邻数码的对换,

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就把排列(3)化为排列(4)。

由第一步知每一次相邻位置的对换均改变排列的奇偶性,因此,奇数次的对换的最终结果仍然改变排列的奇偶性。

在全体n元排列中,究竟是奇排列多还是偶排列多?

问题4:

定理2.2.3:当

时,在n!个n元排列中,奇、偶排列

各占一半,即各有

个。

证明:由于

,故由定理2.2.2知,在n元排列中总有

奇排列和偶排列,设在n!个n元排列中,有S个奇排列和T个偶排列。

把S个奇排列中的每一个排列的任两个数码对换,

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这S个奇排列就都变成偶排列,但总共只有T个偶排列,故

。同理对T个偶排列中每一个进行对换,

,又

。因此

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问题:如何定义n阶行列式?
  • 、二阶与三阶行列式的构造

特点:

(1)二阶行列式是一个含有

项的代数和;

(2)

每一项都是两个元素的乘积,这两个元素既位于不同的行,又位于不同的列,并且展开式恰好是由所有这些可能的乘积组成;

任意项中每个元素都带有两个下标,第一个下标表示元素所在行的位置,第二个下标表示该元素所在列的位置。当把

(3)

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特点:(1)共有3!项的代数和;

(2)

每一项是三个元素的乘积,这三个元素既位于不同的行又位于不同的列,展开式恰由所有这些可能的乘积组成;

(3)

当把每一项乘积的元素按行下标排成自然顺序后,每一项的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定。

二、n阶行列式的定义

1、

为一个n阶行列式,它等于所有

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的代

取自不同行不同列的n个元素乘积

数和,这里

的一个排列。

每一

  • n阶行列式共由n!项组成;
  • 要计算n阶行列式,首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积;
  • 把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺

中把行下标按自然顺序排列后,其符号

由列下标排列

的奇偶性决定。当

偶排列时取正号,当

是奇排列时取负号,

根据定义可知:

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序,其符号由列下标所成排列的奇偶性决定;

n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。

2、例子

例2.3.1:计算行列式

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例2.3.2:计算行列式

例2.3.3:用行列式定义计算

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例2.3.4:设

问:

是不是四阶行列式

的项?

如果是,应取何符号?

是,取符号:-1

是,取符号:-1

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例2.3.5:设

问:(1)dhsy与ptaz是否为

的项?应取何符号?

(2)

含有t的项有多少?

(6项)

注:

在一个行列式中,通常所写的元素本身不一定有下标,即使有下标,其下标也不一定与这个元素本身所在的行与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号,必须按照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。

在一般情况下,把n阶行列式中第i行与第j列交叉位置上的元素记为

在行列式

中,从左上角到右下角这条对角线称为主对角线

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—(3)

+

+

有相同的奇偶性

中,项

所带的符

定理2.3.1

在n阶行列式

号是

证明:1、交换项

—(1) 中任两个元素

的位置,不改变

把(1)中

对换后得

的奇偶性。

—(2)

由于对换改变排列的奇偶性,故

的奇偶性互化,

2、逐次交换(1)中的元素的次序,可以把(1)化为

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—(4)

而(4)的行下标与列下标所成排列和

的奇偶性与(3)相同,于是

因此项

所带的符号是

注:

本定理说明在确定行列式中某项应取的符号时,可以同时考虑该项行排列与列排列的反序数之和,而不一定要把行下标排成自然顺序。

的符号,写出四阶

例2.3.6:试确定四阶行列式中项

且取正号的所有项。

行列式中包含

解 所带符号是:

取正号的项包括

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几种特殊的行列式:

对角形行列式

上三角行列式

下三角行列式

slide31
直接用定义计算行列式是很麻烦的事,本节要导出行列式运算的一些性质,利用这些性质,将使行列式的计算大为简化。

的第i行

转置行列式:把n阶行列式

变为第i列(i=1,2,…,n)

所得的行列式

表示。

称为D的转置行列式,用

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性质1:行列式D与它的转置行列式相等。(转置变换)

证:考察D的任意项

—(1)

它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积,因而也是取自

的第

行,1,2,…,n列的

n个元素的乘积,因而也是

中的一项:

—(2)。

(1)项所带的符号是

, (2)项所带

的符号也是

。因而D中的任一项均为

中的项而且所带的符号也相同。同理可知

中的

任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D=

性质1表明,在行列式中,行与列的地位是相同的。凡是对行成立的性质,对列也同样成立。

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性质2 :

把行列式D中某一行(列)的所有元素同乘以常数k,相当于用数k乘这个行列式,即

(倍法变换)

证明:

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推论1:

一个行列式中某一行(列)所有元素的公因式可以提到行列式的符号外面。

推论2:

如果行列式中某一行(列)所有元素都为零,则这个行列式等于零。

在性质2中,取k=0,即知结论成立。

性质3:

交换行列式D中的某两行(列),行列式变号。(换法变换)

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即设

则有:

证:取D中任一项:

—(1)

它所带的符号是:

显然

也是

中的一项,

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它所带符号为:

。由于对换改变排列的奇

中对应项刚好相差一个符号,

偶性,故D中的任一项与

推论3:

如果行列式中有两行(列)的元素对应相同,则这个行列式等于零。

(交换这两行(列)即知

推论4:

如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则这个行列式等于零。

(利用性质2和推论3)

如果行列式中某一行(列)中的所有元素都可表成两项之和,则该行列式可拆成两个行列式之和,即(拆法变换)

性质4:

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性质5:

把行列式中某一行(列)的所有元素同乘上一个数k再加到另一行(列)的对应元素上,所得行列式与原行列式相等。(消法变换)

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利用性质4和推论4即知。

例2.4.1 计算行列式

slide41
定理2.4.1:

任一个n阶行列式都可以利用性质5中的行或列变换化为一个与其相等的上(下)三角行列式。

证明:设

1、先设D中第一列元素不全为零,若

则把第i行所有元素同乘1加到第一行上,则

故不妨设

把第一行依次乘以

后分别加到第2行,…,第n行,则

—(1)

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若D中第一列元素全为零,则D已经是(1)的形式。

现对(1)中第二列的

进行考虑,同上类似,

先设它们不全为零,不妨设

则利用上面相似的方法,可得

仿此不断进行下去,就可把D化为上三角行列式。

例2.4.3 计算n阶行列式

slide43

法一:

slide45
在一个n阶行列式

中,若有

则称

为n阶对称行列式;若有

则称

为反对称行列式。

例2.4.4 奇数阶的反对称行列式等于0。

证明:设

为奇数阶的反对称行列式。

由于

于是

slide48
上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式,然后根据定义算出行列式的值,或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式,然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值,即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。

例如

slide49
如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式,把n-1阶行列式转化为n-2阶,…,而行列式的阶数越小越容易计算,我们就可以化繁为简,化难为易,从而尽快算出行列式的值。

为了这个目的,我们需引进如下概念:

一、余子式和代数行列式

定义1(余子式):

在一个n阶行列式

中,划去元素

所在的

行和列,余下的元素构成一个n-1阶子式,称为元素

的余子式,记为

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定义2(代数余子式):

的余子式

附以符号

后,

称为元素

的代数余子式,记为

例2.5.1. 在行列式

中,求元素p和s的余子式

和代数余子式。

二、行列式依行(列)展开

先考虑比较特殊的情况,即一个n阶行列式中某一行(列)除一个元素外,其余元素都为零的情况,这时有以下引理。

slide51
引理:

如果行列式

中,第i行(或第j

列)中元素除了

外其余都是零,则

证明:

1、D中第一行元素除

外其余皆为零,这时

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2、假设D中第i行除

外其余皆为零,这时

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此时

把D中的第i行依次与第i-1行,第i-2行,…,第1行对换,再把第j列依次与第j-1列,第j-2列,…,第1列对换,这样共经过(i-1)+(j-1)次行与列的对换,则D转化为

注意到行列式中任两行(列)的对换改变行列式的符号,故

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3、行列式依行(列)展开

定理2.5.1 行列式

等于它的任意一行(列)中所有元素与

其代数余子式乘积的和,即有

证:

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定理2.5.2.行列式

中,某一行(列)中元素

与另一行(列)中对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即有

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考察行列式

然后按第j行展开即知。

例2.5.2. 计算行列式

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例2.5.3 计算行列式

解:

计算行列式的一个基本方法是:先利用行列式的性质把某行(列)化成有尽可能多的零,然后把行列式按这行(列)展开,这样计算要简单。如果不分青红皂白把行列式降阶,由于要计算的行列式个数成倍增多,则计算量未必减少。

slide61
这种计算行列式的方法称为递推法

证明范德蒙行列式

也可用归纳法证之

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对一般的数字行列式,如果它的元素之间没有特定的规律,其计算方法是:

1)利用行列式性质把它化为上三角或下三角行列式,则行列式的值等于其主对角线上元素的连乘积;

2)选定某一行(列),利用行列式性质把其中元素尽可能多的化为0;然后按这一行(列)展开,如此继续下去可得结果。

  • 如果行列式的元素之间有某种规律,特别是含字母或式子的行列式,则需根据不同情况采用不同方法加以计算,这方面的计算颇有技巧性,下面介绍一些典型方法。
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二、逐行(列)倍数依次相加法

例2.6.2 计算

(依次把第n列,第n-1列,…,第2列乘x加到第n-1列,… 2,1列)

三、递推法

例2.6.3 计算范德蒙行列式

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四、加边法

例2.6.4 计算

解:

slide70

时,

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五、归纳法

例2.6.75 计算

解:

slide73
证明:当n=2,3时,结论成立。

假设结论对n-2阶,n-3阶行列式成立,即

则对n阶行列式

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行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用,对于二元一次和三元一次方程组,当方程组的系数行列式不为0时,方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组,相应的结论也成立,这就是下面要介绍的Gramer法则。

设n元一次线性方程组为

—(1)

为这个方程组的系数行列式。

slide77
把D中的第j列换成常数列

后所得行列式记为

定理2.7.1 (Gramer法则):

如果线性方程组(1)的系数行列式

,则这个方程组

有唯一解,其解为:

—(2)

其中

是把D中的第j列元素换成常数项

所得的

行列式,

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该定理包括三个结论:

时有解;

  • 方程组在
  • 解是唯一的;
  • 解由公式(2)给出。

这三个结论相互之间有联系,因此证明的步骤是:

1、把(2)代入方程组,验证它是方程组(1)的解;

2、假设方程组有解,则它的解必可由公式(2)给出。

证:把方程组简写成

首先证明公式(2)确是方程组(1)的解。把

代入第i个方程得:

slide79
因此

确是方程组(1)的解。

再证方程组(1)的解必由公式(2)给出。设

是方程组(1)的任一解,

slide80
—(3)

则有

用D中第j列元素

的代数余子式

依次乘以(3)中每个方程得

把这n个方程相加得:

slide81

例2.7.1 解线性方程组

解:由于方程组的系数行列式

slide82
方程组有唯一解。

由于

方程组的解是

克莱姆法则只适用于方程个数与未知量个数相等,且系数行列式不等于零的线性方程组。如果方程个数与未知量个数不相等或虽相等,但系数行列式等于零,克莱姆法则失效。

注意:

slide83
如果在线性方程组(1)中常数项全为零,即有

—(4)

称方程组(4)为齐次线性方程组,这种方程组显然有解:

称其为零解。齐次线性方程组如果有其他的

解,则称为非零解。我们关心方程组(4)什么时候有非零解。

定理2.7.2:

若齐次线性方程组(4)的系数行列式

则方程组(4)只有零解。

证:由Gramer法则,方程组(4)只有唯一解:

但由于

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推论:

齐次线性方程组(4)有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。

取何值时,齐次线性方程组

例2.7.2 当

有非零解。

解:

时,方程组有非零解。

slide86
利用行列式的依行(列)展开可以把n阶行列式化为n-1阶行列式来处理,这在简化计算以及证明中都有很好的应用。但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k阶行列式来处理,这是必须利用Laplace展开定理。为了说明这个方法,先把余子式和代数余子式的概念加以推广。

定义

在n阶行列式D中,任意取定k

(k阶子式和它的余子式):

行或k列(

),设为第

行和第

列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的k阶子式记

为N,则在D中划去这k行k列后,余下的元素按照原来相对位置所构成的n-k阶子式

,称为子式N的余子式。

定义

(代数余子式):N的余子式M附以符号

,即

称为N的代数余子式。

slide87
注意:

当k=1时,上面定义的余子式和代数余子式就是§2.5中关于一个元素的余子式和代数余子式。

1、

2、

M是N的余子式,N便是M的余子式,M、N互为余子式。

例2.8.1 写出行列式

中取定第一行和

第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。

二阶子式共有

个。

引理:

n阶行列式D的任一个子式N与它的代数余子式

乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项,而且符号也一致。

证明:首先考虑N位于行列式D的左上方(即第1,2,…,

k行和第1,2,…,k列)的情况。这时

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D中k阶子式N的余子式

位于右下角,其代数余子式为

N的每一项可写作:

,其中

是1,2,…,

k的一个排列。所以这一项前面所带符号为:

中每一项可写为

其中

是k+1,k+2,…,n的一个排列。这一项在M中所带的符号是:

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)。

(或

这两项的乘积是:

由于

所带的符号是:

都比k大,所以上述符号等于

。因此这个乘积

是行列式D中的一项而且符号相同。

行,第

现考虑N位于D的第

列。这里

为了利用前面的结论,我们先把第

行依次与

行对换,这样经过

次对换把第

行换到第1行,再把第

行依次与第

行对换而换到第2行,共经

次对换,如此进行下去,一共经过

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次行对换把第

行换到第1,2,…,k行。

列换到第1,2,

利用类似的列变换,可以把N的第

…,k列,这时一共经过

次列变换,把N换到左上角,把M换到右下角。

表示经上述行、列变换后得到的新行列式,由于一次行

(列)对换改变行列式的符号,故新、旧行列式之间有如下关系:

由此可知,

和D的展开式中出现的项是一样的,只不过每一

项都相差符号为

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现在N位于

的左上角,它的余子式

位于

的右下角,

由第一步知

中的每一项都是

中的一项且符号相同,

中每一项都与D中的一项相等且符号一致。

(Laplace定理):设在行列式D中任意取定

定理2.8.1

行,由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们

的代数余子式的乘积的和等于行列式D。

证明:设D中取定k行后所得的子式为

它的

下证

代数余子式分别为

—(1)

由引理知,

中的每一项都是D中一项而且符号相同,而且

无公共项。因此要证明(1)式成立,只要

slide92
项,

证明等式两边的项数相等就可以了。由定义知D中共有

为了计算(1)的右边的项数,先算出t共有多少个。由组合

公式知

因此取出的k阶子式共有

个,而

中共有

项,

中共有

项,故等式(1)的右边的项数共有

例2.8.2 计算行列式

解:取定1、4两行,由Laplace定理得

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由上例可知,对特殊类型的行列式,Laplace展开能使计算简化,另外,定理还能用于理论证明。

定理2.8.2(行列式相乘规则):两个n阶行列式

的乘积等于

行列式

,其中

中第i行元素与

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中第j列对应元素的乘积之和,即

证明:构造一个2n阶行列式

取定前n行,根据Laplace展开得

作消法变换,即分别用

乘第1列,第2列,

…,第n列加到第n+1列,用

乘第1列,第2列,

slide95
…,第n列加到第n+2列,…,用

乘第1列,第2列,

…,第n列加到第2n列,则

化为

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