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Zeitreihenanalyse WS 2004/2005

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Zeitreihenanalyse WS 2004/2005. Michael Hauhs / Gunnar Lischeid. Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse

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Presentation Transcript
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Zeitreihenanalyse

WS 2004/2005

Michael Hauhs / Gunnar Lischeid

  • Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften
  • Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen
  • Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum
  • Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse
  • Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis
  • Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden
  • Skalierung, (Multi-)Fraktale
  • Komplexität und Information von Zeitreihen
  • Wavelets
zeitreihenmodellierung
Zeitreihenmodellierung

Mögliche Ziele und Arten:

  • exogene vs. endogene Modellierung (selbsterklärende Zeitreihenmodellierung)
  • linear vs. nichtlinear
  • stationär vs. nichtstationär; schwache Stationarität
  • deterministisch vs. stochastisch
  • chaotisch vs. regulär Reaktion auf Störungen
  • stabil vs. instabil Gleichgewichtszustand? Intermittenz?
exogene vs endogene modellierung
Exogene vs. endogene Modellierung

Exogen: die abhängigen Variablen

werden „von aussen“ gesteuert

Endogen: die Zeitreihe wird aus ihrer eigenen

Geschichte modelliert

woldsches theorem
Woldsches Theorem

Zerlegungstheorem (stationäre Variante):

Jede stationäre Zeitreihe kann als Summe

einer deterministischen und einer unkorrelierten

stochastischen Komponente geschrieben werden:

Zerlegungstheorem (instationäre Variante):

Jede linear instationäre Zeitreihe kann als Summe

von vier Termen geschrieben werden:

L – linearer Trend P – periodischer Trend

(Wold 1938)

lineare relationen und filter

mit Operatorpolynom

Lineare Relationen und Filter

Endogene Modellierung: Vergleich von beobachteten

Werten mit Modellierungsversuchen und/oder früheren

Beobachtungen. Dazu filtert man die Werte.

Definition: Rückwärtsschiebeoperator

Def.: Allgemeiner linearer Filter:

autoregressive modelle
Autoregressive Modelle

Idee: Der aktuelle Wert einer Zeitreihe ist durch

die Werte in der Vergangenheit deterministisch

bestimmt. Dazu kommt ein jeweils unvorhersehbares

Rauschen (Innovation)

Autoregressives Modell p-ter Ordnung

AR(p)-Modell

bedingungen an ar p modelle
Bedingungen an AR(p)-Modelle

d.h. das Rauschen ist unabhängig identisch verteilt

(i.i.d.). Häufigste Wahl: Gaußsches Rauschen

Deterministischer Anteil:

bestimmung der koeffizienten

soll möglichst wenig erklären!

Einsetzen der AR(p)-Formel, Ableiten nach

Autokovarianz:

Autokorrelation:

Bestimmung der Koeffizienten

Der deterministische Anteil soll maximal viel erklären.

partielle autokorrelationsfunktion

Lineares Gleichungssystem für die PACF

Partielle Autokorrelationsfunktion

Allgemeines Regressionsproblem:

Interpretation: PACF verschwindet für größere Lags

Abweichung zwischen ACF und PACF deutet auf

ungenügendes Modell (z.B. k zu klein)

yule walker gleichung
Yule-Walker Gleichung

Einsetzen der Minimalbedingung:

(Yule und Walker 1927)

Matrixinversion:

explizites beispiel i ar 1

ACF des AR(1)-Prozesses:

Exponentieller Abfall!

Explizites Beispiel I: AR(1)

In der Hydrologie auch: Thomas-Fiering-Modell

  • erhält erstes und zweites Moment
  • geeignet für kurzfristige („operationelle“) Vorhersage
  • Generierung synthetischer Abflussganglinien
explizites beispiel ii ar 2
Explizites Beispiel II: AR(2)

Bestimmungsstücke:

Daraus folgt (Übungsaufgabe!)

vergleich acf pacf
Vergleich ACF - PACF

Optimale AR(20)-Modellierung für Lehstenbach

defizite der ar modellierung
Defizite der AR-Modellierung

Kurzzeitbereich:

  • Glättung der Extrema, Verpassen von Spitzen
  • Verzögerung von Wendepunkten

Langzeitbereich:

  • exponentieller Abfall der ACF
  • keine Instationaritäten
ma q modelle
MA(q)-Modelle

Auch Rauschen kann Gedächtnis haben!

Moving-Average-Modell

Koeffizientenbestimmung wieder aus ACF:

Lösung i.d.R. numerisch (nichtlinears Gl.-Sys.)

ma 1 und ma 2 explizit

MA(1):

MA(2):

MA(1) und MA(2) explizit

ACF von MA(q)

verschwindet exakt

für k > q

aufgabe
Aufgabe
  • Führen Sie eine Fourieranalyse des Niederschlags-Temperatur-Abfluss-Datensatzes durch.
  • Rekonstruieren Sie die Zeitreihen; führen Sie dabei eine Bandpassfilterung durch, indem Sie nur die vorherrschenden Frequenzen berücksichtigen.
  • Erstellen Sie das Powerspektrum der Niederschlags-, Temperatur- und Abflussdaten, und bestimmen Sie die Steigung βder Regressionsgeraden im doppelt-logarithmischen Plot.
  • Suchen Sie Modelle AR(p) mit 0<p<5 und AM(q) mit 0<q<5 für den Niederschlags-Temperatur-Abfluss-Datensatz (saisonal und nicht saisonale Varianten).
  • Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen aus der Fourieranalyse.
anwendungsbereich der ma q modelle
Anwendungsbereich der MA(q)-Modelle
  • Test der Autokorrelation: ist nach einem endlichen (kleinen) Lag die ACF nicht mehr signifikant von Null verschieden?
  • Fehlen Trends und Periodizitäten?
  • Dann ist eine MA(q)-Modellierung vielversprechend
  • In den Geowissenschaften: im Wesentlichen keine Anwendung reiner MA(q)-Modelle
arma p q modelle
ARMA(p,q)-Modelle

Kombination beider Modelltypen:

Auto Regressive Moving Average Modell

der Ordnungen p und q

Operatorschreibweise:

koeffizienten des arma p q modells
Koeffizienten des ARMA(p,q)-Modells

In aller Regel wird das folgende Gleichungssystem

numerisch gelöst:

Explizit: ARMA(1,1)

prinzipielle anforderungen an arma p q modelle
Prinzipielle Anforderungen an ARMA(p,q)-Modelle
  • Kausalität: hängt „glatt“ von Vorgängern ab, wächst nicht über alle Grenzen
  • Invertierbarkeit: aus den modellierten Werten soll man das Rauschenzurückrechnen können
  • Stationarität
zusammenfassung arma modelle

kompakt:

Zusammenfassung: ARMA-Modelle

AR(p)-Modell

MA(q)-Modell

ARMA(p,q)-Modell

kausalit t bei arma p q modellen

Satz: Haben die beiden Polynome keine gemeinsamen

Nullstellen und liegen alle Nullstellen von

außerhalb des Einheitskreises:

Kausalität bei ARMA(p,q)-Modellen

Def.: Charakteristische Polynome des B -Operators

dann ist der ARMA(p,q)-Prozess kausal.

motivation zur kausalit t ar 1 modell

)

(d.h.

Motivation zur Kausalität: AR(1)-Modell

mit formaler Umkehrung:

Divergenz für

Widerspruch zu Kausalität, Stationarität

(aus endlichen Ursachen entwickeln

sich unbegrenzte Wirkungen)

kausalit t arma und ma

Ein kausaler ARMA(p,q)-Prozess ist äquivalent

zu einem Prozess

Kausalität, ARMA und MA

Satz: Liegt ein kausaler ARMA(p,q)-Prozess vor,

kann man auch äquivalent schreiben

Dabei erhält man die Koeffizienten

durch Auswertung von

und es gilt

invertierbarkeit von arma p q modellen

Satz: Haben die beiden Polynome keine gemeinsamen

Nullstellen und liegen alle Nullstellen von

außerhalb des Einheitskreises:

Invertierbarkeit von ARMA(p,q)-Modellen

dann ist der ARMA(p,q)-Prozess invertierbar.

motivation zur invertierbarkeit ma 1 modell

)

(d.h.

Motivation zur Invertierbarkeit: MA(1)-Modell

mit formaler Umkehrung:

Divergenz für

Widerspruch zu Invertierbarkeit, Stationarität

(aus der Zeitreihe kann nicht auf das

Rauschen geschlossen werden)

invertierbarkeit arma und ar

Ein invertierbarer ARMA(p,q)-Prozess ist äquivalent

zu einem Prozess

Invertierbarkeit, ARMA und AR

Satz: Liegt ein invertierbarer ARMA(p,q)-Prozess vor,

kann man auch äquivalent schreiben

Dabei erhält man die Koeffizienten

durch Auswertung von

und es gilt

stationarit t von arma p q modellen

Stationaritätstests für ARMA(p,q)-Modelle

aus zwei Kriterien

Stationarität von ARMA(p,q)-Modellen

Satz: Ist ein ARMA(p,q)-Prozess

kausal und invertierbar, dann ist er stationär.

Achtung: Wenn das ARMA-Modell einer Zeitreihe

stationär ist, muss es die Zeitreihe selber nicht sein!

zusammenfassung arma modelle1

kompakt:

Zusammenfassung: ARMA-Modelle

AR(p)-Modell

MA(q)-Modell

ARMA(p,q)-Modell