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第四章 弯曲应力

第四章 弯曲应力. 杆件承受垂直于其轴线方向的外力 , 或在其轴线平面内作用有外力偶时 , 杆的轴线变为曲线 . 以轴线变弯为主要特征的变形称为 弯 曲 。. y. z. 形心. F 2. F 1. 力学模型. 杆轴. X. F A. F B. 纵向对称面. §1 对称弯曲的概念及梁的计算简图. 构件几何特征. 构件为具有纵对称面的等截面直杆. 横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内. 受力特征. 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动. 变形特征.

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第四章 弯曲应力

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  1. 第四章 弯曲应力

  2. 杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其轴线平面内作用有外力偶时, 杆的轴线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形称为弯 曲。

  3. y z 形心 F2 F1 力学模型 杆轴 X FA FB 纵向对称面 §1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 构件几何特征 构件为具有纵对称面的等截面直杆 横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内 受力特征 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动 变形特征

  4. F2 F1 杆轴 X FA FB 纵向对称面 对称弯曲 构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面 平面弯曲 梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合 对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。 非对称弯曲 构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形

  5. 梁：以弯曲变形为主的杆件 静定梁 支座反力可以由静力平衡方程求解的梁 超静定梁 支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁

  6. 梁按支承方法的分类 3（2） 简支梁 3（2） 悬臂梁 固定梁 外伸梁 3（2） 6（4） 连续梁 4（3） 半固定梁 4（3）

  7. 作用在梁上的载荷形式 分布荷载 集中力 线性(非均匀)分布荷载 Me 均匀分布荷载 集中力偶

  8. F a A B FA FB x §2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图 M FA Fs

  9. 符号规定： Fs＞0 Fs＜0 M＞0 M＜0 使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。

  10. 4.1 例 题 B A C D A C B C D D B 试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩

  11. 截开后取左边为示力对象： • 向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； • 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； • 顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。 截开后取右边为示力对象： • 向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力； • 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； • 顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。

  12. 4.2 例 题 求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、G各截面上的内力。

  13. 4.3 例 题 3 4 5 1 2 1 2 5 3 4 求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力

  14. 例题 4.4 一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零。

  15. A B x FA FB 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图

  16. 例题 4.5 X 图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力图和弯矩图. kN kNm

  17. 例题 4.6 A B X2 X1 2.5 图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图. 35kN 25kN kN kNm

  18. 分布荷载集度、剪力和弯矩间的 微分关系及其应用

  19. 剪力图是水平直线. 弯矩图是斜直线. 弯矩图是水平直线. 剪力图是斜直线. 弯矩图是二次抛物线. 若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积. 若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的M2等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面积.

  20. + + -

  21. 例题 4.7 4.8  kN kN kNm kNm

  22. 突 变 规 律(从左向右画) • 1、集中力作用处，FS图突变，方 向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。 • 2、集中力偶作用处，M图发生 突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。

  23. 例题 4.9 作图示梁的内力图 kN kNm

  24. 例题 4.10 4.5 kN 1.5 5.5 kNm

  25. 例题 4.11 用直接法作图示梁的内力图 kN kNm

  26. 例题 4.12 C D A B C D A B FB’ MA FB FD FA kN kNm

  27. 例题 4.13 F 1/2qL2 FL qL 1/2qL2+FL F F+qL 叠加法作弯矩图 ＋

  28. 例题 4.14 + - - +

  29. 例题 4.15 + - - +

  30. 结构对称， 载荷反对称， 则FS图对称， M图反对称

  31. 结构对称，载荷对称，则FS图反对称， M图对称

  32. 刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。 当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。 横梁 立柱 §3 平面刚架和曲杆的内力图 在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。

  33. 例题 4.16 B C L q L A 求做图示刚架的内力图 qL/2 qL qL/2

  34. 例题 4.17 2kN B C 4m 4m 2kN/m A 求做图示刚架的内力图 8kN 24kNm 2kN

  35. 例题 4.18 A L1 L2 F 等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,试作折杆的剪力和弯矩图

  36. 图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.  例题 4.19 r B C F 2r A AB: BC:

  37. §4 梁横截面上的正应力.梁的正应力条件 纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。 纯弯曲时梁横截面上的正应力

  38. 1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。 实验现象： • 2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。 • 平面假设： 变形前杆件的横截面变形后仍为平面。 • 中性轴： 中性层与横截面的交线称为中性轴。

  39. MZ:横截面上的弯矩 y:到中性轴的距离 IZ:截面对中性轴的惯性矩

  40. 例题 4.20 长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。 （压）

  41. 例题 4.21 100 200 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。 竖放 横放

  42. 例题 4.22 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。

  43. 对梁的某一截面： 梁的正应力强度条件 对全梁（等截面）：

  44. 例题 4.23 长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度［σ］=215MPa。 查表 N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3 kN kNm

  45. 例题 4.24 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。 B截面 C截面 如果T截面倒置会如何???

  46. 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。  例题 4.25 B A

  47. 例题 4.26 辅助梁 为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ] ＝160MPa，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？ 1.确定F加在辅助梁的位置 FA FB 令:

  48. FA FB 辅助梁 为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ] ＝160MPa，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？ 2.确定工字钢型号 ％ ％

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