离散数学

离散数学 第四篇图论

离散数学 第十章树

本章内容 10-1 无向树及生成树 10-2 根树及其应用

3、生成树的定义，由连通图构造最小 生成树的方法。 10-1 无向树及生成树内容：无向树，生成树。重点：1、无向树的定义 (包括等价定义)， 2、无向树的性质，本章中所谈回路均指简单回路或初级回路。

无向树简称树，常用 表示。 ——连通分支数大于等于2，且每个连通分支都是树的无向图。 10-1-1 无向树一、无向树 1、无向树 ——连通且不含回路的无向图。平凡树 ——平凡图。森林

a d b c e f (1) (4) (3) (2) 例以下是否是树，是否是平凡树，是否是森林

定理：设 ，，，则以下命题等价。 (1) 连通且不含回路。 (2) 的每对顶点间具有唯一的路径。 (3) 连通且。 (4) 无回路且。树的等价定义树的六个等价定义。

(5) 无回路，但在中任两个不相邻的顶点之间增加一条边，就形成唯一的一条初级回路。 (6) 是连通的，但删除任何一条边后，就不连通了。树的等价定义

(1) 树中顶点数与边数的关系： 。证明：设为阶非平凡树，设有片树叶，则有个顶点度数大于等于2，由握手定理，又由(1) ，代入上式，解得，至少2片叶。即树的性质 (2) 定理：非平凡树至少2片树叶。

解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此 6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五种度数序列： (1) 例2 画出所有的6个顶点的非同构的树。

(2) 例2 画出所有的6个顶点的非同构的树。

(1) 一棵树有7片叶，3个3度顶点，其余都 是4度顶点，求4度顶点多少个？个4度顶点，则顶点数解：设有，边数，由握手定理，，解得，例3 故这棵树有1个4度顶点。

(2) 一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点， 其余都是树叶，求这棵树共有多少个顶点？片树叶，则顶点数解：设有，边数，由握手定理，，解得，故顶点总数为个。例3

1、定义：设 是无向连通图，是的生成子图，若是树，称是的生成树。 —— 在中的边， —— 不在中的边， —— 的所有的弦的集合的导出子图。 10-1-2 生成树树枝弦余树

例4 上图中，(2)是(1)的生成树， (3)是(2)的余树。 (1) 生成树不唯一，注意： (2) 余树不一定是树。

设为连通图，，， (1) 至少有一棵生成树， (2) ， (3) 设是的生成树，是的余树，则中有条边。已知连通图，求其生成树步骤。连通图的性质若G无回路，则G本身就是树，若G中有回路C，则删除C上任一边，不影响图的连通性，若还有回路，就再删除此回路上的一条边，直到图中无回路为止，得到的即G的生成树。

对于有向图或无向图 的每条边附加一个实数，则称为边上的权，连同附加在各边上的实数称为带权图，记为。定义：设无向连通带权图，是的一棵生成树，各边带权之和称为的权，记作。最小生成树最小生成树 ——各边权和最小的生成树。

—— 避圈法。设阶无向连通带权图中有条，它们带的权分别为，边不妨设， (1) 取中 (非环，若 )。在为环，则弃 (2) 若不与构成回路，取在中，否则弃，再查，继续这一过程，直到形成树为止。 Kruskal 避圈法求最小生成树的方法

求以下连通图的最小生成树 及。解：例5

的最小生成树可能不唯一， 但的不同最小生成树权的值一样。注意

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