algebra struktury s jednou operac n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Algebra Struktury s jednou operací PowerPoint Presentation
Download Presentation
Algebra Struktury s jednou operací

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 19

Algebra Struktury s jednou operací - PowerPoint PPT Presentation


  • 134 Views
  • Uploaded on

Algebra Struktury s jednou operací. Proč zavádíme algebru. hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména pak matematiky) a pro popis operací s těmito objekty chceme tento nástroj budovat postupně od nejjednodušších objektů (univerzálních) po úzce specializované objekty.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Algebra Struktury s jednou operací' - orinda


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
pro zav d me algebru
Proč zavádíme algebru
  • hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména pak matematiky) a pro popis operací s těmito objekty
  • chceme tento nástroj budovat postupně od nejjednodušších objektů (univerzálních) po úzce specializované objekty
z kladn pojmy
Základní pojmy
  • Každý objekt je reprezentován
    • datovým nosičem – množina popisující data, se kterými pracujeme
    • operacemi– nejjednoduššími transformacemi, které nad daty můžeme provádět
  • Binární operace na množině je zobrazení A  A  A, obvykle použijeme infixový tvar pro zápis operace a  b
grupoid
Grupoid
  • Nejuniverzálnějším objektem je grupoid(A, ), což je datový nosič A s jednou operací 
  • Jedinou vlastností je fakt, že užitím operace na libovolné dva prvky z A dostaneme opět prvek z A. Tedy množina A je vzhledem k operaci  uzavřená.
  • Zavádíme pojem komutativní grupoida,b  A: a  b = b  a
pologrupa
Pologrupa
  • Pro asociativní operaci platí a,b,c A: (a  b)  c = a  (b  c)
  • Pologrupa (A, ) je grupoid s asociativní operací
  • POZOR! Vlastnosti grupoidu zůstávají
  • Opět můžeme hovořit o komutativní pologrupě, pokud je operace navíc komutativní
  • Opakovanou aplikací operace na tentýž prvek získáme mocninu
    • v monoidu (A, ) označíme an = aa ... a (n-krát) pro lib. nN
neutr ln prvek
Neutrální prvek
  • Levý neutrální prvek je takové e  A, které splní a  A: e  a = a
  • Analogicky pravý neutrální prvek je takové e  A, kde a  A: a  e = a
  • Levých neutrálních prvků může být více, pokud nejsou žádné pravé (a naopak).
  • Obsahuje-li pologrupa levý a pravý neutrální prvek, pak se musí jednat o tentýž prvek, který se nazývá neutrální prvek
    • důkaz: el = el  ep = ep
monoid
Monoid
  • Monoid (A, ) je pologrupa s neutrálním prvkem
  • Monoid je tedy množina s operací, kde platí uzavřenost, asociativní zákon a existuje neutrální prvek (oboustranný).
  • V případě komutativní operace hovoříme o komutativním monoidu.
inverzn prvek
Inverzní prvek
  • Mějme monoid (A, ) s neutrálním prvkem e
  • Pak b  A je levý (resp. pravý) inverzní prvek k a  A, pokud platíb  a = e (resp. a  b = e)
  • Inverzní prvek je pak takový prvek, který splní a  b = b  a = e
  • Inverzní prvek k prvku a značíme a-1
grupa
Grupa
  • Je dán monoid (A, ), kde je a  A, e neutrální prvek, l levý inverzní prvek k a a p pravý inverzní prvek k a. Pak platí:p = e  p = (l  a)  p = l  (a  p) = l  e = l
    • Z uvedeného plyne, že l = p
  • V monoidu tedy neexistuje nic jako levý a pravý inverzní prvek!
  • Grupa (A, ) je monoid, kde ke každému prvku existuje prvek inverzní
  • Opět hovoříme také o komutativní grupě
d prvku a d grupy
Řád prvku a řád grupy
  • Řád prvku a grupy (G, ) je nejmenší přirozené číslo n takové, že an = e.
  • Pokud takové n neexistuje, pak a má řád 0.
  • Řádem grupy se nazývá mohutnost, tj. počet prvků její nosné množiny.
zbytkov t dy
Zbytkové třídy
  • Pro dané číslo n  N definujeme na množině Z relaci ρ takto:a ρ b  a ≡ b (mod n)  n | a-b
    • Tedy v relaci jsou spolu právě taková čísla a a b, která dávají po dělení n stejný zbytek
  • Relace ρ je relací ekvivalence na množině Z.
  • Této relaci přísluší rozklad Z/ρ
    • značí se Zn
    • jednotlivé prvky (třídy) rozkladu se nazývají zbytkové třídy a značí se [a]n
      • tedy [a]n = {a + kn | k  Z}
operace se zbytkov mi t dami
Operace se zbytkovými třídami
  • Na množině zbytkových tříd modulo n lze definovat operace + a * takto:
    • [a]n + [b]n = [a+b]n
    • [a]n [b]n = [ab]n
  • Operace jsou korektně definovány pomocí reprezentantů
  • Modulární aritmetika; aplikace v kryptografii
  • Množina zbytkových tříd je uzavřená vzhledem k operacím sčítání a násobení
grupy zbytkov ch t d
Grupy zbytkových tříd
  • Algebraická struktura (Zn,+) je komutativní grupa pro libovolné n
    • operace je uzavřená, komutativní a asociativní
    • existuje neutrální prvek e = [0]n
    • ke každému prvku [a]n existuje inverzní prvek [-a]n
  • Algebraická struktura (Zn, ) je komutativní monoid pro libovolné n
    • operace je uzavřená, komutativní a asociativní
    • existuje neutrální prvek e = [1]n
    • inverzní prvky obecně existovat nemusí
invertibiln prvky
Invertibilní prvky
  • Prvky, k nimž existuje inverze
  • Třída [a]n má inverzi  NSD(a,n)=1
    • plyne z Bezoutovy rovnosti
  • Vypustíme-li všechny třídy soudělné s modulem (včetně nulové), získáme grupu zbytkových tříd – značíme (Zn*,)
tradi n matematick p klady
Tradiční matematické příklady
  • (N, +)komutativní pologrupa
  • (N0, +)komutativní monoid
  • (N, )komutativní monoid
  • (Z, +)komutativní grupa
  • (Z, )komutativní monoid
  • (Q, +)komutativní grupa
  • (Q, )komutativní monoid
  • (Q-{0}, ) komutativní grupa
  • (Zn, +)komutativní grupa
  • (Zn, )komutativní monoid
  • (Zn*, )komutativní grupa
vlastnosti struktur
Vlastnosti struktur
  • V pologrupách nezáleží na uzávorkování
  • V komutativní grupoidech nezáleží na pořadí
  • V pologrupách definujeme mocninu an jako aplikaci operace na n činitelů a
  • Mocnina se zápornými n se definuje jako inverze na mocninu
  • V monoidu existuje také a0 = e
  • V grupě je inverzí k prvku a  b prvek b-1 a-1
  • Lze dokázat (v monoidu) platnost am an = am+n, (am)n = amn
p klady

Na konečné množině A = {@, #, $,%} je možno zadat operaci * tabulkou.

Rozhodněte, zda je operace * komutativní a asociativní

Existuje v grupoidu (A,*) neutrální prvek?

Pokud ano, existuje ke každému prvku inverzní prvek?

Ukažte, že ({a,b}+, ·) je pologrupa, ale není monoid.

Určete řád prvku 5 v grupě (Z7, +)

Určete řád prvku 3 v grupě (Z5*, ·)

Určete vlastnosti struktur ({0,1},+) a ({0,1},·)

Příklady
podstruktury
Podstruktury
  • Nechť (A,*) je grupoid / pologrupa / monoid / grupa a nechť BA. Jestliže je i (B,*) grupoid / pologrupa / monoid / grupa, nazýváme jej / ji podgrupoid / podpologrupa / podmonoid / podgrupa.
  • Například (S0, +) je podmonoidem monoidu (N0, +), kde S značí množinu všech sudých přirozených čísel.
podgrupy
Podgrupy
  • (H, ) je podgrupou grupy (G, ) právě tehdy, když:
    • H  G
    • e  H
    • a  H  a-1  H
    • a,b  H  a  b  H
  • Pomocí množiny M  G můžeme generovat podgrupu (M, ) grupy (G, ) – hovoříme o podgrupě generované množinouM
  • Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá cyklická