华南农业大学理学院应用数学系

1. 线性代数 张连宽 zhangliankuan@scau.edu.cn 华南农业大学理学院应用数学系

2. 第一章 矩 阵 • 第二章 向量与线性方程组 • 第三章 矩阵的特征值与特征向量 • 第四章 向量的内积与二次型 • 第五章 线性空间 • 第六章 Matlab软件的应用

3. 第一章 矩阵与线性方程组 • §1 矩阵及其运算 • §2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法 • §3 行列式及其性质

4. 第一节 矩阵及其运算 1.1.1 线性方程组及其矩阵表示 1.1.2 矩阵的基本运算及性质 1.1.3 逆矩阵

5. 1.1.1 线性方程组及其矩阵表示 m个方程， n个未知数

6. 定义 称为m行n列矩阵，简称 矩阵，i,j分别称为矩阵A的行标和列标。 其中诸 叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记

7. 行矩阵 列矩阵 元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记为O

8. 矩阵的行数和列数相等，称之为方阵。 把n行n列矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵，简称n阶阵

9. 几种特殊形式的矩阵 n阶单位矩阵，简记作E. 称为对角矩阵

10. 三角形矩阵有两种，分别称 或 为上三角形矩阵或下三角形矩阵。

11. 数量矩阵 EA=AE=A

12. 定义 两个矩阵行数相同，列数也相同时，称为同型矩阵 那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B

14. 1.1.2 矩阵的基本运算及性质 一 矩阵的加减法 定义 那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为 对应元素相加

15. 例 设 则

16. 矩阵的加法满足下列运算规律 （i）A+B=B+A (交换律） （ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律） (iii) A+O=O+A=A -A称为矩阵A的负矩阵，显然有 对应元素相减 A+(-A)=(-A)+A=O 矩阵的减法：A-B=A+(-B)

17. 二 矩阵的数乘运算 定义 （1） （4） （2） （5） （3） （6）

18. 矩阵的乘法的： 并记作 C=AB

19. 矩阵乘法的规则： （1）两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第I行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i行第j列）的元素。 (2)为保证规则（1），前矩阵的列数应与后矩阵的的行数相等，否则两矩阵不能相乘。 （3）乘积矩阵的行数与前矩阵相同，乘积矩阵的列数与后矩阵相同。

20. p n p m A = n m B C 矩阵乘法的法则：乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素 等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中顺次对应的各个元素的乘积之和。

21. 例 设 求AB 矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义

22. 例 设 求AB和BA AB BA AB和BA都意义，但不同型

23. 例 求AB和BA AB BA (1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵

24. 例 求AB和BA AB BA =AB 如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换

25. 矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律 (i) (AB)C=A(BC) (ii) (iii)

26. 矩阵的幂 设A是n阶方阵，k为正整数，则 表示 k个A连乘, 如 显然，只有方阵的幂才有意义

27. 行列对调 转置矩阵 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作 例 运算规律

28. 对称矩阵 如果方阵A满足 就称A为对称矩阵 例如 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素都相等 方阵A为对称矩阵 设A为任意矩阵，则 恒为方阵，且都是对称矩阵 • 设B为任意方阵，则 恒为对称矩阵

29. 1.1.3 逆矩阵 AB BA 称B为A的逆矩阵

30. 定义 设A为n阶方阵。 如果存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E 就称为A可逆矩阵， 并称B为A的逆矩阵（简称逆),记作 定理 如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 证明 设B和C都是A的逆矩阵， 则AB=BA=E, AC=CA=E B =BE =B(AC) =(BA)C =EC =C

31. 性质 定理 如果A和B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且 证明 故由推论1便知AB可逆，且 同理有：

32. 性质 如果A是可逆矩阵，则A的每一行不能全为零，A的每一列也不能全为零。 证明：假设A的第i行全为零，则有矩阵乘法知 的第i行全为零。这与 矛盾。同理，每一列 也不能全为零。

33. 逆矩阵的应用 记 方程组的矩阵形式

34. 对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 一、矩阵的分块

36. 如： ★ 分块矩阵 则不是分块矩阵。

37. 二、分块矩阵的运算规则

39. 其中

40. 例题：设 将A、B适当分块，计算AB 解 将A、B作如下分块：在二、三行之间插入横线， 在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则

41. 所以 则 而

44. 例 例

45. 作业 P33 1、2(1)(4)、5(3);