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线性代数. 张连宽 zhangliankuan@scau.edu.cn. 华南农业大学理学院应用数学系. 第一章 矩 阵. 第二章 向量与线性方程组. 第三章 矩阵的特征值与特征向量. 第四章 向量的内积与二次型. 第五章 线性空间. 第六章 Matlab 软件的应用. 第一章 矩阵与线性方程组. §1 矩阵及其运算. §2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法. §3 行列式及其性质. 第一节 矩阵及其运算. 1.1.1 线性方程组及其矩阵表示. 1.1.2 矩阵的基本运算及性质. 1.1.3 逆矩阵.

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Presentation Transcript
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线性代数

张连宽

zhangliankuan@scau.edu.cn

华南农业大学理学院应用数学系

slide2

第一章 矩 阵

  • 第二章 向量与线性方程组
  • 第三章 矩阵的特征值与特征向量
  • 第四章 向量的内积与二次型
  • 第五章 线性空间
  • 第六章 Matlab软件的应用
slide3

第一章 矩阵与线性方程组

  • §1 矩阵及其运算
  • §2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
  • §3 行列式及其性质
slide4

第一节 矩阵及其运算

1.1.1 线性方程组及其矩阵表示

1.1.2 矩阵的基本运算及性质

1.1.3 逆矩阵

1 1 1
1.1.1 线性方程组及其矩阵表示

m个方程,

n个未知数

slide6

定义

称为m行n列矩阵,简称

矩阵,i,j分别称为矩阵A的行标和列标。

其中诸

叫做该矩阵的元素,矩阵可以简记

slide7

行矩阵

列矩阵

元素全是零的矩阵叫做零矩阵,记为O

slide8

矩阵的行数和列数相等,称之为方阵。

把n行n列矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵,简称n阶阵

slide9

几种特殊形式的矩阵

n阶单位矩阵,简记作E.

称为对角矩阵

slide10

三角形矩阵有两种,分别称

为上三角形矩阵或下三角形矩阵。

slide12

定义

两个矩阵行数相同,列数也相同时,称为同型矩阵

那么就称矩阵A与矩阵B相等,记作

A=B

1 1 2
1.1.2 矩阵的基本运算及性质

一 矩阵的加减法

定义

那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为

对应元素相加

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slide16

矩阵的加法满足下列运算规律

(i)A+B=B+A (交换律)

(ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律)

(iii) A+O=O+A=A

-A称为矩阵A的负矩阵,显然有

对应元素相减

A+(-A)=(-A)+A=O

矩阵的减法:A-B=A+(-B)

slide17

二 矩阵的数乘运算

定义

(1)

(4)

(2)

(5)

(3)

(6)

slide19

矩阵乘法的规则:

(1)两矩阵相乘时,前矩阵(居左)每一行(如第I行)的各元素与后矩阵(居右)每一列(如第j列)中顺次对应的各元素相乘再相加,从而得到乘积矩阵(第i行第j列)的元素。

(2)为保证规则(1),前矩阵的列数应与后矩阵的的行数相等,否则两矩阵不能相乘。

(3)乘积矩阵的行数与前矩阵相同,乘积矩阵的列数与后矩阵相同。

slide20

p

n

p

m

A

=

n

m

B

C

矩阵乘法的法则:乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素

等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中顺次对应的各个元素的乘积之和。

slide21

求AB

矩阵与矩阵相乘不满足交换律,AB有意义,但BA不一定有意义

slide22

求AB和BA

AB

BA

AB和BA都意义,但不同型

slide23

求AB和BA

AB

BA

(1)AB与BA都有意义,且同型,但AB与BA不相等

(2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵

slide24

求AB和BA

AB

BA

=AB

如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换

slide25

矩阵的乘法虽不满足交换律,但仍满足下列结合律和分配律矩阵的乘法虽不满足交换律,但仍满足下列结合律和分配律

(i) (AB)C=A(BC)

(ii)

(iii)

slide26

矩阵的幂

设A是n阶方阵,k为正整数,则

表示

k个A连乘, 如

显然,只有方阵的幂才有意义

slide27

行列对调

转置矩阵

把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵,记作

运算规律

slide28

对称矩阵

如果方阵A满足

就称A为对称矩阵

例如

矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素都相等

方阵A为对称矩阵

设A为任意矩阵,则

恒为方阵,且都是对称矩阵

  • 设B为任意方阵,则

恒为对称矩阵

slide29

1.1.3 逆矩阵

AB

BA

称B为A的逆矩阵

slide30

定义

设A为n阶方阵。

如果存在n阶方阵B,使得

AB=BA=E

就称为A可逆矩阵,

并称B为A的逆矩阵(简称逆),记作

定理

如果A是可逆矩阵,则A的逆矩阵唯一

证明

设B和C都是A的逆矩阵,

则AB=BA=E, AC=CA=E

B

=BE

=B(AC)

=(BA)C

=EC

=C

slide31

性质

定理

如果A和B为同阶可逆矩阵,则AB可逆,且

证明

故由推论1便知AB可逆,且

同理有:

slide32

性质

如果A是可逆矩阵,则A的每一行不能全为零,A的每一列也不能全为零。

证明:假设A的第i行全为零,则有矩阵乘法知

的第i行全为零。这与

矛盾。同理,每一列

也不能全为零。

slide33

逆矩阵的应用

方程组的矩阵形式

slide34

对于行数和列数较高的矩阵 ,为了

简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的

运算化成小矩阵的运算. 具体做法是:将

矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小

矩阵,每一个小矩阵称为 的子块,以子

块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

一、矩阵的分块

slide36

如:

★ 分块矩阵

则不是分块矩阵。

slide40

例题:设

将A、B适当分块,计算AB

解 将A、B作如下分块:在二、三行之间插入横线,

在二、三列之间插入竖线(如题目所示),则

slide41

所以

slide44

slide45

作业

P33 1、2(1)(4)、5(3);