Barangolás a geometria szépségeiben

1. Barangolás a geometria szépségeiben

2. 1. feladat Rekkenő hőségben a tűző napon a patak egyik partján áll egy szamár. A patak ugyanazon oldalán van egy hűs árnyat adó lombos fa is. A szamár okos és lusta állat, ezért a legrövidebb úton megy a patakhoz inni és onnan a fa alá hűsölni. A patak melyik pontján iszik a szamár?

3. S F P K S’ 1. feladat megoldása SK +KF = S’K + KF

4. 2. feladat Adott egy általános és hegyesszögű ABC háromszög és AB oldalán egy P pont. Tekintsük az összes ABC háromszögbe beírt háromszöget, amelyeknek egyik csúcsa P. Szerkesszük meg ezek közül a legkisebb kerületűt!

5. P1 C R P2 S B P A 2. feladat megoldása PR + RS + SP = P1R + RS +SP2

6. 3. feladat Bizonyítsuk be, hogy az előző példabeli háromszögek kerülete annál kisebb, minél közelebb van P pont a szemközti csúcshoz!

7. P1 C P2 B P A 3. feladat megoldása P1C = PC P2C = PC  P1CP2 háromszög egyenlőszárú. Mivel P-t az oldalakra tükröztük, ezért P1CP2 = 2, azaz állandó, a háromszög alapja pedig a beírt háromszög kerülete. Ez akkor lesz a legrövidebb, ha a szár a legrövidebb, ez pedig akkor van, ha P a C-ből induló magasság talppontja.

8. 3. feladat megoldása C B A Következmény: a hegyesszögű háromszögekbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög a minimális kerületű.

9. 4. feladat Jelöljük egy háromszögben a csúcs és a magasságpont közti szakaszokat m1, m2, m3-mal. Igazoljuk, hogy ezek összege nagyobb, mint a talpponti háromszög kerülete!

10. C m3 a b m2 m1 A B c 4. feladat megoldása m1 +m2 > c m2 + m3 > a m3 + m1 > b  m1 + m2 + m3 > (a + b + c)/2 = K középvonal > Ktalpponti háromszög

11. A B 5. feladat Az egyenlő alapú és magasságú háromszögek közül melyiknek minimális a kerülete? A’ C

12. 6. feladat Adott egy síktükör és egy pontszerű fényforrás. A tükör melyik pontját kell megvilágítani ahhoz, hogy a visszaverődő fénysugár áthaladjon egy rögzített F ponton?

13. 2 1   S F  P K S’ 6. feladat megoldása Fermat-elv: A fény a legrövidebb idejű pályán mozog, ezért S-ből F-be a legrövidebb úton kell haladnia. Következmény visszaverődés törvénye: 1 = 2

14. 7. feladat Egy 10 méter széles folyón szeretnénk átkelni. A folyó sebessége 2 m/s, mi pedig 1 m/s sebességgel tudunk evezni a csónakkal. Melyik a legközelebbi pont a túlparton, ahova elérhetünk?

15. ve O 7. feladat megoldása A túlsó part elérhető pontjai közül a legközelebbi iránya O pontból a félkörhöz húzott érintő irányával egyezik meg.

16. P O’ d=10 m O OO’=10 m; OP=20 m; O’P= m 7. feladat megoldása

17. víz d2 = 30 m d = 40 m d1=20 m szárazföld 8. feladat Tóparton a parttól 20 m távolságban állva észrevesszük, hogy a parttól 30 m-re valaki segítséget kér a vízben. Milyen útvonalat válasszunk a mentéshez, hogy a legrövidebb idő alatt érjük el a fuldoklót, ha 2 m/s sebességgel tudunk futni és 1 m/s sebességgel úszni?

18. víz d2 = 30 m x d = 40 m d1=20 m szárazföld 8. feladat megoldása

19. 8.feladat megoldása A t(x) függvényminimumát keressük.

20. t(x) minimuma x = 26,8 m esetén lesz, a minimum értéke 49,49 sec.

21. 9. feladat Egy négyzet alapú gúla oldaléle 10 dm, és minden oldallapja olyan egyenlő szárú háromszög, amelyben az alapon fekvő szögek összege 11-szerese a szárak által bezárt szögnek. E gúla alapjának egyik csúcsából elindult egy hangya, s mind a négy oldallapon áthaladva, a legrövidebb úton visszatért a kiindulási pontba. Hány millimétert tett meg a hangya?

22.  E   D C A B 9. feladat megoldása

23. E E A’ A D B D C C A B 9. feladat megoldása AEA’ =60 o és egyenlőszárú, ezért AEA’ háromszög szabályos. AA’=AE= 10 dm = 1000 mm

24. 3r A  r 10.feladat Egy egyenes kúp alapkörének sugara r, alkotója 3r. A kúp felületének A pontjából egy légy indul el és 1 cm/s sebességgel – mindig a kúppaláston haladva – megkerüli a kúpot. Mekkora a megkerüléséhez szükséges minimális időtartam? (Az A pont a kúp C csúcsától 10 cm távolságra van.)

25. O A A’  a = 3r 10. feladat megoldása  =120 o i = 2r= (6r)/3

26. 11. feladat Egy 3m  7m  3m méretű szobában a padlón a 3 méteres él felezőpontjában egy pók ül. A pók észreveszi a vele átellenben a plafonon a 3 méteres él felezőpontjában tartózkodó legyet. Melyik a legrövidebb út, amelyiken a pók elérheti a legyet?

27. 11. feladat megoldása

28. 11. feladat megoldása 1. eset 2.eset SF=3m + 7m = 10 m

29. 11. feladat megoldása 3. eset

30. 12. feladat Egy henger alakú edény (melynek alaplapjának kerülete 6 dm, magassága 4dm) tengelyének felezőpontjára szimmetrikusan helyezkedik el egy hangya és egy mézcsepp, méghozzá a hangya a külső, a mézcsepp a belső falon. A hangyának át kell másznia az edény peremén, hogy a mézcseppet elérje. Számítsuk ki a legrövidebb utat a hangya számára!

31. M’ x m-x H M 12. feladat megoldása

32. d 4 m 3 m 12. feladat megoldása

33. 13. feladat Négyzet alapú hasáb alapéle a, oldaléle 2a. Egy pók a legrövidebb úton szeretne eljutni a hasáb felületén az A pontból a G pontba. Milyen útvonalon kell haladnia? Mekkora a legrövidebb út hossza a-val kifejezve?

34. 13. feladat megoldása

35. 13. feladat megoldása 1.eset

36. 2.eset

37. 3.eset

38. 14. feladat Az ABCD négyzet DC oldalán vegyünk fel egy tetszőleges M pontot. MAB szögfelezője BC-t K-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AM = BK + DM!

39. M K’ D C 90o- K 90o-2    A B 14. feladat megoldása AMK’ Δ egyenlőszárú  AM=K’M=K’D+DM=BK+DM

40. 15. feladat Az alábbi cipőfűző kötések közül melyikhez kell a legrövidebb (ill. leghosszabb) cipőfűző, ha n jelöli a sorok számát, d két szomszédos sor távolságát, g pedig a szemközti lyukak távolságát? c) a) b)

41. h = g + 15. feladat megoldása 2(n – 1) n=8; d=1 cm, g=2 cm esetén h33,305 cm

42. 15. feladat megoldása (n-1) +(n-2) g h= n=8; d=1 cm, g=2 cm esetén h35,44 cm

43. 15. feladat megoldása h= (n-1)g+ n=8; d=1 cm, g=2 cm esetén h36,93 cm

44. 16. feladat Három kör az ábrának megfelelő módon érinti egymást és a közös érintőjüket. Milyen összefüggést állapíthatunk meg a körök sugarai között?

45. r2+r3 r2-r3 r2+r1 r2-r1 r3+r1 x+y r3-r1 r2 r3 r1 y x 16. feladat megoldása

46. 16. feladat megoldása

47. 17. feladat Egy derékszögű háromszögbe az ábrán látható módon három négyzetet és három kört írtunk. Milyen összefüggést állapíthatunk meg a körök sugarai között?

48. r1 r3 a c r2 b 17. feladat megoldása

49. 18. feladat Egy derékszögű háromszög hegyesszögei 60o és 30o. A háromszögbe két egyenlő sugarú kört írunk, amelyek érintik az átfogót, egymást és egy-egy befogót. Hányszorosa a kisebbik befogó a körök sugarának?

50. r r r 2r r r 30o r r 18.feladat megoldása