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第八章 运算方法

第八章 运算方法. 8.1 无符号表示法 8.2 带符号表示法 8.3 BCD 码 8.4 专用运算部件 8.5 浮点数 8.6 实例： IEEE 754 浮点标准. 同济大学 软件学院. 8.1 无符号表示法. 有两种常用的无符号表示法： ◆ 非负数码： 表示 0 或一个正数 n 位非负数码的数值范围： 0 ～ 2 n -1 （所有位都为 1 ） ◆ 2 的补码（简称补码）： 既能表示正数又能表示负数 n 位数的数值范围： -2 n-1 ～ 2 n-1 -1. 下表列出了 8 位二进制数的非负数码和补码表示的数值.

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第八章 运算方法

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  1. 第八章 运算方法 8.1 无符号表示法 8.2 带符号表示法 8.3 BCD码 8.4 专用运算部件 8.5 浮点数 8.6 实例：IEEE 754 浮点标准 同济大学 软件学院

  2. 8.1 无符号表示法 有两种常用的无符号表示法： ◆ 非负数码：表示0或一个正数 n位非负数码的数值范围：0 ～2n-1 （所有位都为1） ◆2的补码（简称补码）：既能表示正数又能表示负数 n位数的数值范围： -2n-1 ～ 2n-1-1

  3. 下表列出了8位二进制数的非负数码和补码表示的数值下表列出了8位二进制数的非负数码和补码表示的数值 表8.1 无符号表示的数值

  4. 8.1.1 加法和减法 1.加法 ◆ 用一个并行加法器来实现（如图所示） X和Y是8位寄存器 电路实现微操作 ADD：X←X+Y

  5. ◆ 溢出：结果不能表示为一个8位数值 例如：非负数码加法255 +1 1111 1111 + 0000 0001＝1 0000 0000 溢出的判断： 并行加法器产生额外的进位输出，它用来标志 算术溢出。 (1) 非负数码 直接用进位置溢出标志，它提示系统产生 了溢出，所得结果不完全正确，系统应进行相 应的结果修复处理或错误处理。

  6. (2) 补码 判断溢出不但要检查进位输出，还要检 查结果最高位的进位输入。如果这两者相等， 那么不产生溢出，否则产生溢出。 还有没有其它方法？

  7. 溢出 溢出 图8.2 补码加法的溢出产生

  8. 2.减法 ◆ 转换成加法 [X－Y]补=[X]补+[-Y]补 微操作 SUB：X←X－Y 图8.3 微操作X←X－Y的实现

  9. ◆ 溢出 (1) 非负数码 减法的结果不会比2n-1大，但可能比0小。 例如：1－2执行为 0000 0001+1111 1110 = 1111 1111（255） 如果减法（通过补码加法实现）产生了进位输 出0而不是1时，则发生了溢出。

  10. 溢出 溢出 (2) 补码减法 判断溢出的条件与补码加法相同。

  11. X = 2 7 Y = 2 5 3 8 1 1 3 5 5 4 6 8 3 1 8.1.2 乘法 乘法可以看成加法的重复。 可以用下列算法来实现乘法x×y： z = 0； FOR i = 1 TO y DO { z = z + x } 这种算法不理想，原因是速度慢、计算x×y 的时间不确定。我们希望不论x 、y取何值，执行 乘法的时间相同。

  12. 1. 移位——相加乘法 首先计算每个部分积并左移到正确位置，然 后再将所有的部分积相加。 ◆ 第一个修改:每求出一个部分积后就计算和 x = 2 7 y = 2 5 3 8 1 1 3 5 1 4 3 1 ←计算的和 5 4 6 8 3 1 ←最终计算的和 任何时候都没有多于两个数的加。

  13. ◆ 第二个修改:用右移当前和代替左移部分积 x = 27 y = 253 81 ← 右移一位 81 ← 1被右移出，故不参加加法运算 135 1431 ← 右移一位 1431 ← 3 1被右移出，故不参加加法运算 54 6831 ← 最后右移一位 6831 每次都是相同的两列数字进行加法。

  14. (1) 算法 两个n位寄存器的值X和Y的移位——相加乘法 n位寄存器U和V：保存结果 （U保存结果的高n位，V保存结果的低n位） C是一位寄存器：用来保存执行加法时的进位 U = 0； FOR i = 1 TO n DO { IF Y0 = 1 THEN CU = U + X； 线性右移CUV； 循环右移 Y }

  15. 例如：13×11，即1101×1011 初始化X = 1101，Y = 1011

  16. (2) 算法的RTL代码 注意：当i = 0时，Z = 1； 1，2，3是连续的状态。 1：U←0，i←n Y02：CU←U + X 2：i←i-1 3：shr(CUV)，cir(Y) Z’3：GOTO 2 Z 3： FINISH←1

  17. 表8.3 移位——相加乘法RTL代码的执行轨迹

  18. (3) 根据 RTL代码设计硬件 硬件包括两部分： ◆ 寄存器部分：微操作在此执行 ◆ 控制部分：产生需要的控制信号和状态值 X—— n位寄存器 Y、U、V—— n位移位寄存器 （当SHR信号有效时它们右移一位） 寄存器i——存储值n的递减计数器 C和FINISH——一位寄存器 在寄存器之间设置数据通路来实现RTL代码中 的微操作所要求的数据传送。 将i的所有位异或在一起产生Z，即仅当i的所 有位都为0（i = 0）时，Z才为1。

  19. 3 1：U←0，i←n Y02：CU←U + X 2：i←i-1 3：shr(CUV)，cir(Y) Z’3：GOTO 2 Z 3： FINISH←1

  20. (4) 优化算法(不要求保存原值) 如果Y值不要求保存，可将其值保存在V寄存器 中，则乘法转换为UV←X × V。 修改后的RTL代码为： 1：U←0，i←n V02：CU←U + X 2：i←i-1 3：shr(CUV) Z’3：GOTO 2 Z 3： FINISH←1

  21. 表8.4 改进后的RTL代码的执行步骤

  22. 2. 布斯算法 ◆ 对于无符号补码数据，上面的算法并不总能 得出正确的结果。 例如：13 × 11 1101和1011的补码表示：–3和-5 积：+15 而上面的算法将得出结果1000 1111（ –113） ◆ 原因：该算法仅能处理两个正数相乘，当有 一个或两个操作数为负数时，通过执行下面 的程序，上面的算法仍然可以使用。

  23. IF 被乘数 < 0 THEN 被乘数← - 被乘数； IF 乘数 < 0 THEN 乘数← - 乘数； 用非负数乘法进行乘法运算； 恢复被乘数和乘数的原值； IF 被乘数和乘数中有一个为负数，并且另一个非零， THEN 结果← - 结果 这个算法很麻烦。 booth’s算法比它简单。该算法直接对补码数据进行运算，不需进行正数和负数之间的转换。

  24. 以定点小数为例: [x]补＝x0.x1x2…xn [y]补＝y0.y1y2…yn [Z]补＝[x×y]补 ⑴ 设被乘数x的符号任意，乘数y为正数 [x×y]补 ＝ [x]补×(0. y1y2…yn) ⑵ 设被乘数x的符号任意，乘数y为负数 [y]补＝1.y1y2…yn＝2＋y （Mod 2） y＝[y]补－2＝0.y1y2…yn－1 [x×y]补＝[x]补×(0.y1y2…yn)－[x]补

  25. [X·Y]补 = [X]补(0.Y1… Yn) + [–X]补·Y。 = [X]补(Y1 · 2-1+Y2· 2-2+… Yn · 2-n)－[X]补·Y。 = [X]补[－Y0+(Y1－Y1 · 2-1 )+(Y2 · 2-1－ Y2· 2-2 ) +…(Yn · 2-(n-1)－ Yn · 2-n) ] = [X]补[( Y1－Y0)+ (Y2－Y1) 2-1 +… (Yn+1 － Yn )· 2-n] = [X]补( Y1－Y0)+ 2-1{[X]补(Y2－Y1 ) +2-1[[X]补( Y3－Y2 ) + 2-1[… + 2-1[[X]补 (Yn+1 － Yn )+0]…] ]}

  26. U = 0；Y-1 = 0； FOR i = 1 TO n DO {IF Y0 Y-1 =10 THEN U = U – X（= U + X’ + 1）； IF Y0 Y-1 =01 THEN U = U + X； 算术右移 UV； 循环右移 Y并将Y0复制给Y-1 } 表8.5列出了当X = -3（1101）和Y = -5（1011） 时，该算法的步骤。 算法能得出正确结果0000 1111（+15）。

  27. 表8.5 booth’s算法的步骤

  28. (2) 算法的RTL代码 START、FINISH：初始化和终止算法 U、V、X、Y：n位值； Y-1：一位值 循环计数器i为递减计数器（n递减到0） 1： U←0，Y-1 ←0，i←n Y0Y-1’ 2： U←U + X’ + 1 Y0’Y-1 2： U←U + X 2： i←i-1 3： ashr(UV)，cir(Y)，Y-1 ←Y0 Z’3： GOTO 2 Z 3： FINISH←1 加、减法语句可合并一起： （Y0⊕Y-1）2：U←U +（X⊕Y0）+ Y0

  29. 执行（－3）×（－5），初始化X＝1101，Y＝1011 表8.6 booth’s算法RTL代码的执行步骤

  30. 1 3 图8.6 booth’s算法的 硬件实现 1：U←0，Y-1←0，i←n （Y0⊕Y-1）2：U←U +（X⊕Y0）+ Y0 2：i←i-1 3：ashr(UV)，cir(Y)，Y-1←Y0 Z’3：GOTO 2 Z 3： FINISH←1

  31. 补码两位乘 将Booth法中两步合并为一步： (Yi-1 Yi Yi+1)

  32. 其运算规则如下表： 操作 Yi-1 Yi Yi+1 000 部分积+0，右移二位 001 部分积+[X]补，右移二位 010 部分积+[X]补，右移二位 011 部分积+2[X]补，右移二位 100 部分积+2[–X]补，右移二位 101 部分积+[–X]补，右移二位 110 部分积+[–X]补，右移二位 111 部分积+0，右移二位

  33. 3. 快速乘法运算 随着大规模集成电路技术的发展，为提高乘法的运算速度，出现了阵列乘法器。 (1) 非负数码的阵列乘法器 设有非负数码的二进制整数： A＝a3a2a1a0 B＝b3b2b1b0 按手算方法有：

  34. 4×4位非负数码阵列乘法器的逻辑原理图

  35. (2) 补码的阵列乘法器

  36. 8.1.3 除法 除法可以看成减法的重复，z = x÷y可以这样实现： Z＝0； WHILE x≥y DO { z＝z＋1；x＝x－y } 效率低、执行时间随着z的最终值的不同而改变 可采用移位——相减算法减少执行时间，例： 096 71 6827 639 437 426 11 10010011 ÷ 1101

  37. 096 71 6827 639 437 426 11 注意：第一步操作是比较除数71和被除数的前两位68。由于71大于68，故该位商0。这在计算机的除法运算中是很重要的一步，它被用来检测商是否溢出。

  38. 将被除数左移，使得每次相减的结果总是送到同一位置上。将被除数左移，使得每次相减的结果总是送到同一位置上。 左移出的位不参加减法计算 096 71 6827 00 ← 68 除以71 商0 682 ← 取出下一位 682 ← 左移一位 639 ← 682 除以71 商9 437 ← 取出下一位 437 ← 左移一位 426 ← 437 除以71 商6 11 ← 余数 第一步检查68是否大于等于71，这是一个溢出检测

  39. 1. 二进制值的移位——相减除法 (1)算法 被除数在初始化时加载到UV (U保存高n位，V保存低n位) 除数和商分别保存在n位值X和Y中 余数保存在U中 C(1位值)：用来保存U的移出位 U ≥ X THEN 产生溢出并终止算法； Y = 0；C = 0； FOR i = 1 TO n DO { 线性左移 CUV； 线形左移 Y； IF CU ≥ X THEN {Y0 = 1，U = CU – X}}

  40. ◆ 考虑第一步就终止的情况 如112÷7 若n =4，则UV = 0111 0000，X = 0111。 由于U≥X，均为0111，将终止算法。如果 继续执行，将产生商16（1 0000）和余数0。但 值1 0000不能保存在4位的Y中，产生溢出。

  41. 147÷13 初始化时：U = 1001，V = 0011，X = 1101，n = 4 表8.7 移位——相减算法的执行步骤

  42. (2) 算法的RTL代码 X、U、V、Y：n位值 C、OVERFLOW：1位值 当i = 0时，Z = 1；当U≥X时，G = 1； FINISHI置1则算法结束 1，2，3，4是连续的状态 G 1： FINISH←1，OVERFLOW←1 2： Y←0，C←0，OVERFLOW←0，i←n 3： shl(CUV)，shl(Y)，i←i-1 （C + G）4： Y0 ←1，U←U + X’ + 1 Z’4： GOTO 3 Z 4： FINISH←1

  43. 147÷13的执行步骤： 初始化时U = 1001，V = 0011，X = 1101，n = 4 表8.8 移位——相减除法的RTL代码的执行步骤

  44. 2 图8.7 移位—相减除法的硬件实现

  45. 以上称为不恢复余数的除法算法。 2. 恢复余数的除法算法 (1) 步骤 • 首先检测溢出 如果没有产生溢出，则进入移位——相减循环。 • 执行减法U ← U – X 如果发现CU < X（结果为负），则说明不 应执行减法，此时通过执行加法U ← U + X， 使U恢复为原来值。 与不恢复余数除法的主要区别：处理比较的方式不同

  46. (2) 恢复余数的算法 ◆ 被除数初始化时保存在UV中，除数保存在X中， 商保存在Y中，余数最后保存在U中。 ◆U、V、X、Y都是n位值，C是1位值。 CU = U + X’ + 1；算法第一步为CU与X的比较 U = U + X，IF C = 1 THEN 产生溢出并终止算法； Y = 0； FOR i = 1 TO n DO { 线性左移CUV； 线形左移Y； IF C = 1 THEN { U= U+ X’ +1} ELSE{ CU= U+ X’ +1 } IF C = 1 THEN { Y0 = 1} ELSE { U = U + X } }

  47. ◆ CU与X的比较 操作CU = U + X’ + 1实际上实现了两个功能： • 减法U = U－X • U和X的比较 （b）零结果 （a）正结果 （c）负结果

  48. (3) 两个例子 ◆ 225÷13 初始化：X = 1101，n = 4 表8.9 恢复余数除法算法的执行步骤（a）有溢出 ◆ 147÷13 (10010011÷1101) 结果是：商为11，余数为4

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