其它模型

1. 其它模型

2. 1 鲑鱼数量的变化问题 2 最优捕鱼策略 （1996 年全国大学生数学建模竞赛 A题）

3. 鲑鱼数量的变化问题 一 问题的提出 海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长繁殖过程大致是，成年的鲑鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。 试建立鲑鱼产卵期到来之前，其数量变化规律的数学模型。

4. 二 生长特点 1 呈周期性变化； 2 在每个周期里，经过了从卵、幼鱼到成年鱼 的变化过程。 一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个离散时间段里呈连续变化。 如：树木的生长、冰箱温度的变化等， 嵌入式模型

5. 嵌入式模型 它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。

6. 三 符号的说明 ：第n个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼（鲑鱼）的数量，以条数计，n=1,2,…； ：在每个周期内，时刻t 幼鱼的数量； 为了反映每个周期末和下个周期开始时的突变性，引入下列记号： 可以很小。在区间 内允许数量上的突变

7. 四 模型的假设 成正比，比例系数为 ，表示每 1 条鱼的产卵量； 2 单位时间内 减少的比例与 成正比， 比例系数为 ，表示鲑鱼吞食幼鱼的能力； 成正比，比例系数为 ，表示在 3 繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例。

8. 五 模型建立 根据假设条件容易写出 （1） （2） （3） 方程（2）的解为 （4） 将（1），（4）代入（3）式得 （5）

9. 若记 （6） 则方程（5）可写作 （7） 差分方程（7）是将每周期内的微分方程（2）嵌入 （1）、（3）得到的。这种嵌入式模型的一般形式 可以表为 （8） 差分方程（7）无法求出 的显式表达式，只能递推 求数值解。例如设 （表示1个数量单位，

10. 比如 条），第1代（ ） 鲑鱼吞食掉90%的幼鱼 即 ，代入（4），（6）是可以算出 ，则由（6）式 若 分别取 代入（7）式递推计算 将 ，考察鲑鱼数量的 周期变化规律，结果见表。

12. 按（7）式（b=2.3和不同的a）计算的

13. 由表可知，对于 趋向稳态值0.699，即初值 的70%；对于 交替地趋向两个稳态值0.3568 和1.726，对于 则难以看出什么规律。 六 平衡点及稳定性分析 为了研究对于不同的 ，鲑鱼数量 的变化 规律，我们利用差分方程求解的有关结果讨论（7） 的平衡点及稳定性。 方程（7）的平衡点 满足 （9） 注： 也是方程（7）的平衡点，但容易验证它不 是稳定的 ，不再讨论，以后平衡点均指非零的。

14. （9）的非零解为 （10） 这里 平衡点稳定的条件是 因为 所以当 ，即 时 是稳定平 衡点，而当 时 不稳定。 这个结果表明， 是否稳定只取决于 与 无关。 而 ，注意到 和 表示的是 的含义可知 鲑鱼从一个周期到下一周期增长关系的一个因素（增 长率还与 有关），正是这因素决定了 的稳定状 态情况。

15. 根据上述分析，当 稳定，且若 时， 由（10）可得 ，而当 不稳定 时 这与前面的数值结果（见表）是一致的。 为了进一步研究 （如 ） 时 的变 化情况，应该考察方程（参考倍周期收敛的相关内 容） （11） 其中 的具体形式由方程（7）给出。 首先用无量纲化方法简化方程，令 （12）

16. 则方程化为（7）化为 （13） （14） 显然，当 时 是方程（13）的稳定平衡点， 而 时 不稳定。下面讨论 的情况。 考察方程 （15） 其中 由（13）给定。方程（15）的平衡点除 以外还有 和 ，满足 （16） 和

17. 由（16）不难得到 （17） 于是 是方程 （18） 的两个根。若记函数 （19） 则曲线 和直线 有3个交点，其横坐 标是 ，1和 （见图）。当 时 用数值方法可以算出 （20） 是方程（15）稳定平衡点的条件是

18. O 2 1 经过比较精密的计算得到，当 （21） 时上述条件成立。

19. 这个结果表明，在条件（21）下方程（13）给出的这个结果表明，在条件（21）下方程（13）给出的 序列 是2倍周期稳定的，即子序列 和 当 时分别趋向于 和 代回到变量 ，由（14）式可知条件（21）相 当于 （22） 所以当 时 是2倍周期稳定的，两个稳定值 和 可以从（由（12）式） （23） 时 和（20）式算出。当 与表中结果一致。

20. 当 以后应该研究 的 倍周期稳定的情 况 。若记 是 倍周期稳定的上限，有结 果指出 时， ，当 时 的趋 势出现混沌现象。表中的 相当于 ，所以 的变化没有什么规律性可言。 评注： 嵌入式模型适用于将各个周期内用微分方程描 述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的 用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物 的周期性繁殖现象外，再生资源的周期性收获，人 体对周期性注入药物的反应，周期性排放污物的环 境变化等都可以用这种模型研究。

21. 我们在这里遇到了序列 的 倍周期收敛现象 ，因为方程（13）的非线性程度更高， 所以，对平衡点收敛性分析更为困难。

22. 数学建模竞赛选讲

23. 全国大学生数学建模竞赛 国家教委高教司 中国工业与应用数学学会 面向全国大学生的群众性科技活动 目的 激励学生学习数学的积极性； 提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力； 鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识； 推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。

24. 培养学生解决实际问题的综合能力。 1）“双向翻译”能力 2）运用数学思想进行综合分析能力 3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力 4）观察力和想象力 5）提高撰写科研论文的能力 6）团结协作的精神

25. 分离变量的方程 元素的放射性 人口问题 种群问题 经济增长问题 马尔萨斯(Malthus)模型

26. 最优捕鱼策略 （1996 年全国大学生数学建模竞赛 A题） 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略： 鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形， 眼、口大，无侧线，生活在海中。

27. 假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，4 龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.22×1011/(1.22 ×1011+n）。

28. 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群的条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42 : 1 。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

29. 1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

30. 自然死亡 2 龄鱼 4 龄鱼 1 龄鱼 3 龄鱼 产卵 捕获 1，2，3季度 第4季度 收获 一 问题的分析 1、给出了各年龄组鱼群的转化规律； 2、给出了它们的相对自然死亡率；

31. 3、 给出了鱼产卵的时间分布； 只有3、4龄鱼在每年的9、10、11、12月份集中产卵。 并给出3、4龄鱼产卵的数量关系： 在一个季节里， 每条 4 龄鱼产卵量为 (个) 每条 3 龄鱼产卵量为 (个) 成活率（1龄鱼条数与产卵总量 n 之比）

32. 4、并固定每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数）及 3、4 龄鱼捕捞强度系数的比值。 捕捞强度系数k：单位时间捕捞量与各年龄组鱼 群条数成正比。 目标： 要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变（保证可持续捕获的要求），并在此条件下，得到以重量计的最大捕获量。

33. 二 主要变量说明 主要变量：各龄鱼的数量。 ：表示（t+1）年 i龄鱼的数量， i=1,2,3,4; t=0,1,2,3,4; ：表示4 龄鱼捕捞强度系数，则 3 龄鱼捕捞强度系数为 ：表示所捕捞鱼的重量 ：3,4 龄鱼的产卵总数

34. 三 模型建立 建模关键： 建立各相关量与捕捞强度系数 k 的关系，控制 k 到最佳数值，在满足可持续捕获的条件下达到最大收获量。

35. 1 鱼数量变化的一般模型 各龄鱼的数量须经一段时间，才能达到稳定状态，即到平衡年时，年末和年初的各龄鱼的数量基本保持不变。 自然死亡情况下 （1）

36. 有捕捞情况下 （2） 2 各龄鱼数量变化的具体模型 设年初各龄鱼数量分别为 8月末，经捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为 12月末，各龄鱼群数量为 卵的总数量为 n，t 按年算，则

37. 1~8月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，8月末1~8月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，8月末 9~12月份，产卵季节。期间无捕捞，则12月末

39. 再设 分别为3、4龄鱼在产卵期平均数 量，n 为3、4龄鱼产卵数量之和，t 按月计

40. 产卵期产卵总量为 a 为平均每条4 龄鱼产卵个数， 个。 设 为第2年各龄鱼的初值数量， 则有 1）1龄鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转 化而成，即

42. 2）2 龄鱼由上一年 1 龄鱼转化而成，即 3）3 龄鱼即上一年末 2 龄鱼 4）4 龄鱼即上一年末 3 龄鱼

43. 3 鱼群持续变化的递推关系

44. 4 捕获量的数学模型 对于一种可捕获鱼而言，设一年内捕获量为P， 初值为s(0)，则 P可表示为 1~8月份，捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼的数量分别为

45. 又设每条 3 龄鱼和 4 龄鱼的数量分别为m3,和m4克 则每年捕获鳀鱼的总重量 克 优化模型

46. 四 模型求解 优化模型 取一个 k 值，就可得到一个 G，现须选取恰 当的 k 值，使年收获量 G 最大。 具体算法如下： [1] 选定 k 值； [2] 根据递推关系分别算出

47. [3] 再把 作为第2年捕获前的初值 重复[2]，根据递推关系算出下一年的 [4] 再重复[2]、[3]当计算到年初与年末的各龄 鱼的数量一致时，即鱼群稳定为止，根据 算出年捕获量； [5] 另定 k 值，重复[1]~[4]； [6] 根据年捕获量最大原则，最后确定最佳的 k 值。

48. 四 计算结果与分析

49. 由计算结果表，可知，当 时，捕获量 随 k 的增大而增大，当 时，捕获量 随 k 的增大而减小。故可取 时，其稳定 年的捕获量达到最大： 以上是问题的第一问。

50. 第二问：五年内的收获量 再利用初值 递推关系 计算 则，五年内的收获量为