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§12 . 4 线性微分方程

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§12 . 4 线性微分方程 - PowerPoint PPT Presentation


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§12 . 4 线性微分方程. 一、线性方程. 齐次线性方程的解法. 线性方程、. 非齐次线性方程的解法. 二、伯努利方程. 伯努利方程、伯努利方程的解法:. 一、 线性方程. 线性方程:. 下列方程各是什么类型方程?. 方程. 叫做一阶线性微分方程. 如果 Q ( x )  0 ,则方程称为齐 次的,否则方程称为非齐次的.. 方程. 叫做对应于非齐次线性方程. 的齐次线性方程.. 齐次线性方程的解法:. 是变量可分离方程.分离变量得. 解 这是齐次线性方程,分 离变量得. 两边积分,得. 两边积分得

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§12.4 线性微分方程

一、线性方程

齐次线性方程的解法

线性方程、

非齐次线性方程的解法

二、伯努利方程

伯努利方程、伯努利方程的解法:

slide2
一、 线性方程

线性方程:

下列方程各是什么类型方程?

方程

叫做一阶线性微分方程.

如果Q(x)0 ,则方程称为齐

次的,否则方程称为非齐次的.

方程

叫做对应于非齐次线性方程

的齐次线性方程.

slide3

齐次线性方程的解法:

是变量可分离方程.分离变量得

解 这是齐次线性方程,分

离变量得

两边积分,得

两边积分得

ln|y|ln|x2|lnC,

方程的通解为

yC(x2).

这就是齐次线性方程和通解

(积分中不再加任意常数).

slide4

非齐次线性方程的解法:

将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x),把

设想成非齐次线性方程的通解.代入非齐次线性方程求得

于是非齐次线性方程的通解为

slide5

再求所给方程的通解.

把C换成u,即令yu(x1)2,

代入所给非齐次线性方程,得

解 这是非齐次线性方程.

先求对应的齐次线性方程

的通解.

分离变量得

再把上式代入yu(x1)2中,即得

所求方程的通解为

两边积分得

ln y2ln (x1)ln C,

齐次线性方程的通解为

yC(x1)2.

slide6

R

i

L

~ E

K

例3有一个电路如图所示,其中电源电动势为E = Emsin w t

(Em、w都是常数),电阻R和电感L都是常量.求电流i(t).

由回路电压定律得出

把EEmsinwt代入上式,得

初始条件为i|t00.

slide7

问题归结为解初值问题

由通解公式,得

因此,所求函数i(t)为

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二、伯努利方程

伯努利方程:

伯努利方程的解法:

方程

以yn除方程的两边,得

叫做伯努利方程.

令z=y1-n,得线性方程

下列方程是什么类型方程?

slide9

解 以y2除方程的两端,得

以y1代z,得所求方程的通解为

令zy1,则上述方程成为

这是一个线性方程,它的通解为

slide10

经过变量代换,某些方程可以化为变量可分离的方程,或化经过变量代换,某些方程可以化为变量可分离的方程,或化

为已知其求解方法的方程.

解 令xyu,则原方程化为

两端积分得 uln |u1|xC.

以uxy代入上式,得 yln |xy1|C,

或 xC 1eyy1 (C 1eC).