Taajuusmodulaatio

1. Taajuusmodulaatio • Taajuusmodulaatiossa moduloiva signaali muuttaa kantoaallon hetkellistä taajuutta amplitudin pysyessä vakiona. • Kantoaallon hetkellinen taajuus kasvaa ja laskee moduloivan signaalin mukaan. • Hetkellisen taajuuden muutos on verrannollinen moduloivan signaalin amplitudiin. • Matemaattisesti taajuusmodulaatio on monimutkainen, aloitetaan sinimuotoisella aikatason signaalilla: tMyn

2. Määritellään hetkellinen taajuus • Yllä olevassa kaavassa oikea puoli edustaa vaihekulman derivaattaa. • Määritellään nyt taajuusmoduloitu signaali aaltomuodoksi, jonka hetkellinen taajuus on: • Kaavassa edustaa kantoaaltoa ja (frequency deviation) edustaa suhteellista vakiota joka yhdistää hetkellisen taajuuden muuttumisen informaatiosignaalin s(t) amplitudin muuttumiseen. tMyn

3. amplitudi m(t) aika Hetkellinen taajuus muuttuu kun moduloivan signaalin amplitudi muuttuu. taajuus aika Kuva 1. Yläkuvassa moduloiva signaali m(t) ja alakuvassa hetkellinen taajuus . tMyn

4. kantoaalto: moduloiva signaali: moduloitu signaali: Kuva 2. Yläkuvassa moduloiva signaali punaisella värillä, kantoaalto vihreällä värillä. Alakuvassa moduloitu signaali. tMyn

5. Koska taajuus on vaihekulman derivaatta, saadaan vaihekulma vastaavasti: tMyn

6. Moduloidulle signaalille saadaan näin muoto: Tästä signaalimuodosta lähdettiin alussa liikkeelle! tMyn

7. Olkoot informaatiosignaali seuraavaksi muotoa: • Silloin FM-signaalin hetkelliselle taajuudelle saadaan: Kantoaallon maksimi- poikkeama taajuustasossa. tMyn

8. FM-signaalille pätee tässä tapauksessa: tMyn

9. Edellä oleva voidaan vielä hieman sieventää: • Määritellään modulaatioindeksiksi • Silloin yllä oleva yksinkertaistuu muotoon: tMyn

10. Pyritään erottamaan informaatiosignaalin osuus yllä olevasta kaavasta. Eksponenttiesitysmuotoa käyttäen: • Taajuusmoduloitu signaali voidaan siis kirjoittaa muotoon: tMyn

11. Edellä oleva kaava voidaan esittää tulona, joista toinen edustaa informaatiosignaalia ja se näyttää tältä: Tämä osa edustaa informaatiosignaalia! tMyn

12. Termi esittää jaksollista signaalia jonka jaksonaika on • Fourier-sarjakehitelmä tälle termille on silloin: tMyn

13. Kertoimille löytyy integraaliesitys: tMyn

14. Tehdään kaavaan sijoitus x= • Se merkitsee: • sekä uusina rajoina tMyn

15. Kertoimille saadaan näillä merkinnöillä kaava: • Integraalia ei pysty ratkaisemaan suljetussa muodossa, mutta ratkaisu on taulukoitu Bessel-funktioiden muodossa (Bessel function of the first kind). tMyn

16. Lähde: Wikipedia tMyn

17. Voidaan siis kirjoittaa • FM-moduloidun signaalin esitys on täten • Lauseketta voidaan vielä sieventää (summalausekkeen edessä oleva eksponenttitermi ei ole n:n funktio) seuraavanlaisesti: tMyn

18. Kun lausekkeesta erotetaan reaaliosa, saadaan: tMyn

19. FM-moduloidun signaalin ratkaisuksi saadaan siis lukematon joukko sinimuotoisia signaaleja. • Onneksi Bessel-termi lähestyy nollaa, kun n kasvaa. • Carsonin kaava antaa likiarvon tarvittavalle kaistanleveydelle: • Kaavassa edustaa moduloivan signaalin maksimitaajuutta ja a kantoaallon maksimipoikkeamaa. tMyn

20. Moduloidun signaalin generointi, Narrowband FM • Alussa FM-signaalille saatiin esitys: • Yksinkertaistetaan lauseketta merkitsemällä tMyn

21. Nyt voidaan kirjoittaa FM-signaalille esitys: tMyn

22. Hajotetaan kosinitermi trigonometrian kaavalla: • Tehdään seuraavanlainen oletus: Olkoot kyseessä kapeakaistainen FM, eli kerroin on hyvin pieni. tMyn

23. Koska kosini pienestä kulmasta on lähellä ykköstä ja sini pienestä kulmasta on itse kulman arvo (radiaaneina), saadaan kaava yksinkertaistumaan seuraavasti: • Tämä voidaan esittää lohkokaavion muodossa, kuva 1. tMyn

24. Kuva 1. Kapeakaistaisen FM-signaalin generointi. tMyn

25. Moduloidun signaalin generointi, Wideband FM • Jos äskeistä yksinkertaistusta ei voida tehdä, puhutaan laajakaistaisesta FM-signaalista. • Liikkeelle voidaan lähteä kapeakaistaisesta FM-signaalista. Kun lähtösignaalin (Narrowband FM) kaikki taajuuskomponentit kerrotaan tarpeeksi suurella kertoimella, saadaan aikaan laajakaistainen FM-signaali. • Tämä epälineaarinen prosessi (taajuuskomponenttien kertominen) saattaa viedä kantoaallon liian korkealle. Ongelma voidaan korjata sekoittimella. • Kuva 2, laajakaistainen FM-generointi. tMyn

26. Kapeakaistainen FM g(t) TAAJUUKSIEN KERTOMINEN VAKIOLLA s(t) Laajakaistainen FM Taajuusalueen asettaminen halutulle tasolle Kuva 2. Laajakaistaisen FM-signaalin generointi. tMyn

27. FM-signaalin ei-koherentti ilmaisu • Perustuu taajuuksien erottamiseen, discriminator: yksi taajuus erotetaan toisesta muuntamalla taajuuden muuttuminen muutokseen amplitudissa. Amplitudimuutos ilmaistaan samoin kuin AM-ilmaisussa. • FM-signaalin muoto oli tMyn

28. Derivoimalla lauseke ajan suhteen saadaan: • Tämän signaalin verhokäyrä on siis muotoa • Itseisarvon sisällä oleva lauseke on aina positiivinen, joten itseisarvomerkit voidaan ottaa pois. • Lohkokaavio ilmaisusta on kuvassa 3, ja se sopii sekä kapeakaistaiseen- että laajakaistaiseen FM-ilmaisuun. tMyn

29. VERHOKÄYRÄ- ILMAISIN Kuva 3. Ei-koherentti FM-signaalin ilmaisu. tMyn

30. FM-signaalin koherentti ilmaisu • Koherenttiin ilmaisuun käytetään vaihelukittua silmukkaa (Phase lock loop). • Yleisesti ottaen takaisinkytkentää käytetään virhetermin minimoimiseen. • PLL käyttää jänniteohjattua oskillaattoria (VCO) takaisinkytkentäsilmukassaan, kuva 4. • Kytkentä vertaa tulosignaalin vaihetta VCO:n lähdöstä saatavan signaalin vaiheeseen. Jos vaiheet eivät ole täsmälleen samoja, VCO:n lähtö muuttuu siten, että se pyrkii pakottamaan vaiheet samanarvoisiksi. tMyn

31. FM-signaali VAIHEVERTAIN VCO Kuva 4. Vaihelukitun silmukan kaaviokuva. tMyn

32. Jos FM-signaalin taajuus on suurempi kuin VCO:n tulossa, niin se aiheuttaa vaihe-eron kasvamista. Tällaisessa tapauksessa kytkentä pyrkii nostamaan VCO:n tulosignaalin taajuutta. • Siispä VCO:n tulosignaali pyrkii seuraamaan FM-signaalin taajuutta. • VCO:n tulosignaali edustaa täten FM-signaalin demoduloitua versiota. tMyn