直线和平面垂直的判定和性质（习题课）

1. 直线和平面垂直的判定和性质（习题课）

2. 一、概念回顾： 1、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有直线都垂直，则就说这条直线和这个平面垂直。 2、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 3、直线和平面垂直的性质： （1）如果直线和平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直。 （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、唯一性定理： （1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 （2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

3. P C B D A 例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点， 求证：PD⊥平面ABC. 证明：PA=PB，D为AB中点 ∴ PD⊥AB，连接CD， ∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA＝PC,PD=PD ∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB ∴ PD⊥CD, CD∩AB = D ∴PD⊥平面ABC

4. O Q A B P 例2、如图 平面α、β相交于PQ， 线段OA、OB分别垂直平面α、β， 求证：PQ⊥AB 证明：∵OA⊥α PQα ∴ OA⊥PQ OB⊥β, PQβ ∴ OB⊥PQ 又OA∩OB=0 ∴PQ⊥平面OAB 而AB平面OAB ∴ PQ⊥AB

5. D P C A B 例3、如图 空间四边形ABCD中，CD⊥BD 、CD⊥AD ，△ABC的平面内有一点P，过P在平面ABC内画一直线与CD垂直，应如何画？说明理由. 解：过P作EF∥AB即可， ∵由已知可证CD⊥平面ABD 而AB平面ABD，∴CD⊥AB， 又EF∥AB ∴EF⊥CD

6. P N A D M O B C 例4、PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点. 求证：AB⊥MN 证明：连AC，取AC中点O， 连MO和NO ∵ ABCD是矩形 ∴AB⊥MO 又∵PA⊥平面ABCD AB平面ABCD ∴ PA⊥AB 又由NO∥PA ∴AB⊥NO ∴AB⊥平面MON 又MN平面MON ∴AB⊥MN

7. 证明：（1）AA1⊥AB AA1⊥AD AB∩AD=A ∴AA1⊥平面ABCD 又BD平面ABCD ∴ AA1⊥BD 又AC⊥BD AA1∩AC=A BD⊥平面ACC1A1 (2)DD1∥AA1 DD1∥平面AA1CC1， AA1 平面AA1CC1 ∴DD1∥平面AA1CC1 ∴P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离, 也就是D到平面ACC1A1的距离，设AC∩BD=O，则即为DO的长度，∴P到平面ACC1A1的距离为 D C B A P D1 C1 B1 A1 例5、正方体AC1的棱长为a （1）求证：BD⊥平面ACC1A1 （2）设P为D1D中点，求P到平面ACC1A1的距离.

8. D C 证明: (1)∵AD⊥CD，AD⊥BC CD∩BC=C， ∴AD⊥平面BCD ∴AD⊥BD 且AD∩BD=D 同理可证：BC⊥BD 又BC∩BD=B， ∴BD是AD与BC的公垂线. (2)∵AD=b, AB=a, 在 Rt△ABD中， BD= B A D C A B 例6、如图：ABCD是矩形，AB=a，BC=b（a>b）， 沿对角线AC把△ADC折起，使AD⊥BC （1）求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线 （2）求BD的长

9. 例7、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2 cm2的菱形，∠ADC是锐角. 求证：PA⊥CD P 证明：设∠ADC=θ， 则：由SABCD=2 , CD=BC=AB=AD=2， 易得θ=60° ∴△ACD是等边三角形， 取CD中点E连AE、PE， 则AE⊥CD，PE⊥CD AE⊥CD，PE⊥CD ∴CD⊥平面PAE ∴CD⊥PA A D B C E