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高考与日常教学的关系. 首都师范大学 王尚志 胡凤娟. 高考与日常教学的关系. 一、 2010 年数学高考试题的特点 二、改进 2010 数学高考试题建议 三、教学建议. 2010 年数学高考试题的特点. 1. 严格遵循课程标准，平稳过渡 2. 新增内容适度考查，逐步深入 3. 重点放在对知识的理解 4. 数学依托教材紧扣标准，重视“双基” 5. 重视数学通性通法的考查，贴近中学教学 6. 增强了对阅读理解的考查力度 7. 灵活的进行知识组合 , 形成了具有新意的一批试题. 1. 严格遵循课程标准，平稳过渡
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高考与日常教学的关系 首都师范大学 王尚志 胡凤娟
高考与日常教学的关系 一、 2010年数学高考试题的特点 二、改进2010数学高考试题建议 三、教学建议
2010年数学高考试题的特点 • 1.严格遵循课程标准，平稳过渡 • 2.新增内容适度考查，逐步深入 • 3.重点放在对知识的理解 • 4. 数学依托教材紧扣标准，重视“双基” • 5.重视数学通性通法的考查，贴近中学教学 • 6.增强了对阅读理解的考查力度 • 7.灵活的进行知识组合,形成了具有新意的一批试题 www.cnuschool.org
1.严格遵循课程标准，平稳过渡 往年高考一般将数列题作为压轴题，新课改对数列要求降级，北京、辽宁、陕西今年放在16题，海南放在17题，只是对等差等比数列的通项和前n项和简单考查．北京、福建、江苏、陕西、浙江、安徽、广东、湖南、辽宁、山东、陕西、天津、海南、上海共22个题，没有一个递推关系．
2.新增内容适度考查，逐步深入 北京卷：选择题：(3)三视图、(5)极坐标、(11)统计图标、(12)平面几何． 全国课标卷：(2)复数、(7)框图、(13)积分、(14)三视图、(19)独立性检验、(22)三选二． 陕西卷：(2) 复数、(6) 框图、(7) 三视图、(13)积分和几何概型、(15) 三选二、 湖南卷：(2)全称命题与特称命题的否定、(3)极坐标参数方程、(5)积分、(10)平面几何、(11)几何概型、(12) 框图、(13)三视图、
浙江，山东无选修内容，北京、安徽、天津、湖南必做，其余省市或三选二、或四选一.浙江，山东无选修内容，北京、安徽、天津、湖南必做，其余省市或三选二、或四选一. 福建卷：选考题三选二 选修4-2：矩阵与变换、选修4-4：坐标系与参数方程、选修4-5：不等式选讲． 广东卷：坐标系与参数方程选做题、几何证明选讲选做题． 江苏卷：四选二几何证明选讲、矩阵与变换、参数方程与极坐标、不等式证明选讲． 辽宁卷：三选一几何证明选讲、参数方程与极坐标、不等式证明选讲．
体现课标理念，对课程改革起了重要的促进作用体现课标理念，对课程改革起了重要的促进作用 试卷围绕《课程标准》的内容主线、核心能力、改革理念命题，关注必修与选修的比例及文理科的差异．试卷除了对三视图、算法框图(文科)、统计等新增内容适度考查外，对传统内容的考查平稳中求创新，重视考查主干内容体现的数学的科学价值、应用价值、文化价值，增强了发现和提出问题、分析和解决问题能力的考查力度．达到落实新课标、推进课程改革的目的．
3.重点放在对知识的理解 数学课程标准中对学生的学习方式给出了详细的描述：学生的数学学习活动不应只限于接收、记忆、模仿和练习，提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式. 这些方式有助发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师的引导下的“再创造”过程.同时，鼓励学生在学习课程中，养成独立思考促进学生形成科学合理的学习方式，帮助学生养成独立思考、积极探索的习惯.
(2010年陕西卷16) (本小题满分12分) 已知{an}是公差不为零的等差数列， a1=1，且 a1，a3，a9成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列的前n项和Sn. 由1 (1+8d)=( 1+2d)2 得{an}的通项an=1+(n1)1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 由等比数列前n项和公式得
(2010年北京卷7)设不等式组表示的平面 区域为D，若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是 (A)(1，3] (B )[2，3] (C ) (1，2] (D )[ 3，+ ∞] 解：作出可行域如右图所示绿色区域． 0<a<1时，x>0时，0<ax<1，y=ax的图像上不存在区域D上的点． a>1时，当y=ax过A(2，9)时，a最大为3. a∈(1，3]. 选A．
(2010年福建理9）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d} 具有性质“对任意x，yS，必有 xyS”，则当时，b+c+d等于 A. 1 B. 1 C. 0 D. i
4. 数学依托教材紧扣标准，重视基础知识、基本技能、基本数学活动经验、基本数学思想的考查.
(2009年宁夏海南卷16) 等差数列{an}前n项和为Sn.已知 则m=__. 本题考查的核心是对等差数列的理解，等差数列的定义是：am+1=am+d (n为大于0的自然数，d是公差)，学生应理解，am比前一项多d(n大于1)，比后一项少d，因此，am是am1和am+1的等差中项，即am1+am+1可以用2am代替，这是个“对称”性质，可以延续，即am也是a1和a2m1的等差中项，让学生把这种理解变成他们的“直观”,不是当作需要记住的“方法”或“技巧”,遇到类似的问题，就可以正确解答．
(2009年广东卷理8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙(如图2所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是A. 在t1时刻，甲车在乙车前面B. t1时刻后，甲车在乙车后面C. 在t0时刻，两车的位置相同D. t0时刻后，乙车在甲车前面 v 甲 v 乙 t t 0 1 y O x
现在数学教学中，不重视概念的教学，这一点需要引起关注．如何搞好概念教学？重要概念是否能一步到位？需要我们思考．现在数学教学中，不重视概念的教学，这一点需要引起关注．如何搞好概念教学？重要概念是否能一步到位？需要我们思考． (2010年山东卷理9)设{an}(n∈N*)是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列{an}是递增数列的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 解：设等比数列的公比为q，若a1＜a2＜a3， 则a1<a1q<a1q2，
(2010年安徽卷理8)动点A(x，y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(2010年安徽卷理8)动点A(x，y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是 A、[0，1] B、[1，7] C、[7，12] D、[0，1]和[7，12] 解法1
函数的单调递增区间满足： 单调递增区间是[0，1]和[7，12]．
(2010年上海卷理13)直线x=2与双曲线的渐近线交于E1、E2两点，记任取双曲线C上的点P，若则a、b满足的一个等式(2010年上海卷理13)直线x=2与双曲线的渐近线交于E1、E2两点，记任取双曲线C上的点P，若则a、b满足的一个等式 是_______________．
分析：渐近线方程P(x，y) 即A(2a，a)， 同理A(2b，b). BP//OA，AP//OB，得 P在双曲线上，得(a+b)2(ab)2=1 ⟺ 4ab=1. 评述：把向量概念、向量加法、相似性、坐标方法、双曲线的基本性质融合，没有任何复杂的知识和特殊的技巧，深层次考查基础知识和基本方法．
(2010年浙江理16)已知平面向量α，β (α≠0，β≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β－α的夹角为120°,则|α|的取值范围是_____.
(2010年辽宁理10)已知点P在曲线 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A) (B) (C) (D)
5.重视数学通性通法的考查，贴近中学教学 数学思想和基本数学方法蕴含于数学基础知识中，表现为数学观念，它们与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程．对数学思想方法的考查是考查考生能力的必由之路．今年的试卷，重视数学通性通法，尤其是待定系数法、配方法、换元法、消元法等方法的考查．
(2010年北京理15)(本小题共13分) 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x4cosx． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值．
(2010年安徽文卷21) (本小题满分13分)设C1， C2， …Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn }为递增数列. (Ⅰ)证明：{rn }为等比数列； (Ⅱ)设r1=1，求数列 的前项和.
(2010年北京卷8)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP＝ｚ(ｘ，ｙ，ｚ大于零)，则四面体PEFQ的体积 (2010年北京卷8)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP＝ｚ(ｘ，ｙ，ｚ大于零)，则四面体PEFQ的体积 (Ａ)与ｘ，ｙ，ｚ都有关 (Ｂ)与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 (Ｃ)与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 (Ｄ)与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
(2010年北京卷理19)(本小题共14分)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(2010年北京卷理19)(本小题共14分)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
5. 注重应用意识和创新意识的考查 对应用意识的考查体现了数学的价值，就其在一些省拥有命题自主权，创造出了一些好的应用问题，它们贴近现实生活实际，强调运用数学思想分析和解决问题的过程，强调数学阅读理解，逐步改变应用问题以“生硬”概率试题为主的倾向，前一段，高考的应用题都变成了概率题．而且有的概率题过于生编硬造，不是考查随机现象．依托概率是可以设计一些很好的应用问题，也有一些很好的概率高考题．例如，
N O P Q (2010年浙江卷理19)(本题满分14分) 如图．一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C．则分别设为l， 2，3等奖．
N O P Q (I)已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50％．70％．90％．记随机变量ξ为获得(k=1，2，3)等奖的折扣率．求随变量ξ的分布列及期望Eξ； (Ⅱ)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动．记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次．求P(η=2)．
(2010年江西卷理18) (本小题满分12分) 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间． (1)求的分布列；(2)求的数学期望．
2010年继续出现的一批非概率背景的应用题，都是精心设计的应用问题．应用题的背景十分丰富，如航海问题、解析几何的应用、简单的线性规划、三角测量、函数和导数等……2010年继续出现的一批非概率背景的应用题，都是精心设计的应用问题．应用题的背景十分丰富，如航海问题、解析几何的应用、简单的线性规划、三角测量、函数和导数等……
(2010年高考福建卷理科19)(本小题满分13分) 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
故当时， 此时 即 小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2010年高考湖南卷理科19)(本小题满分13分) 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图6)．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过km的区域； 在直线x=2的左侧，考察范围为 到A，B两点的距离之和不超过 km的区域．
(2010年高考湖南卷理科19) (Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程； (Ⅱ)如图6所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边 界线移动到考察区域所需的最 短时间．
(2010年高考广东卷理科19)(本小题满分12分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
设该儿童分别预订x，y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z=2.5x+4y．可行域为设该儿童分别预订x，y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z=2.5x+4y．可行域为 经试验发现，当直线过B(4，3)点时，z=2.5x+4y最小，即花费最少，为2.54+43=22元．
(2010年高考江苏卷理科17) (14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m)，如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE= (1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值． (2)该小组分析若干测得的数据后， 发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位m)，使与之差较大，可以提 高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，最大.
(2010年高考陕西卷理科17)．(本小题满分12分) 如图，A，B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？
(2010年高考数学湖北卷理科17)(本小题满分12分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式； (Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
(2010年高考江西卷理科12)．如图， 一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂 直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)S(0)=0，则导函数y=S(t)的图像大致为(A)
6.增强了对阅读理解的考查力度 在数学的学习中，阅读理解能力是学生应具备的基本能力，这种能力是学生最缺乏的能力，会做题而不会读书是目前我国数学教育的存在的一个突出问题．数学阅读理解能力将为学生终生学习奠定基础．数学材料的阅读不同于文学作品的阅读，是对数学语言的阅读．数学语言是数学特有的形式化符号体系，数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言．高考对阅读理解能力增强了考查力度，要求考生读懂题目的叙述，特别是识别关键词，理解术语和数学符号的含义，能运用数学的自然语言、符号语言、图形语言进行理性思考．
(2010年北京卷14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p(x,y)的轨迹方程是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为；y=f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为．(2010年北京卷14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p(x,y)的轨迹方程是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为；y=f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为． 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正 方向滚动指的是先以顶点A为中心 顺时针旋转，当顶点B落在x轴上 时，再以顶点B为中心顺时针旋转， 如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．
(2010年高考数学北京卷理科20)已知集合 Sn={XX=(x1,x2,…,xn)} , xi{0,1}, i=1,2,…,n}(n2). 对于A=(a1,a2,…,an)，B=(b1,b2,…,bn)Sn， 定义A与B的差为 AB=(a1 b1，a2 b2，…，an bn)； A与B之间的距离为 (Ⅰ)证明：A，B，CSn，有ABSn， 且d(AC，BC)=d(A，B); (Ⅱ)证明：A，B，CSn， d(A，B)， d(A，C) ， d(B，C) 三个数中至少有一个是偶数;
已知集合Sn={XX=(x1,x2,…,xn)} , xi{0,1}, i=1,2,…,n}(n2). 对于A=(a1,a2,…,an)，B=(b1,b2,…,bn)Sn， 定义A与B的差为 AB=(a1 b1，a2 b2，…，an bn)； A与B之间的距离为 (Ⅲ) 设P⊆Sn，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 证明：
(2010年高考数学山东卷理科12) 定义平面向量之间的一种运算“⨀”如下：对任意的a=(m,n)，b=(p,q)，令a⨀b=mqnp，下面说法错误的是(B) (A)若a与b共线，则a⨀b= 0 (B) a⨀b= b⨀a (C)对任意的R，有(a)⨀b=(a⨀b) (D)(a⨀b)2+(ab)2=a2b2
(2010年福建理10)对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x0D,使得当xD且x>x0时,总有 则称直线l：y=kx+b为曲线y=f(x)与y=g(x)的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下： ①f(x)=x2,g(x)= ②f(x)=10-x+2,g(x)= ③f(x)= g(x)= ④ g(x)=2(x-1-e-x).其中，曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是 A．①④B.②③ C. ②④ D. ③④
7.灵活的进行知识组合,形成了具有新意的一批试题7.灵活的进行知识组合,形成了具有新意的一批试题 各块知识结合得非常巧妙，考生需要分析信息，懂得组合分析，找到科学合理的切入口，所谓的套路行不通，用惯套路的会惨败．许多死读书的考生不适应．
(2010年福建文科20） (本小题满分12分) 如图，在长方体ABCD – A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH//A1D1．过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G． (I)证明：AD//平面EFGH； (II)设AB=2AA1=2a．在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一 点，记该点取自于几何体 A1ABFE – D1DCGH内的概率为p．当点E，F分别在棱A1B1， B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值．
