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三角関数演習問題

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  1. b θ a 1 0 0 2π 1 1 1 -1 2π 2π 2π -1 -1 -1 0 0 信号理論 (金田) 1演-1 三角関数演習問題 (答は別紙の解答用紙に記入する) [ 三角関数 ] 1.右の図の直角三角形において、r,a,b は、   それぞれの辺の長さを表す。   また、θは r と a の辺のなす角度を表す。   このとき、 (1) sinθ(2) cosθ(3) tanθ   を、r,a,b を用いて表せ。 2.角度の単位を2つあげよ。 3.(1) π/3(2)π/4(3) π は、何度の角度か? 4.次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、(1) は、可能な限りていねいに書くこと。 (2) は、(1)との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。 (1) sin( x ) (2) cos( x) 5.次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、sin(x) との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。 (1) sin( x-π/2 ) (2) sin( x+π/2) a,b は定数

  2. 1 0 0 2π 1 1 1 4. (1) sin( x ) (2) cos( x) -1 2π 2π 2π -1 -1 -1 5. (1) sin( x-π/2 ) 0 0 (2) sin( x+π/2) 信号理論 (金田) 1演-2解(1) 三角関数演習 解答用紙 波形は次ページ

  3. 1 x x π π 2 2 π π - 1 - 1 信号理論 (金田) 1演-2解(2) 三角関数演習 解答用紙 4. 5.(1) sin( x-π/2 ) (1) sin( x ) 参考: sin( x ) (2) cos( x) (2) sin( x+π/2 ) 2πで1周期 1 x 0 0 0 2 π π - 1 π/2 π/2 × sin(x) が右に π/2 移動 sin(x) が左に π/2 移動 1 関数 f(x-τ) は、  → 元の波形が、( ) 内がゼロとなるxに移動する  → 左の式では、sin波形の開始点が    x=π/2 の点に移動する = -cos( x) 半円の繰り返しではダメ = cos( x) x π 2 π - 1

  4. 信号理論 (金田) 1演-3 複素数演習 答えだけでなく途中式も書くこと  1.以下の計算をして、答を 実数+虚数 (a+jb)の形で表せ。  3.次の複素数を、複素指数関数(極座標表示) r ej θの形   で表せ。 (ただし、θは「度」で表せ。また√2=1.4 とせよ)  (1) (2+j 3)+(1+j 2) (2) ( j )×( j ) (3) ( 4+j )×( 3-j 3 ) (4) ( j )6 (5) ( 1 )÷( j ) (6) ( j ) -3 (1) ( 1 ) (2) ( j ) (3) ( 1-j ) (4) ( -1+j ) 4.次の複素数の計算をせよ (答えは複素指数関数) (1) 2ej 25°× 4e-j 315° (2) 2ej 25°÷ 4e-j 315° 2.以下の複素数を、実数+虚数 (a+jb)の形で表せ。   ただし、sin45°=cos45°=0.7 として計算せよ。  (1) ej 90° (2) 2ej 45° (3) 4e-j 315° 5.次の複素数 z の絶対値(大きさ) | z | を計算せよ  z=3+j4

  5. 信号理論 (金田) 1演-3解 第1回演習解答 複素数演習 3.次の複素数を、複素指数関数(極座標表示) r ej θの形   で表せ。 (ただし、θは「度」で表せ。また√2=1.4 とせよ)  1.以下の計算をして、答を 実数+虚数 (a+jb)の形で表せ。  (1) (2+j 3)+(1+j 2)= 3 + j 5 (2) ( j )×( j ) = -1 (3) ( 4+j )×( 3-j 3 ) = 12 - j12 + j3 + 3 = 15 - j 9 (4) ( j )6= (( j2 )3 ) = (( -1 )3 ) = -1 (5) ( 1 )÷( j ) = 1 / j (分母分子に j をかけると)           = j / ( j × j ) = j / (-1) = -j (6) ( j ) -3= 1 / ( j ) 3= 1 / ( -j ) = ( j ) / ( -j × j ) = j ◇ 複素数 a+ j b から 複素指数関数 A e jθへの変換 A = √(a2+b2 )θ=tan-1(b/a)   ☆ただし、電卓などの計算結果では、 θは -90°<θ< 90°の範囲で得られる     ので 、a <0 のときは、θに ±180° する θの値が複素平面上で妥当なことを確認する (1) ( 1 ) = 1+j 0 なので、a=1、b=0 に相当     よって、A=1、 θ=tan-1(0)=0°  よって e j0° (2) ( j )= 0+j 1 なので、a=0、b=1 に相当     よって、A=1、 θ=tan-1(1/0)=90°  よって e j90° (3) ( 1-j ) = 1+j (-1) なので、a=1、b=-1 に相当   よって、A=√2=1.4、 θ=tan-1(-1)=-45°   よって 1.4 e- j45° (4) ( -1+j )= (-1)+j (1) なので、a=-1、b=1 に相当   よって、A=√2=1.4、 θ=tan-1(-1)=-45°   ただし、a <0 であるので、θに +180° する   よって 1.4e j135° 【参考】 ( a+j b ) と、その複素共役 ( a - j b ) との積は         ( a+j b )×( a - j b ) = a2+b2    と、簡単に計算できる。 (答は実数となるので、    複素数の分母の実数化に利用される) 2.以下の複素数を、実数+虚数 (a+jb)の形で表せ。   ただし、sin45°=cos45°=0.7 として計算せよ。  4.次の複素数の計算をせよ (答えは複素指数関数) 【重要】 な オイラーの公式 ( 必ず覚えておくこと!) ejθ= cosθ+ j sinθ を利用する。 指数関数の積と商 (積)A1e j θ1・A2e j θ2         = A1・A2・e j (θ1+θ2) (商)A1e j θ1/A2e j θ2         =( A1 /A2) ・e j (θ1-θ2) 注: 実数の場合と同じ結果です (1) ej 90°= cos90°+j sin90°= j (2) 2ej 45°= 2 ( cos45°+j sin45°)   = 2 ( √2/2 + j √2/2 ) = √2 + j √2 = 1.4 + j 1.4 (3) 4e-j 315°   = 4 ( cos(-315°)+j sin(-315°))   = 4 ( √2/2 + j √2/2 ) = 2√2 + j 2√2 = 2.8 + j 2.8 注: - 315+360 =45 なので、-315°と45°は同じ角を表す。 (1) 2ej 25°× 4e-j 315° = (2×4) ej (25-315)°= 8 e- j 290° (= 8 ej 70° ) (2) 2ej 25°÷ 4e-j 315° = (2/4) ej (25-(-315) )°= 0.5 ej 340°(= 0.5 e- j 20°)  ☆ 複素数の知識が不十分な人は、    「複素数のまとめ」 が、ホームページ http://www.asp.c.dendai.ac.jp/  の    [授業]→[信号理論] にあるので、    再度勉強しておいてください 5.次の複素数 z の絶対値(大きさ) | z | を計算せよ z=3+j4  複素数の絶対値(大きさ)は、  (実数部の2乗)+(虚数部の2乗)の平方根なので、 | z | =√32+42=√9+16=5

  6. 信号理論 (金田) 1宿-1 [ sin 関数の形の理解 ] 下記の表の空欄に,適切な文字式と数字を記入せよ。その結果を使って下記のグラフ y=sin(x) を完成させよ。 ◇ 関数の傾きは微分によって与えられる。 sin(x) の微分は, であるので, 例えば、x=0 での sin(x) の傾きは,cos(0)=1 である。 y y = x の直線 x=π/2 で,y =π/2=1.6 x =π/2 では,傾きは0。 x=3π/2 でも同じ x x = 0 では,傾きは 1 x=πでは、傾きは -1 x=2πでは ,傾きは 1 sin(x) = 0 となる点をはさんで, sin(x) = ±0.5 までの範囲で, ほぼ y=x の直線と一致する 0

  7. T 時間 t 0 信号理論 (金田) 1宿-2 [ 正弦波 ] 時間を変数としたサイン(またはコサイン)関数は,正弦波と呼ばれる。 1.以下の文の ( ) をうめよ。  ・ 時間 t を変数とした関数の図は,「波形」と呼ぶ。  ・ 上記の sin( 2πf t ) の波形は,時間 T,または,f を使って表すと ①(      ) ごとに同じ波形をくり返す。    この f を ②(       ) と呼び, T を ③(       ) と呼ぶ。  ・ 1秒間に同じ波形が ④(    )回繰り返される。  ・ ω= 2πf を使って, sin( ωt ) とも表される。 このωを ⑤(        ) と呼ぶ。  ・ sin( 2πf t +θ) と表されるとき,θは t=0 の時の( )の中の値であるが,このθを ⑥(       ) と呼ぶ。 2. sin( 2πf t ) は,t の値が 0 から増加するに伴って ( )の中の値が増加し,  例えば,t の値が 1/(4f ) となると, 2πf t の値は π/2 となるので, sin( 2πf t ) =1 となる。  同様の考えで,t がどのような値をとると sin( 2πf t ) がどのような値をとるか,を示している以下の表の  空欄をうめよ。 3.以下の式で表される波形を描け。 ① sin(2πf t -π/2) ② 2・sin(4πf t) 1 1 0 0

  8. T 時間 t 0 周期 信号理論 (金田) 1宿-2解 [ 正弦波 ] 時間を変数としたサイン(またはコサイン)関数は,正弦波と呼ばれる。 ① sin(2πf t -π/2) ② 2・sin(4πf t) = 2・sin(2π(2f) t) 1.以下の文の ( ) をうめよ。  ・ 時間 t を変数とした関数の図は,波形と呼ぶ。                T  ・ 上記の sin( 2πf t ) の波形は,時間 T,または,f を使って表すと ①( 1/f ) ごと    に同じ波形をくり返す。 この f を ②( 周波数 ) と呼び, T を ③( 周期 ) と呼ぶ。  ・ 1秒間に同じ波形が ④( f )回繰り返される。  ・ ω= 2πf  を使って, sin( ωt ) とも表される。 このωを ⑤( 角周波数 ) と呼ぶ。  ・ sin( 2πf t +θ) と表されるとき,θは t=0 の時の( )の中の値であるが,このθを   ⑥( 位相 ) と呼ぶ。 1 t t 0 0 1/f 2. sin( 2πf t ) は,t の値が 0 から増加するに伴って ( )の中の値が増加し,  例えば,t の値が 1/(4f ) となると, 2πf t の値は π/2 となるので, sin( 2πf t ) =1 となる。  同様の考えで,t がどのような値をとると sin( 2πf t ) がどのような値をとるか,を示している以下の表の  空欄をうめよ。 1/(4f) 振幅は2倍 sin(2πf t) が 1/4 周期右に移動  ・ π/2 → 1/4 周期  ・ 2πf t -π/2=0 → t=1/(4f) 周波数2倍 ⇒ 周期は1/2 t = 1/f = T で, 2πf t =2π だから 1/f = T は周期になる 3.以下の式で表される波形を描け。

  9. 信号理論 (金田) 2説-1 [ パラメータ ] y 例1) 直線のパラメータ    直線の式: a b パラメータは2つ。 a と b  b: 切片 (x=0 における y の値 )  a: 直線の傾き。 x が 0 から 1 に増えたときの    y の増加量 2つのパラメータ a と b の値がわかれば,直線が描ける。 ※ 直線は,2点を定めれば描ける,ということと等価    (x,y) が (0,b), (1,a+b) の2点   x 1 0 y 例2) 2次曲線のパラメータ    2次曲線の式: b パラメータは3つ。 a と b と c 2つのパラメータ a と b の値がわかれば, 2次曲線が描ける。 0 ◇ 別の3つのパラメータもある a と α と β の3つ ただし,α と β は, の解

  10. 信号理論 (金田) 2説-2 [ 関数の平行移動 (1/2)] f(t) f(t-τ) 図1 図2 τ f(t-τ) は、f(t) を 右側に「τ」移動したもの f(0) f(0) t t τ τ 0 0 (タウ) ・ 信号 f(t) は、t =0 の時 、 値 f(0) となる。(図1) ・ 信号 f(t-τ) は、t =τ の時 (t =τを代入すると)、   ( )の中は 0となり,値 f(0) となる。(図2) ・ したがって、f(t-τ) は、f(t) を 「右側にτ」移動したものである。 f(t +τ) は、f(t) を 左側に「τ」移動したもの f(t) f(t +τ) 図3 図4 τ f(0) f(0) t t -τ 0 0 ・同様に,f(t +τ) は、t =-τ で、 f(t) が t=0の時の値をとるので, f(t) を 「左側にτ」移動したものとなる。

  11. x x π 2π 信号理論 (金田) 2説-3 [ 関数の平行移動 (2/2)] ① sin(x) と sin(x - π/2) sin(x - π/2) sin(x) ・ 右に π/2 移動 ・ x=π/2 で,( ) の中が0になり、  sin(0) の値を取るから x 2π π π/2 ② sin( ωt ) と sin( ωt - π/2) sin( ωt - π/2) ・ 右に π/(2ω) 移動 ・ t = π/(2ω) で,( ) の中が0になり、  sin(0) の値を取るから sin(ωt ) t t π/ω 2π/ω =1/ f π/ω 2π/ω =1/ f π/(2ω) ・ 横軸の値に注意 ・ t が,2π/ω (= 1/f = T ) になったとき sin の ( ) の中は 2π になる。  → 2π/ω (= 1/f = T )  が1周期 ③ sin( ωt ) と sin( ω( t - τ) ) sin(ω( t - τ) ) sin( ωt ) ・ 右に τ 移動 ・ t =τ で,( ) の中が0になり、  sin(0) の値を取るから t τ

  12. 1 t 波形 (a) 波形 (b) -1 -1 t 1(秒) 1/6 0.5 1(秒) 信号理論 (金田) 2演-1 [ 正弦波の表現1と表現2 ] 1. 正弦波の表現を2種類示せ 2.以下の2つの正弦波形について,   波形 (a)(b) を, A・sin( 2πf t +θ) として表すとき,f,A,θ を求めよ。      波形(a): f =      , A=    , θ=      波形(b): f =      , A=    , θ=       ( 続きは 裏面 )

  13. 信号理論 (金田) 2演-2 3.次の正弦波の表現1: A・sin( 2πf t +θ)  を、表現2: a・cos(2πf t )+b・sin(2πf t ) に変更せよ (1) sin( 2πf t +π/2) → (2) sin( 2πf t +π/6) → (3) 2・sin( 2πf t -π/3) → ※ 質問事項(本日の授業でわかりにくかったこと)、    および、この授業に対する感想・意見・要望などあれば、記入してください。  

  14. 1 1 時間 t 時間 t 0 0 10ms 10ms 5 5 -1 -1 信号理論 (金田) 2宿-1 問1.次の周波数の正弦波の式を示して、グラフを描け。ただし、すべて、振幅は1、位相は 0 とせよ。   [ この問題は基本的な問題なので、必ず、理解して解けるようにしておくこと] (1) 周波数が 100Hz の正弦波 (式) 横軸は時間軸で、 1目盛が 1ms(ミリ秒) (2) 周波数が 500Hz の正弦波 (式) 問2.正弦波は、   表現1: 振幅Aと位相θを使った表現   表現2: cos と sin の和を使った表現 で表すことができる。次の表現2から表現1を求めよ。 (1) cos(2πf t) + sin(2πf t) (2) √3・cos(2πf t) + sin(2πf t)

  15. 信号理論 (金田) 2宿-2 問3. このことを作図により確かめる。 下のグラフは cos( 2πf t) と sin(2πf t ) を表している(f=1 の場合) 。 これより、 cos( 2πf t) + sin(2πf t ) のグラフを作図せよ。 (あまり、ていねい・厳密にやる必要は無い。おおまかな形がわかればよい) ※ 各時間において、縦方向に2つのグラフの値を加算した値の点を記入して、それをつなげばよい。 ※ 描いたグラフと、問2(1) の計算結果を比較せよ。同じ結果になっているか? 同じ周波数の、2つの正弦波の和は、1つの正弦波になる sin( 2πf t) 時間 t 0 cos( 2πf t) 問4.複素数 z =a+ j b (ただし、a、b は実数) と、その共役複素数 z* の和と差、 z+z* と  z-z*  を、a、b を使って表せ。