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无约束 数值 优化基础

无约束 数值 优化基础. 最优化问题. 最优化问题的数学定义 目标函数是 光滑 的 变量可以是向量. 目标函数的光滑特性. 为了简单起见，我们考虑光滑函数，因为 光滑函数是各阶 可 微 的 首先函数是 连续的 且函数可 微 且各阶 导数连续且可微 由于 函数连续可微，提供了（不为垂直的）切线方向. 几个相关概念. 不连续 函数 连续函数但不可 微 连续可微函数但不光滑. 向量变量. 一般情况下变量是用特征向量的形式表示 向量如何求导 Partial derivative Vector value. 数值最优化. 没有闭式解 函数信息昂贵

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无约束 数值 优化基础

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Presentation Transcript

  1. 无约束数值优化基础

  2. 最优化问题 • 最优化问题的数学定义 • 目标函数是光滑的 • 变量可以是向量

  3. 目标函数的光滑特性 • 为了简单起见，我们考虑光滑函数，因为 • 光滑函数是各阶可微的 • 首先函数是连续的 • 且函数可微 • 且各阶导数连续且可微 • 由于函数连续可微，提供了（不为垂直的）切线方向

  4. 几个相关概念 • 不连续函数 • 连续函数但不可微 • 连续可微函数但不光滑

  5. 向量变量 • 一般情况下变量是用特征向量的形式表示 • 向量如何求导 • Partial derivative • Vector value

  6. 数值最优化 • 没有闭式解 • 函数信息昂贵 • 变量个数小，但函数计算复杂 • 变量个数巨大 • 思路 • 从某点出发 • 根据局部信息，作一些迭代 • 判断是否达到了解

  7. 解 • 为什么我们要定义一个函数的解？ • 全局极值 • 在整个变量域，难找，也不必要 • 局部极值 • 某个开区间，容易找，通常情况下称为解 • 特殊的局部极值 • 严格局部极小值 • 孤立局部极小值

  8. 课堂测试（1） • 以下哪些说法是对的 • 严格局部极小值都是孤立局部极小值 • 严格局部极小值不都是孤立局部极小值 • 孤立局部极小值都是严格局部极小值 • 孤立局部极小值不都是严格局部极小值

  9. 如何判断一个局部极值 • 在f(x)是二阶连续可微的情况下，x*是局部极值 • 必要条件 • 充分条件

  10. 算法(1) • 数值最优化算法的基本思想 • 从给定的x0出发 • 产生一系列的x1,x2,x3…xK • 当收敛条件达到时 • 结束算法 • 单调性要求：f(x1)>f(x2)>f(x3)… • 两种策略 • Line search线搜索 • 选择一个方向，再选择步长 • Trust region信赖域 • 定一个范围，根据这个区域内的近似模型选择方向

  11. 算法（2） Choose a,x0, While(not convergent) do choose ak,pk xk+1=xk+akpk k=k+1 end Line search:先确定pk,再确定ak Trust region: 先确定ak最大范围r，在确定pk 最后确定真正使用的ak tmp0=xk,0+akpk,0 tmp1=xk,1+akpk,1 tmp2=xk,2+akpk,2 … tmpi=xk,i+akpk,i tmpN=xk,N+akpk,N xk,0=tmp0 …. xk,N=tmpN

  12. 两种策略

  13. 线搜索方法 • 选择一个函数值下降的方向 • 最速下降 • Newton法 • Quasi-Newton法 • 步长 • 足够小 • 使下一次函数值有效减小 • 足够大 • 能较快收敛

  14. Linesearch:方向的选择(1) • 明显的一个选择：梯度 • 最速下降 • Downhill direction 优点：计算简便 缺点：对于复杂问题收敛速度慢 对归一化敏感

  15. Newton方法 目标：迭代至极值 初始点x0 For k=0,1,2,… do 找到正定矩阵Bk 解Bkpk=-Δf(xk) xk+1=xk+akpk End Cholesky分解:B=LDLT For j=1,2,…,n,do cjj=ajj-Σs=1,to j-1dsl2js dj=cjj For i=j+1,…n,do cij=aij-Σs=1 to j-1dslisljs lij=cij/dj end end 目标:使D元素均为正，且L,D中元素不太大 dj==max(|cjj|,(maxj<i<=n |cij|/b)2,e )

  16. Quasi-Newton法 • 思想：找一个Hessian矩阵的近似 • 并根据每一轮的新信息进行有效更新 • BFGS：近似矩阵是对称的，且Bk与Bk+1的差为秩=2的矩阵

  17. 课堂测试（2） • 如果函数形式为 • 则在最速下降中，最好的步长ak为? • 思考：最速下降、牛顿法，Quasi-Newton法的优缺点是什么？

  18. Linesearch：步长的选择（1） • 希望的目标 • 实际上 • 目标函数有效减少 • 寻找合适步长的计算代价不太高

  19. Linesearch：步长的选择（2）

  20. Linesearch：步长的选择 • Wolfe Condition • Sufficient decrease: Armijo condition • Not too small: curvature condition • Backtracking算法 • 初始化a>0,p<1,c • 重复 • 直到满足Armijo condition • 否则：a=pa

  21. 课堂测试（3） • 下面哪些说法是对的，为什么？ • 最速下降法的步长初始为1 • Newton法的步长初始为1 • Quasi-newton法的步长初始为1 • 如果0<c2<c1<1,则有可能找不到满足wolfe条件的步长

  22. 信赖域方法 • 选择一个信赖域 • 在 • 在信赖域内选择一个与目标函数具有相同特性的近似函数 • 选择一个方向 • 选择一个真实的步长

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