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第八节 曲线积分

第八节 曲线积分. 一、对弧长的曲线积分. 总假定:曲线光滑或分段光滑(光滑是指:曲线上每一点都有切线,且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动;分段光滑是指:曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成)。. 例如,圆周、抛物线都是光滑曲线;四边形的周线是分段光滑曲线。. 显然,光滑曲线或分段光滑曲线都是可求长的。. 1. 对弧长的曲线积分的概念和性质. 曲线的质量 设在 xOy 面上有一条质量不均匀的物质曲线段 L 。假定在其上各点的质量线密度 在 L 上是连续的。求曲线段 L 的质量 m. y. B=M n.

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第八节 曲线积分

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  1. 第八节 曲线积分 一、对弧长的曲线积分 总假定:曲线光滑或分段光滑(光滑是指:曲线上每一点都有切线,且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动;分段光滑是指:曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成)。 例如,圆周、抛物线都是光滑曲线;四边形的周线是分段光滑曲线。 显然,光滑曲线或分段光滑曲线都是可求长的。 1. 对弧长的曲线积分的概念和性质

  2. 曲线的质量 设在xOy面上有一条质量不均匀的物质曲线段L 。假定在其上各点的质量线密度 在L上是连续的。求曲线段L的质量m y B=Mn L (1)分割:在L上插入分点A=M0(x0,y0), M1(x1,y1),… ,Mn(xn,yn)=B,把L分成n个小弧段。其 中第i个小弧段Mi-1Mi的长度记为 Mi Mi-1 M2 M1 A=M0 ( O x ( (2)近似:在Mi-1Mi 上任取一点 ,则

  3. (3)求和: (4)取极限: ( 为最长的小弧段的长度)

  4. 定义 设L为xOy面上的一条光滑曲线弧段,函数f(x ,y)在L上有界,用L上的点A=M0, M1, … , Mi-1,Mi,…,Mn-1, Mn=B将L分成n个小弧 段Mi-1Mi (i= 1,2,…,n),设第i个小弧段的长度为 ,记 (即 为n个小弧段的最大长度),点 为第i个小弧段 上的任意一点,如果极限 存在,则称这个极限值为函数f(x ,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分,记作 ( 其中L称为积分曲线,f(x ,y)称为被积函数,ds称为曲线弧长元素

  5. 可以证明:当函数f(x ,y)在光滑曲线弧L上 连续时, 总存在。 以后总假定:f(x ,y)在L上连续。 回顾:曲线的质量 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 若改变L的方向,则对弧长的曲线积分值不变。即 (L-表示与L相反指向的同一曲线弧) 性质2 (其中L1+L2=L)

  6. 若L为封闭曲线弧(两端点A与B重合),则记 2. 对弧长的曲线积分的计算方法 指出(证明从略):弧长元素 (微小切线段的长度) (1)L: (参数方程),则 (2)L: y=y(x) (普通方程),则

  7. (3)L: x=x(y) (普通方程),则 例1 计算 ,其中L为圆x2+y2=a2在 第一象限内的圆弧。 y B(1,2) 2 例2 计算 ,其中L 是由y2=4x,直线x=1及x轴所围的闭曲线(如图)。 1 A 1 x O

  8. 完全类似地,可定义三元函数f(x ,y,z)在空间曲线弧 上的对弧长的曲线积分为 注意到 的参数方程为 故 不举例了。

  9. 二、对坐标的曲线积分 1. 对坐标的曲线积分的概念和性质 变力沿曲线作功 设有一质点位于平面力场 B=Mn y Mi L Mi-1 M2 M1 中,求质点沿光滑曲线弧L从A到B处,力场 所作的功W A=M0 (1)分割:在L上插入分点A=M0(x0,y0), M1(x1,y1), O x … ,Mn(xn,yn)=B,将L分成n个小弧段 ( (2)近似:在Mi-1Mi 上任取一点 ,则

  10. (3)求和: (4)取极限:

  11. 定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,函数P(x ,y),Q(x ,y)在L上有界,用L上的点A= 存在,则称这个极限值为函数P(x ,y)在有向曲线弧L 上对坐标x的曲线积分,记作 . 类似地,若极限 存在,则称这个极限值为函数Q(x ,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分,记为 M0(x0,y0),M1(x1,y1), … , Mn(xn,yn) =B, 将L分成 ( n个有向小弧段Mi-1Mi (i=1,2,… ,n).设 ( 在Mi-1Mi上任取一点 。如果极限

  12. 称P(x ,y), Q(x ,y)为被积函数,L为积分弧段。 可以证明:当P(x ,y), Q(x ,y)在L上连续时, 与 均存在。 (总假定:P, Q在L上连续) 应用上常用组合积分

  13. 或写为向量形式: (其中 ) 回顾:功 对坐标的曲线积分的性质: 性质1 (L-与L反向) 性质2 (L=L1+L2) 封闭曲线积分记号:

  14. 布置作业: P238: 1. 2. 3. 4.

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