第四章动能定理

第四章动能定理 §4.1 功 §4.2 质点的动能定理 §4.3 质点系的动能定理 §4.4 势能 §4.5 功能原理和机械能守恒 §4.6 两题问题（质心系应用举例）

§4.1 功 一、单质点的功 1. 恒力作功定义：意义：如果有一个力作用在物体上，它使物体在力的方向上发生位移，则该力对物体做功。只有平行于位移的分力做功，垂直于位移的分力不做功。功的单位（焦耳）：

B * * A 2　变力的功 3 讨论： • 定义式对于真实力、惯性力在惯性系、非 • 惯性系中都成立。 (2) 功是过程量，总是和一个具体的过程相联系，是力的时间、空间的累积效果．

(3)功是标量，有正负之分。 (4) 外力的总功等于各外力做功的代数和，等于外力的合力的功。

(5) 功在坐标系中的表示形式 在直角坐标系中在自然坐标系中

A （6）外力做功大小和参照系有关 Z′ Z K′系 O ′ O ′ Y Y ′ X X F B K系

功率的单位 （瓦特） (7)质点的位移看作质心的位移 (8)功率：做功的快慢 • 平均功率 • 瞬时功率

例质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触水面时其速率为．设此球在水中的浮力与重力相等，水的阻力为 , b 为常量. 求阻力对球作功与时间的函数关系．解　建立如图坐标代入

二、质点系的功 质心系中： 1.外力对质点系的总功 (Fi:作用在质点 i 上的外力) 外力对质点系的总功等于各外力的功的代数和，但不等于“外力的合力”的功。 F2 F1 1 2 外力的做功等于外力矢量和对质心所作的功与外力在质心系中对个质点所作总功之和质点们的位移各不相同！

重力对质点系做功

质心系中质心坐标为0 外力大小与质点质量成正比，方向相同时，外力的功等于外力矢量和对质心所作的功。

2.内力对质点系的总功 N个质点：内内 F21 F12 1 2 2对1的作用 1相对于2的位移

内讨论： 1.质点系内力做功用相对位移进行计算。 2. A内＝A内ˊ，内力的总功与参考系的选择无关. 3.虽然内力矢量和为零，∑Fi＝0，但是内力的总功一般不为零，即A内≠0 。例：计算木块与地面间的内力（摩擦力）做功。以地面为参考系：以木块为参考系：

三、几种常见的力做功 • 重力 • 万有引力 • 弹性力有心力：

§4.2 质点的动能定理 一、质点的动能定理两边同时 ,有（质点）动能定理：合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量．

说明： (1)功是过程量，动能是状态量。（2）只在惯性系中成立，对于非惯性系要考虑惯性力做功。（3）动能、功的数值在不同的惯性参考系中数值不同，但在惯性参考系中动能定理形式相同，即动能定理满足伽利略变换。

例一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端，绳的上端固定在天花板上．起初把绳子放在与竖直线成30°角处，然后放手使小球沿圆弧下落．试求绳与竖直线成 10°角时小球的速率．解

由动能定理 得

二、由动能定理求解运动状态 物体做一维运动时，如果知道力与位置的函数关系和初始速度,可以根据动能定理求出速度和位置的关系，进而求得物体的轨迹方程。

§4.3 质点系的动能定理 一、质点系的动能定理对质点i，有：惯性系中，定义：两边同时∑：内内如果是非惯性系，要计入惯性力做功，有内内内内惯

二、柯尼希定理 柯尼希定理: 体系动能等于质心动能与体系在质心系中的动能之和。质点系的动量等于质心动量，但质点系的动能一般不等于质心的动能。

三、质心系中的动能定理 质心系不一定是惯性参考系，当质点系不受力或者外力矢量和为0时才是惯性系。质心系中动能定理的形式为： (惯性系) 质点系动能定理 (非惯性系) • 质心系是好系，即使质心系不是惯性系，动能定理中也不需要考虑惯性力所做的功内内内惯与惯性系中的形式一样！

质心系中动能定理的形式推导 非惯性系中内内内内惯内（相对位移在不同的参考系中是一样的）

质心的加速度为， 惯内内由柯尼希定理，得内惯内

惯四、质心系中质点系的动量和动能质心系中的体系动量：质心系中惯性力做功: 质心系中的体系动能：柯尼希定理：质心动能质心系中质点系动能静参考系中质点系动能

§4.4 势能 一、有心力及其沿闭合路径做功有心力：质点在有心力场中沿任意路径L从P点移动到Q点过程中做功为：有心力的性质：有心力做功只与始末位置有关，与路径无关。

二、保守力与非保守力、势能 保守力：做功只与始末位置有关而与路径无关的力。非保守力：即使始末位置相同，做功路径有关的力。保守力的充分必要条件：环路积分为零。常见的几类保守力：（1）是位置的单值函数的力，如弹性力。（2）大小和方向都与位置无关的力,如重力。（3）有心力是保守力，如万有引力，静电力

势能： 在保守力场中定义的一个标量函数 V(r)， r是位置变量，使得保守力做功满足 A(rA→rB)＝V(rA)-V(rB)。由保守力求势能函数：取无穷远处的势能为0，即令V(∞)＝0，则保守力场中任意一点A的势能为势能函数求保守力：

说明： 1)势能只对保守力才有意义 2)势能实际上只定义了势能差值（相对值），势能的数值（绝对值）与势能零点的选取有关。 3)保守力做功等于势能的减少或势能增量的负值。

4)对两质点体系，保守力是两质点间的一对相互作用内力，势能为相互作用物体双方共有。4)对两质点体系，保守力是两质点间的一对相互作用内力，势能为相互作用物体双方共有。 5)内力做功与参照系无关，势能是由保守力做功的特性决定的，大小只与两质点的相对位置有关,与所选取的参考系无关。 6)如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，则称该质点系为保守体系。保守体系势能的计算：所有质点都在无穷远处，间隔也为无穷远，然后将n个质点沿任意路径移到它们所在的点，保守内力所做的总功的负值即为该保守体系的势能。

三、常见保守力的势能函数 万有引力：（零势能点在无穷远处）重力：（z是离开地面的高度，零势能点在地面）弹力：（零势能点在弹簧自由伸长处）

§4.5 功能原理和机械能守恒定律 质点系机械能：功能原理：内一、功能原理惯性系中质点系动能定理：内内内内内内内

功能原理： 内时, 当内二、机械能守恒定律即机械能守恒说明：（1）关于功和能的定理只在惯性系中成立，非惯性系中要引入非惯性力的贡献。（2）能量（动能、势能、机械能等）总是与系统的状态（相对位置、速度等）相联系，称为状态量。

惯质点系机械能：三、质心系中的功能定理非惯性系中质点系动能定理：惯内内内质心系中惯性力做功：内质心系中的功能定理: 内内

§4.6 两题问题（质心系应用举例） 考察惯性系中两质点组成的孤立体系 m1 rc1 质心系中，两质点的坐标分别为： r1 rc2 rc m2 r2 O （1）质心在两质点的连线上。（2）质点到质心的距离反比于质点的质量。

两质点的动力学方程为： 定义：（约化质量、折合质量）即引入约化质量，坐标系取在一个质点上后，两体问题可以当成单体问题处理，而且不需要引入惯性力。

质心系中的动能： 由即引入约化质量，坐标系取在一个质点上后，所求得的动能就是质心系中的动能。

两质点体系的柯尼希定理： 如果是静止靶，即 m1= m2= m，v1＝0，v2=u 资用能：则折合质量：对撞：相对速度: v1＝－u/2，v2=u/2 粒子物理打靶实验 m1= m2= m

碰撞 • 碰撞的特征：作用极强、作用时间极短 • 碰撞的简化模型： • 内力很大，F内>>F外； • 作用时间极短，外力的冲量趋于0，系统动量近似守恒 • 在碰撞过程中，物体的位移为0。 • 分类：弹性碰撞和非弹性碰撞弹性碰撞:碰撞前后物体保持不变，既没有形状大小的变化，也没有内部状态的变化。完全非弹性碰撞：碰撞前后物体有剩余形变或状态变化，并且合并在一起以同一速度运动。

一、正碰：碰撞前后两物体的速度都沿二者中心的连线。一、正碰：碰撞前后两物体的速度都沿二者中心的连线。设压缩阶段两者达到的共同速度是v，记弹力对m2的冲量为I。对心正碰的图像 1）压缩阶段：消掉v，得 m1速度逐渐减小，m2速度逐渐增大，当两者速度相等时，两物体之间达到最大压缩状态。

2）恢复阶段： 恢复系数： m1速度继续减小，m2速度继续增大，直至两者分离。 e只决定于物体的材料，可由实验测量，0<e<1。设恢复阶段弹力对m2的冲量为J。碰撞过程中动能损失：消掉v，得

二、斜碰（被碰小球初始静止） b：碰撞参量（瞄准距离）如果是完全弹性碰撞二维平面问题

质心系中碰撞问题的探讨（略） 弹弓效应（略）

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