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DIC9315, Sujets spéciaux en intelligence artificielle et reconnaissance des formes Introduction à la logique floue. Mounir Boukadoum. Et si Bouddha avait raison ?…. « Tout doit toujours être ou ne pas être » Aristote « …Le monde n’est ni éternel ni éphémère, ni fini ni infini »

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Presentation Transcript
slide1

DIC9315, Sujets spéciaux en intelligence artificielle et reconnaissance des formesIntroduction à la logique floue

Mounir Boukadoum

et si bouddha avait raison
Et si Bouddha avait raison ?…

« Tout doit toujours être ou ne pas être »

Aristote

« …Le monde n’est ni éternel ni éphémère, ni fini ni infini »

Bouddha

Corollaire : « Rien dans le monde, objet ou événement, ne serait vrai ou faux s’il n’existait pas de créatures pensantes » Donald Davidson

slide3

Flou ne signifie pas imprécis ou inconnu!

  • Exemple :
    • X : taille d’une personne exprimée par une variable t
    • X(t) : vraisemblance de t par rapport à X

X est imprécissi X(t)= 1 pour t dans [t0, t1], 0 ailleurs

X est flousi X(t) [0, 1] pour t dans un intervalle donné

X est inconnu si X(t) = 1 pour toute valeur de t

X est précis Si X(t)=1 pour la valeur donnée et 0 autrement

X(t)

jalons historiques
Jalons historiques
  • Années 1930, : Jan Lukasiewicz
    • Logique à valeurs multiples; des valeurs dans l’intervalle [0,1] représentent la possibilité qu’une affirmation soit vraie ou fausse.
      • Si 0.86 exprime le degré de possibilité qu’un homme de taille 1.81 m soit très grand, il est vraisemblable qu’il l’est.
    • A mené au paradigme de la théorie des possibilités.
  • 1937 : Max Black
    • Un continuum de valeurs logiques implique des degrés sémantiques.
    • Une chaise ressemble à une autre chaise moins parfaite, qui ressemble à une chaise encore moins parfaite, qui … ressemble à un tronc d’arbre.
    • On peut donc définir un “degré de chaiseté”.
  • 1965 : Lotfi Zadeh publie fuzzy sets où Il étend la théorie des possibilités à un système logique formel dans lequel sont utilisés des termes tirés du langage naturel. La manière de traiter les termes est appelée fuzzy logic.
flou mais logique
Flou mais logique !

Logique floue :

Ensemble de principes mathématiques pour la représentation et la manipulation des connaissances en se basant sur des degrés d’appartenance compris dans [0,1]

Lotfi Zadeh publie, en 1973 , un autre article qui montre comment capturer la connaissance humaine à l’aide de règles floues.

que vaut une affirmation floue
Que vaut une affirmation floue ?

« Il fait chaud aujourd’hui»

Chaud = ?

C’est une question d’appréciation :

T=50oC : Vous aimez les euphémismes !

T=40oC : un peu trop à mon goût !

T=30oC : oui

T=20oC : un peu

T=10oC : Ouin !

T= 0oC : Pour un Canadien, peut-être !

T=-10oC : Vous voulez rire !

On peut trancher en associant un degré de vérité à chaque valeur de T relativement à « chaud »

degr de v rit d une affirmation
Degré de vérité d’une affirmation

En logique binaire, une affirmation est vraie ou fausse ; son degré de vérité vaut 1 ou 0.

ValeurSignification

1 Absolument vrai

0 Absolument faux

En logique floue, une affirmation est plus ou moins vraie (donc, plus ou moins fausse); son degré de vérité varie entre 0 et 1.

Degré de véritéSignification

0.0 Absolument faux

0.2 Plutôt faux

0.4 Quelque peu faux

0.6 Quelque peu vrai

0.8 Plutôt vrai

1.0 Absolument vrai

exemple
Exemple

Température T Degré de vérité pour CHAUD : Chaud(T)

<-10oC 0.0

-5oC 0.1

0oC 0.2

5oC 0.3

10oC 0.4

15oC 0.5

20oC 0.6

25oC 0.7

30oC 0.8

35oC 0.9

>40oC 1.0

exemple continu
Exemple continué

On peut résumer le tableau par le tracé d’une fonction d’appartenance :

La fonction d’appartenance formalise la relation entre les valeurs précises (mesurées, calculées, etc.) d’une variable d’entrée/sortie et un label flou (dit aussi valeur symbolique ou linguistique ; e.g. CHAUD)

Une variable d’e/s peut être associée à plusieurs labels ; L’ensemble des labels définit alors les valeurs floues (linguistiques) de la variable.

Pour chaque label, la fonction d’appartenance représente le degré de vérité des valeurs précises d’une variable d’e/s par rapport au label.

l ments d un ensemble flou
Éléments d’un ensemble flou

Un système à logique floue comprend :

Des variables d’e/s,

Des labels qui représentent les valeurs floues de chaque variable,

Des fonctions qui définissent le degré d’appartenance des valeurs des variables aux labels.

Une valeur mesurée peut appartenir à plusieurs labels, avec des degrés divers. Par exemple, pour T=6 oC et T=30 oC on a :

FROID(6) =.6, TIÈDE(6) =.05, CHAUD(6)=0

FROID(30)= 0, TIÈDE(30)=.3, CHAUD(30)=.8

slide11

Petit détour formel

Fonction d’appartenance

(FA)

Univers de

discours

Ensemble flou

    • A est tel que tout x en est membre à un degré entre 0 et 1
    • A est entièrement caractérisé par sa fonction d’appartenance
  • Concrètement, A est un attribut qualitatif (valeur floue ou linguistique) que l’on associe avec les valeurs précises d’une variable numérique x

Un ensemble flouA sur un univers de discoursX est un ensemble de paires ordonnées :

slide12

Petit détour formel II

  • Une variable floue (dite aussi linguistique) est un quintuplet

{ x, T(x), X, G, M } où

    • x est le nom de la variable : ex. âge
    • T(x) est l’ensemble de ses valeurs :

ex. T(âge) = {jeune, moins jeune, très jeune, ...}

    • X est l’univers de discours : ex. X = [0-100]
    • G est une règle syntaxique qui définit l’ensemble T(x)
    • M est une règle sémantique qui associe un ensemble flou avec chaque élément de T(x)

ex. : M(jeune), M(vieux)…)

slide13

Petit détour formel III

  • Une relation floue R est un ensemble flou défini sur le produit cartésien de deux univers de discours X et Y :
  • Permet d’exprimer une relation qualitative entre deux variables numériques :
    • x est près de y (nombres)
    • x dépend de y (évènements)
    • x et y se ressemblent (personnes ou objets)
petit d tour formel le dernier
Petit détour formel (le dernier ! )

Répartition floue : distribution des ensembles flous sur l’univers de discours

Exemple : Répartition floue des valeurs linguistiques “jeune”, “ni jeune ni vieux”, et “vieux”:

op rations en logique floue
Opérations en logique floue

Le langage humain comprend aussi bien des affirmations simples (« Le taux de chômage est élévé ») que composées (« La crise économique est sévère et ET les différentes communautés en souffrent pareillement »)

Comment évaluer le degré de vérité d’une affirmation composée ?

AffirmationDegré de vérité

(fonction d’appartenance)

X (X)

Y (Y)

X ET Y min((X), (Y))

X OU Y max((X), (Y))

non-X 1- (X)

exemple s d op rations floues
Exemples d’opérations floues

X= « La température est élevée »

Y= « La couche de glace est faible »

r gles d inf rence floues
Règles d’inférence floues

Syntaxe identique à celle de la logique binaire :

SI<condition>ALORS<conséquence>

<condition> est une affirmation simple ou composée.

Ex. :Régulateur de température dont les variables sont :

temp = la température ambiante

vac = vitesse de rotation d’un ventilateur d’air chaud

vaf = vitesse de rotation d’un ventilateur d’air frais

Les règles d’inférence peuvent être :

Si temp est haute alors vac est nulle

Si temp est haute alors vaf est grande

Si temp est basse alors vac est grande

Si temp est basse alors vaf est nulle

propri t s des r gles floues
Propriétés des règles floues

L’évaluation des règles se fait sur les valeurs des ()et non sur les valeurs des variables d’e/s.

Lorsqu’on a des conditions composées, on peut regrouper les règles dans une table, la matrice cognitive floue (« Fuzzy Cognitive Matrix » ou FCM).

La variable conditionnelle sert à prendre une décision (commander un actueur, tirer une conclusion, classer une entrée, etc.) et les variables indépendantes sont tirées de valeurs mesurées (valeurs de () correspondantes).

tapes de conception d un syst me d inf rence commande logique floue
Étapes de conception d’un système d’inférence/commande à logique floue

Identifier les variables significatives d’entrée et de sortie

Définir les valeurs linguistiques de chacune

Pour chaque variable d’entrée, définir une fonction d’appartenance pour chacune de ses valeurs linguistiques

Concevoir une collection de règles floues « si-alors » permettant d’évaluer les valeurs linguistiques des variables de sortie

Choisir une méthode de conversion des valeurs linguistiques de sortie obtenues en valeurs précises.

exemple d application syst me de commande d un pendule invers
Exemple d’application : Système de commande d’un pendule inversé

Il s’agit de déplacer le chariot de manière à maintenir le pendule à la verticale (θ=0). L’approche classique n’est pas évidente !

La solution exacte :

Résoudre le système d’équadiffs couplées – Good luck !

La solution floue :

Pousser le chariot à gauche ou à droite en sens inverse du signe de q, « proportionnellement »

1 choix des variables d e s
1. Choix des variables d=e/s

Tension de commande du moteur

v

Système de

Chariot

commande

  • Donc, deux variables d’entrée, θ et ω, et une variable de sortie v ; les variables floues correspondantes portent les mêmes noms.
2 choix des valeurs linguistiques
2 Choix des valeurs linguistiques

Il s’agit de regrouper des règles de la forme « Si θ est X1 et ω est X2, alors v est Y » en une matrice cognitive floue.

Exemple de définition des valeurs X1 ,X2 et Y :

NomSignification

TN Très négatif

MN Moyennement négatif

PN Peu négatif

PP Peu Positif

MP Moyennement positif

TP Très positif

4 choix des fonctions d appartenance
4. Choix des fonctions d’appartenance

En général, on choisit des fonctions d’appartenance de forme triangulaire ou trapézoïdale. Cela simplifie les calculs.

3 d finition des r gles d inf rence
3. définition des règles d’inférence

On pourrait alors définir la matrice cognitive suivante :

Les intersections des valeurs linguistiques de θ et de ω définissent les valeurs linguistiques de sortie correspondantes (en termes de )

Pour chaque valeur linguistiques de sortie, on retient le max correspondant

5 d termination des valeurs de sortie pr cises correspondant
5. Détermination des valeurs de sortie précises correspondant à 

On détermine le degré de vérité de chaque valeur linguistique de sortie possible; on prend ensuite la valeur pondérée des résultats (inférence de Sugeno).

Pour chaque valeur mesurée de θ et de ω :

On détermine ses degrés d’appartenance à TN, MN, PN, PP, MP et TP

On applique les règles d’inférence floues aux résultats afin d’obtenir les degrés d’appartenance correspondants pour les différentes valeurs linguistiques de v (on prend maxpour chacune)

On calcule la moyenne pondérée des résultats

exemple de valeur d flou fi e
Exemple de valeur « déflouïfiée »

Ex. Deux valeurs mesurées de θ et de ω donnent :

Valeur de sortie (max)

TN 0

MN 0

PN 0.5

PP 1

MP 1

TP 0.5

On obtient par la méthode du centre de gravité (en supposant que chaque valeur en abscisse correspond à une valeur précise) :

  • v = [(0x0)+(0x64)+(0.5X112)+(1X132)+(1X196)+(0.5X255)]/6 = 164
logique floue et probabilit
Logique Floue et Probabilité

Les bouteilles d’eau de Bezdek

P={liquides potables}

=0.91 signifie que la bouteille contient vraisemblablement de l’eau, et cela même après avoir ouvert la bouteille.

p=0.91 signifie dit que la bouteille contient de l’eau dans 91% des cas ; on peut trouver un liquide totalement différent en ouvrant la bouteille.

 est le même a priori et a posteriori ; P vaut 0 ou 1 à l’observation

r partition floue
Répartition floue
  • La répartition des valeurs linguistiques peut ne pas être homogène
composition max min
Composition Max-Min
  • La composition max-min de deux relations floues R1(sur X et Y) et R2 (sur Y et Z) est définie par:

Propriétés :

  • Associativité :
  • Distributivité sur l’union :
  • Distributivité faible sur l’intersection:
  • Monotonie:
modificateurs linguistiques
Modificateurs Linguistiques
  • Concentration :
  • Dilatation :
  • Intensification de contraste:
  • Modifient le sens d’une valeur linguistique en jouant sur sa fonction d’appartenance
  • Trois types basiques :
modificateurs flous 1 2
Modificateurs flous 1/2
  • En général, jouent un rôle similaire à celui d’un adverbe dans la langue naturelle
r gle compositionnelle d inf rence floue
Règle compositionnelle d’inférence floue

y

y

b

b

y = f(x)

y = f(x)

a

a

x

x

aetb: intervalles

y = f(x) : une fonction d’intervalles de valeurs

aetb: points

y = f(x): une courbe

y = f(x)=> y = bsi x = a,