第五章 評價：貨幣的時間價值

1. 第五章　評價：貨幣的時間價值

2. 5.1　終值和複利 5.2　現值和折現 5.3　現值和終值：進一步探討

3. 5.1　終值和複利 終值（future value, FV）指的是，在某一利率水準下，今天投資的金額經過一段期間所能累積的價值。換言之，終值是今天的投資在未來某個時點的價值。把本金連同累積的利息繼續投資超過一期，就是利息再投資（reinvesting）。 複利（compounding）。複利就是利上加利（interest on interest）這部份的利息為複利利息（compound interest）。 單利利息（simple interest），利息就不再投資，每一期只賺得原本本金的利息。

4. 單期投資 假設你存 $100 到一個年息 10% 的儲蓄帳戶中。一年後你會有多少錢呢？等於原來的本金（principal）$100，加上所賺得 $10 的利息。 如果你在r利率下投資一期，$1 的投資將成長為 (1＋r)。

5. 多期投資 同前例，如果利率沒有變動，兩年後投資終值是多少呢？在第二年可以賺得 $110×0.10＝$11 的利息，總共會有 $110＋11＝$121。在 10% 利率下投資兩年後的終值。 這 $121 包括四部份。 (1) 原本的 $100 本金； (2) 第一年賺得的 $10 利息； (3) 第二年賺得的另一個 $10 利息； (4) $1 是第一年年底的利息在第二年所賺得的 $10×0.10＝$1 利息。

6. 範例 5.1　利上加利 假設你從事一個年利率 14% 的投資兩年。假如你投資了$325，兩年後的投資終值是多少？其中多少是單利利息？多少是複利利息？

7. 在第一年年底時，$325×(10.14)＝$370.50。 第二年年底 $370.5×1.14＝$422.37。 總利息是 $422.37－325＝$97.37。 本金每年賺得的利息為 $325×0.14＝$45.50， 兩年的單利利息和為 $91， 剩下的 $97.37－91＝$6.37，則是複利利息的部份。

8. 在每期利率為r之下，$1 投資t期後的終值為： 終值＝$1×(1＋r)t (1＋r) 通常稱為 $1 在r利率下投資t期的終值利率因子（future value interest factor），或簡稱終值因子（future value factor），可縮寫為FVIF（r, t）。 例子 $100 的五年後價值是多少呢？ (1) 算出攸關的終值因子為： (1＋r)t＝(1＋0.10)5＝1.15＝1.6105 (2) $100 將成長為： $100×1.6105＝$161.05

13. 範例 5.2　複利利息 你看中了一項報酬率 12% 的投資。由於這項投資的報酬率不賴，所以你投資了$400。三年後你可以拿到多少呢？七年後？七年結束後，你賺得了多少利息？其中多少是來自複利利息呢？ 12%的三年期終值因子： (1＋r)t＝1.123＝1.4049 $400 成長為： $400×1.4049＝$561.97

14. 七年後，你將擁有： $400×1.12＝$400×2.2107＝$884.27 在$884.27的終值中，其中 $400 為本金，$884.27－400＝$484.27 是利息。 在 12% 利率下，每年賺得 $400×0.12＝$48 的單利利息。 七年期間，單利利息共 7×$48＝$336。 其餘的部份 $484.27－336＝$148.27，則是來自複利利息。

15. 複成長 例如，你的公司目前有10,000個員工。你估計員工人數每年以3%成長，五年後將有多少員工呢？ 我們所思考的是成長率而不是利率，但是，兩者的計算卻是完全一樣： 10,000×(1.03)5＝10,000×1.1593＝11,593 個員工未來五年內將有 1,593 個新進員工。

16. 範例 5.4　股利成長 TICO 公司目前每股發放 $5 現金股利，你確信股利將以每年 4% 的成長率一直成長下去。八年後股利將是多少？ 終值＝$5×(1.04)8＝$5×1.3686＝$6.84 股利將成長 $1.84。

17. 5.2　現值和折現 單期現值 例子：「在 10% 年利率下，今天我們必須投資多少，才能在一年後拿到 $1？」終值是 $1，現值（present value, PV）是多少呢？

18. 範例 5.5　單期現值 　　假設你明年需要 $400 購買教科書，而你的投資可以賺得7%的報酬。那麼，今天你必須存多少錢？ 現值×1.07＝$400 現值＝$400×(1/1.07)＝$373.83 投資 $373.83 一年，就可以擁有終值 $400。

19. 多期現值 　　假設兩年後你得到需用 $1,000。如果你的投資可以賺得 7%，那麼，你必須投資多少錢才能確保你需用的 $1,000？ $1,000＝PV×1.07×1.07 　　　＝PV×1.072 　　　＝PV×1.1449 現值＝$1,000/1.1449＝$873.44

20. 範例 5.6　儲　蓄 你想要買一部新車。你有約 $50,000，但車價為 $68,500。如果，你可以賺到9%的報酬，今天你必須存多少錢，才能在兩年後買這部車呢？你有足夠的錢嗎？假設車子的價格維持不變。 PV＝$68,500/(1.09)2＝$68,500/1.1881＝$57,655.08 仍短缺 $7,655。

21. 在r折現率下，t 期後的 $1 之現值是： PV＝$1×[1/(1＋r)t]＝$1/(1＋r)t

22. 1/(1＋r)t被稱為折現因子（discount factor）。 討論現值時，以折現率（discount rate）稱呼它。 1/(1＋r)t又被稱為r利率下，t期的 $1 的現值利率因子（present value interest factor），並縮寫為 PVIF（r, t）。 計算未來現金流量的現值，以決定它（證券）在今天的價值之方法，通常稱為折現現金流量評價（discounted cash flow (DCF) valuation）。

23. 例如，假設三年後你需用$1,000，而你的投資每年可以賺到15%的報酬，今天你必須投資多少呢？例如，假設三年後你需用$1,000，而你的投資每年可以賺到15%的報酬，今天你必須投資多少呢？ (1) 折現因子計算如下 1/(1＋0.15)3＝1/1.5209＝0.6575 (2) 投資的金額是 $1,000×0.6575＝$657.50

26. 5.3　現值和終值：進一步探討 現值和終值 現值因子就是終值因子的倒數： 終值因子 (1＋r)t 現值因子 1/(1＋r)t 如果讓 FVt代表t期後的終值，那麼終值和現值間的關係就可以寫成： PV×(1＋r)t＝FVt PV＝FVt /(1＋r)t＝FVt ×[1/(1＋r)t] 稱為基本現值等式（basic present value equation）

27. 範例 5.8　投資評估 我們以下列簡單投資案例，說明現值和終值的應用：你的公司擬購買價值 $335 的資產。這項投資方案非常安全，三年後你可以把這項資產以 $400 賣掉。另外，你也可以將 $335 作其他投資，賺取 10% 報酬率且風險極低。你覺得公司擬進行的這項資產投資案如何呢？

28. 將 $335 作其他投資，若報酬率為10%，三年後就可以 得到： $335×(1＋r)t＝$335×(1.1)3 ＝$335×1.331 ＝$445.89 提案中的投資卻只得到 $400，所以，這並不是項好投資。 (2) 在 10% 下，三年後 $400 的現值為： $400×[1/(1＋r)t]＝$400/(1.1)3＝$400/1.331＝$300.53

29. 折現率的求算 PV＝FVt/(1＋r)t 現值（PV）、終值（FV）、折現率（r）和投資期間（t）。

30. 範例 5.9　找出單期投資的折現率 你正在考慮某項一年期的投資。如果你投入 $1,250，將回收 $1,350，這項投資的報酬率是多少？ 這項投資，你多拿到了 $100，因此，隱含的報酬率是 $100/1,250＝8%。 基本現值等式來看， $1,250＝$1,350/(1＋r)1 (1＋r)＝$1,350/1,250＝1.08 r＝8%

31. 假設有一項投資必須投入 $100，八年後這項投資成長為 $200。這個投資隱含的折現率是多少？也就是該投資的報酬率（rate of return，或只稱 return）。 PV＝FVt/(1＋r)t $100＝$200/(1＋r)8

32. (1＋r)8＝$200/100＝2 r是 9% 1.使用財務計算機。 2.兩邊各開八次方根，解得(1＋r)。 3. 使用終值表。 在這個特例中，我們可以利用所謂的 72 法則（Rule of 72）。在合理的報酬率下，使你的錢變成兩倍大約需要 72/r% 的時間。

33. 範例 5.10　棒球收藏品投資 在 2008 年 4 月，Barry Bonds 所揮出個人大聯盟生涯的最後一顆全壘打球，以大約 $376,000　拍售，這樣的得標價格被認為是值得投資，因為買家不確定 Bonds 是否會再復出大聯盟。棒球「專業」收藏家認為這顆棒球收藏品的價值，於十年後會加倍。 根據 72 法則每年報酬率大約是 72/10＝7.2% 而已。

34. 藝術品收藏界一個經驗法則是「在五年內可以回收，十年內會加倍」1998年Alberto Giacometti的銅雕像作品 Homme Qui Marche Ⅲ 以 $2,972,500 賣出。五年之後這個雕像以 $4,039,500 賣出，這項投資的報酬如何呢？

35. 投資價值會在十年後加倍。根據 72 法則每年會有 7.2% 的報酬率。這個雕像在五年期間轉手一次，現值為 $2,972,500，終值為 $4,039,500，求解折現率r如下： $2,972,500＝$4,039,500/(1＋r)5 (1＋r)5＝1.3590 r將近6.33%，低於 7.2%。

36. 範例 5.11　為上大學儲蓄 你預估八年後你的孩子上大學時，將需要大約 $80,000 的目標金額。現在你有 $35,000。你的投資報酬率是每年 20%，你可以達到目標嗎？在報酬率多少之下你剛好可以達到目標？

37. 假設年報酬率 20%，$35,000 在八年後的終值是： FV＝$35,000×(1.20)8＝$35,000×4.2998＝$150,493.59 最低限度的報酬率r： FV＝$35,000×(1＋r)8＝$80,000 (1＋r)8＝80,000/35,000＝2.2857 報酬率大約是 11%

38. 範例 5.1218,262.5 天後退休 你想要在 50 年後以一個百萬富翁退休。假如你今天擁有$10,000，要達到百萬富翁的目標，你的報酬率必須是多少？ 終值是 $1,000,000，現值是 $10,000，離退休還有 50 年，我們必須算折現率r： $10,000＝$1,000,000/(1＋r)50 (1＋r)50＝100 大約是 9.65%。

39. 計算投資期數 　　假設我們有意購買價值 $50,000 的某項資產。目前，我們有 $25,000 現金，如果這 $25,000 可以賺得 12% 的報酬，多久才能累積到 $50,000 呢？ 根據 72 法則，這將需要 72/12＝6 年的時間。 基本現值等式為： $25,000＝$50,000/(1.12)t $50,000/25,000＝(1.12)t＝2 查表 12% 所對應的那一欄，你將看到終值因子 1.9738 對應的期數為 6，所以，大約是 6 年。

40. 範例 5.13　計畫買下 Godot 公司 你正存錢準備買下 Godot 公司。該公司價值將為 1,000 萬美元，目前，你有 230 萬美元，如果賺得 5% 報酬，必須等多少年？在 16% 報酬率下，必須等多久？ (1) 在 5% 下 230 萬美元＝1,000 萬美元/(1.05)t 1.05t＝4.35 t＝30 年 (2) 在 16% 下，大約需要等 10 年。

41. 策略試算表 你可以求解終值、現值、折現率、期間四個未知數中的任何一個，在試算表中它們皆有個別獨立的公式可應用，在 Excel 中，這些公式應用如下：