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Inégalités valides. ENSIIE-Master MPRO Alain Faye. Introduction. On considère le problème en nombres entiers Min {cx : Ax b, xZ n }. L’ensemble des solutions admissibles est: X={x : Ax b, xZ n }. Objectif: obtenir un polyèdre P (sans contraintes d’intégrité)

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Presentation Transcript
in galit s valides

Inégalités valides

ENSIIE-Master MPRO

Alain Faye

slide2

Introduction

On considère le problème en nombres entiers

Min {cx : Axb, xZn}

L’ensemble des solutions admissibles est:

X={x : Axb, xZn}

Objectif: obtenir un polyèdre P (sans contraintes d’intégrité)

pour décrire ConvX l’enveloppe convexe de X ou

pour avoir au moins une bonne approximation de ConvX

Si on obtient ConvX=P le problème en nombres entiers se ramène au

programme linéaire (sans contraintes d’intégrité):

Min cx s.c. xP

Cas particulier: x vecteur de coordonnées 0 ou 1 .

L’ensemble des vecteurs booléens sera noté Bn={0,1}n

slide3

Sommaire

  • Notions préliminaires
  • Convexe, enveloppe convexe
  • Polyèdre
  • Inégalités valides en nombres entiers
  • Coupes de Chvatal
  • Modulo arithmétique
  • Coupes de Gomory
  • Contraintes disjonctives
  • Inégalités valides en variables mixtes
  • Inégalité de base
  • Inégalité MIR
slide5

Ensemble convexe

CRn , est convexe si: x,yC et 0  1(1-)x+y C

le segment [x,y] est l'ensemble des points z de la forme :

z=(1-)x+  y avec 01

z est combinaison convexe de x et y

x

y

pas convexe

une partie du segment [x,y]

n ’est pas dans C

convexe

slide6

Enveloppe Convexe

Déf: étant donné MRn , ConvM , l'enveloppe convexe de M, est

le plus petit convexe contenant M c'est-à-dire

l'intersection de tous les convexes contenant M.

ConvM = vert+blanc

M

slide7

Polyèdre

Un polyèdre est l’ensemble des solutions d’un système d’inégalités linéaires

de la forme Axb : P= {x :Ax b }

Un polyèdre est convexe car c’est l’intersection des convexes

que sont les demi-espaces défini par chaque inégalité

Un point extrême de P est un point de P qui ne peut pas s’exprimer

comme combinaison convexe de 2 points distincts de P.

L’optimum d’une forme linéaire sur P (s ’il existe) est atteint en

un point extrême de P

Exemple:

x1+x22

2x1+x23

x10, x20

Les points x=(0,0), x=(0,2), x=(0,3/2) x=(1,1) sont les points extrêmes de P

slide9

Inégalité valide

Définition: l’inégalité x 0 est valide pour X si x 0 xX

Exercice:

Soit X={xB5: 3x1-4x2+2x3-3x4+x5-2}

Par des raisonnements « booléens » montrer que x2+x41 et x1x2

sont valides pour X

slide10

Soit P ={x : x0, Axb}

Une combinaison linéaire positive des contraintes est valide pour P:

Soit u0, alors uAxub xP

C’est à peu près la seule façon de faire pour obtenir des inégalités valides pour P car

la proposition suivante nous dit que toute inégalité valide pour P est « dominée »

par une inégalité valide obtenue par combinaison positive des contraintes de P

Proposition

Si x0 est une inégalité valide pour P={x : x0, Axb}

alors u0 t.q. uA et  ub0

Démonstration: x0 valide pour P signifie que max{ x : xP} 0

Par dualité min{ub : uA , u0} 0. La solution u* du dual convient.

slide11

Partie fractionnaire d’un nombre

Notation: a=plus petit entier inférieur ou égal à a

Exemples:

5,4=5

-5,4=-6

Partie fractionnaire: f=a-a

Exemples:

Partie fractionnaire de 5,4 est 0,4

Partie fractionnaire de -5,4 est f=-5,4-(-6)=0,6

slide12

Coupes de Chvatal

  • Soit axb une inégalité avec x entier0
  • relaxation
  • jajxjb est valide car x0
  • arrondi
  • jajxjb est valide car x entier

Note: pour obtenir l’inégalité de départ , on peut toujours faire une combinaison

linéaire positive des contraintes Ax  b décrivant X={xZn+ : Axb}

Exercice:

Retrouver les 2 précédentes inégalités valides de X={xB5: 3x1-4x2+2x3-3x4+x5-2}

en utilisant les coupes de Chvatal à partir de 0xj1 et 3x1-4x2+2x3-3x4+x5-2.

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Modulo arithmétique

  • Soit ax=b une égalité avec x entier0
  • On se donne un entier d>0
  • On calcule les divisions entières par d:
  • aj=kjd+rj avec 0rj<d et kj entier
  • b=kd+r avec 0r<d et k entier
  • On réécrit ax=b :
  • ajxj=b rjxj=r+ d(k-kjxj)
  • k‘=k-kjxj est entier car x entier.
  • Si k‘-1 alors r+dk‘<0 car r<d.
  • Or rjxj0 car x0.
  • Ce qui implique k'0. Donc dk'0
  • Et finalement rjxjr
slide14

Exercice

37x1-68x2+78x3+x4=141 avec xZ4+

Pour d=12, calculer l’inégalité modulo arithmétique

  • Pour d=1,
  • l’inégalité modulo arithmétique est la coupe de Gomory
  • fjxjf
  • Où fj est la partie fractionnaire de aj et f la partie fractionnaire de b
  • k'0 est la coupe de Chvatal
  • jajxjb
  • Exercice
  • -1/2x1+7/4x2+7/3x3+x4=21/4 avec x1, x2, x3, x4 entiers0
  • Calculer la coupe de Gomory et la coupe de Chvatal
slide15

Les coupes de Gomory peuvent être vues comme des coupes de Chvatal

Exercice:

-x1+2x24 (1)

5x1+x220 (2)

-2x1-2x2-7 (3)

x1,x2 entiers0

On rajoute les variables d’écart x3, x4, x5

On dresse le tableau simplexe dans la base x1, x2, x5 et pour la ligne 1 on obtient

  • x1-1/11x3+2/11x4=36/11 avec x1, x3, x4 entiers0
  • Calculer la coupe de Gomory et l’exprimer en fonction des variables originales x1, x2
  • Faire la combinaison positive des 3 contraintes avec u=(10/11, 2/11, 0) puis faire la coupe de Chvatal.
  • Représenter graphiquement la coupe.
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Contrainte disjonctive

Contrainte valide sur l’union de deux parties de Rn+

Soit a1xb1 valide pour S1Rn+

Soit a2x b2 valide pour S2Rn+

Alors on a: min(a1x,a2x)≤max(b1,b2) xS1S2

Et jmin(a1jxj,a2jxj)≤min(ja1jxj,ja2jxj)

Et min(a1j,a2j)xj=min(a1jxj,a2jxj) car xj≥0

Finalement: jmin(a1j,a2j)xjmax(b1,b2) est valide pour S1S2 car xj0

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Contrainte disjonctive

  • Application :
  • (A) x0=a0-j=1,najxj avec x0 entier et xj 0 j=1 à n
  • 2 cas:
  • x0a0
  • On élimine x0 dans (A) et on obtient aj/(a0-a0)xj1
  • x0a0+1
  • On élimine x0 dans (A) et on obtient aj/(a0-a0-1)xj1
  • On applique le résultat précédent (xj0 ) on obtient l’inégalité valide : bjxj1
  • Avec bj=max{aj/(a0-a0), aj/(a0-a0-1)}

Exercice: x0=15/4-1/2x1+7/4x2-11/4x3 avec x0 entier , x1, x2, x30

Calculer l’ inégalité valide correspondante

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Disjonction de polyèdre

Soit P=P1P2

Avec P1={x : A1xb1} et P2={x : A2xb2}

Soit u10, u20 et , 0 t.q.

=u1A1, u1b10 (1)

=u2A2, u2b20 (2)

Alors x0 est valide pour P.

On a la réciproque.

Proposition

Si x0 est valide pour P, alors il existe u10, u20 t.q. (1) et (2)

slide19

Exercice:

  • Soit P défini par:
  • x1+x22
  • -2x1+x21/2
  • On veut construire une inégalité valide pour la disjonction de P suivante
  • (P{x: x10})(P {x: x11})
  • On note P1= P{x: x10} et P2= P {x: x11})
  • Soit (A) l’inégalité -1/2x1+x21/2
  • Par combinaison positive des contraintes de P1, montrer que (A) est valide pour P1
  • Même question pour P2
  • En déduire que (A) est valide pour P1P2
  • Soit x*=(1/2, 3/2) le point extrême de P . Vérifier que x* ne satisfait pas (A)
  • Etant donné un point x* quelconque de P, donner le programme mathématique qui
  • cherche une inégalité valide pour P1P2 et violée par x*
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Est-il possible d’atteindre toutes les inégalités valides ?

X=PBn et PRn+ polyèdre borné P[0,1]n

  • Procédure des coupes de Chvatal
  • On pose Pt=P, t=0
  • Soit une inégalité valide pour Pt : axb
  • On exerce une coupe de Chvatal sur cette inégalité : ax b
  • On rajoute l’inégalité obtenue à Pt : Pt+1=Pt{x: ax b}
  • On pose t= t+1 et on retourne à 2.

Théorème: Si x0 est une inégalité valide pour X avec , 0 entiers

alors elle s’obtient en un nombre fini d’itérations de la procédure de Chvatal .

Ce résultat est soumis au bon choix de l’inégalité valide à chaque itération.

La démonstration du théorème est constructive et elle donne l’inégalité valide

à couper.

Le résultat s’étend au cas entier général X=P Zn et avec P polyèdre non borné.

slide23

Exercice 1

  • Soit X l’ensemble des vecteurs d’incidence (indexés par les arêtes) des couplages d’un graphe G=(V,E).
  • En considérant les arêtes incidentes à chaque sommet, donner V inégalités (une par sommet) valides pour X.
  • A partir de ces inégalités, montrer à l’aide des coupes de Chvatal que
  • si T est un ensemble de sommets de cardinal 2k+1 alors :
  • eE(T)xe k est valide pour X
  • Où E(T) désigne l’ensemble des arêtes de G ayant leur deux extrémités dans T
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Exercice 2

  • Soit X ensemble des vecteurs d’incidence (indexés par les sommets) des stables d’un graphe G=(V,E).
  • Par raisonnement « booléen »,
  • Montrer que si (i,j)E alors xi+xj 1 est valide pour X.
  • Montrer que si i, j, k sont les sommets d’un triangle alors xi+xj+xk 1 est valide pour X
  • Montrer que si C est une clique d’au moins 3 sommets alors isommets de Cxi 1 est valide pour X
  • Soit un cycle C de G. Montrer que si le nombre de sommets du cycle C est impair 2k+1 alors isommets de Cxi k est valide pour X.
  • Soient les inégalités xi0 i  V et xi+xj 1 (i,j)E valides pour X.
  • Retrouver en appliquant des coupes de Chvatal à partir de xi0 i  V et xi+xj1 (i,j)E, la validité des inégalités sur le triangle, la clique, le cycle impair.
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Inégalité mixte : inégalité mêlant variables entières et continues

Inégalité de base

Soit X={(x,y)R+Z : yb+x}

yb+x(1-f) est valide pour X

Avec f=b-b partie fractionnaire de b

Exercices:

Soit y2,5+x avec yZ et x0

Calculer l’inégalité valide correspondante.

Faire une représentation graphique de la coupe.

Démontrer l’inégalité de base à partir de la contrainte disjonctive vue

précédemment (cf contrainte disjonctive application)

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Inégalité MIR (mixed integer rounding)

Notation: a+=max(0,a) . Par exemple: 5+=5, (-5)+=0

Soit X={(x,y)R+Zn+: jajyjb+x}

Alors

j(aj+(fj-f)+ (1-f))yjb+x (1-f) (MIR)

est valide pour X

Avec fj=aj-aj, f=b-b parties fractionnaires de aj, b

Exercice:

Soit 10/3y1+y2+11/4y321/2+x avec yjZ+ et x0

Calculer l’inégalité MIR

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Comparaison avec les coupes de Chvatal

Soit X={yZn+: jajyjb}

Coupe de Chvatal : j(ajyjb

Inégalité MIR : j(aj+(fj-f)+ (1-f))yjb

L’inégalité MIR « domine » la coupe de Chvatal car les coefficients du membre

gauche sont supérieurs ou égaux à ceux de la coupe de Chvatal et yj0:

aj+(fj-f)+ (1-f)  aj

L’inconvénient est que les coefficients sont fractionnaires

Exercice:

Soit 10/4y1-6,5y2+8/3y3+y413/3 avec yjZ+

Comparer les deux coupes

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Exercice 2: extension de l’inégalité de base

Soit X={(x+,x ,y)R+R+Z : y+xb+x+, x≤c} avec c entier≥0

Montrer en utilisant l’inégalité de base que:

y+(x-cf)/(1-f)b+x+(1-f) est valide pour X

Avec f=b-b partie fractionnaire de b

Noter que x-cf n’est pas forcément négatif

Soit y+x2,5 avec yZ et 0≤x≤3

Calculer l’inégalité valide correspondante.

Faire une représentation graphique de la coupe.

slide31

Bibliographie :

Nemhauser G.L., Wolsey L.A. (1988) Integer and Combinatorial Optimization.

John Wiley & Sons, New York

Wolsey, L. A. (1998) Integer Programming, John Wiley & Sons, New York