微分方程模型

微分方程模型 1 微分方程解题步骤 2 传染病模型 3药物在体内的分布与排除 4 鱼雷击舰问题

描述对象特征随时间(空间)的演变过程 动态模型 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程

一、微分方程模型建模步骤 1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如 “速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等． 2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令 △t →0，即得到的表达式．

3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位． 4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。

建立微分方程的其他方法 1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程． 2、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。

模型一、传染病模型 • 描述传染病的传播过程问题 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型

必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 模型1 已感染人数 (病人) i(t) • 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为 假设建模 ? 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加

1）总人数N不变，病人和健康人的 比例分别为模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 SI 模型 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病  ~ 日接触率建模

Logistic 模型 i 1 1/2 i0 0 tm t 模型2 t=tm, di/dt 最大 ? tm~传染病高潮到来时刻病人可以治愈！  (日接触率)  tm

传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染模型3 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为  ~日治愈率增加假设建模  ~ 日接触率 1/ ~感染期  ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

di/dt i i i0  >1  1  >1 i0 di/dt < 0 1-1/ i0 0 1 i t 0 t 0 1-1/ 模型3 接触数 =1 ~ 阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例

1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为需建立的两个方程传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者模型4 SIR模型假设 2）病人的日接触率, 日治愈率, 接触数  =  /  建模

无法求出 的解析解在相平面上研究解的性质模型4 SIR模型

消去dt 相轨线相轨线的定义域 i 1 在D内作相轨线的图形，进行分析 D s 0 1 SIR模型模型4

i 1 相轨线及其分析 D P4 P1 P2 im P3 s0 s S0 0 1 传染病蔓延传染病不蔓延模型4 SIR模型 s(t)单调减相轨线的方向 P1: s0>1/  i(t)先升后降至0 1/~阈值 P2: s0<1/ i(t)单调降至0

降低 (=/)  ,   群体免疫模型4 预防传染病蔓延的手段 SIR模型传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/  (日接触率)  卫生水平 (日治愈率)  医疗水平 • 降低 s0 提高 r0  的估计

记被传染人数比例 i0 0, s0 1 i x<<s0  P1 0 模型4 被传染人数的估计 SIR模型 s0 - 1/ =  提高阈值1/降低被传染人数比例 x  小, s0  1

模型二、药物在体内的分布与排除 • 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)

中心室 周边室给药排除 • 中心室(1)和周边室(2),容积不变模型假设 • 药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外 • 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比模型建立

模型建立 线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解

给药速率 f0(t) 和初始条件几种常见的给药方式 1.快速静脉注射 t=0瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1

£ £ 药物以速率k0进入中心室 0 t T 2.恒速静脉滴注 t >T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零

吸收室 中心室 3.口服或肌肉注射相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)

由较大的用最小二乘法定A, 由较小的用最小二乘法定B, 各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2 参数估计 t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)

进入中心室的药物全部排除 参数估计

模型三、鱼雷击舰问题 • 问题: • 如图所示,一敌舰在某海域内沿正北方向航行时,我方战舰恰位于敌舰正西方1海里处,我舰向敌舰发射制导鱼雷,敌舰速度为0.42海里/分钟,鱼雷速度为敌舰速度的2倍,鱼雷的运行方向始终指向敌舰,试问敌舰航行多远时将被击中?

模型假设 • 假设敌舰速度为v0;t时刻敌舰的位置为(1, v0 t) • 假设鱼雷速度为v,且鱼雷的运行方向始终指向敌舰 • t时刻鱼雷的位置为(x,y)；建模目的建立x,y和敌舰速度v0、 t、鱼雷速度v之间的关系（设v,v0为已知参数）

1.建立微分方程模型

模型求解 • 回答提出的问题:当x=1时,y=2/3,时间t=y/v0 =1.59分=95.24秒时追上鱼雷.

2.建立计算机模拟模型 • 鱼雷的初始位置(0,0); • tk时刻鱼雷的位置为(xk , yk),运动方向的方向角a; • tk时刻敌舰的位置为(1, v0 tk),初始位置(1,0)

72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 第 k 秒 X y 第 k 秒 X y 0.8994 0.3670 0.9150 0.3903 0.9294 0.4143 0.9426 0.4390 0.9546 0.4643 0.9653 0.4902 0.9747 0.5166 0.9826 0.5434 0.9891 0.5707 0.9942 0.5982 0.9977 0.6260 0.9997 0.6539 0.0280 0.0004 0.0560 0.0012 0.0840 0.0024 0.1119 0.0040 0.1398 0.0061 0.1677 0.0086 0.1956 0.0116 0.2233 0.0151 0.2511 0.0190 0.2787 0.0235 0.3063 0.0285 0.3337 0.0340 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 计算机模拟方法鱼雷坐标如下:

72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 第 k 秒 X y 第 k 秒 X y 1 0.5040 1 0.5180 1 0.5320 1 0.5460 1 0.5600 1 0.5740 1 0.5880 1 0.6020 1 0.6160 1 0.6300 1 0.6440 1 0.6580 1 0.0140 1 0.0280 1 0.0420 1 0.0560 1 0.0700 1 0.0840 1 0.0980 1 0.1120 1 0.1260 1 0.1400 1 0.1540 1 0.1680 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 计算机模拟方法敌舰坐标如下:

类似问题 • 问题: • 作业：如图所示,一条猎犬发现它的正西方1里处有一只野兔正朝北边1里处的兔巢逃奔,猎犬随即朝兔子奔走方向追赶.已知兔子奔跑速度为0.42里/分钟,猎犬速度为兔子速度的2倍,试问猎犬能否在野兔逃回兔巢前追上野兔?

微 分 方 程 模 型