slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE PowerPoint Presentation
Download Presentation
WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 15

WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE - PowerPoint PPT Presentation


  • 150 Views
  • Uploaded on

Biomechanika przepływów. WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE. WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne. Właściwości materiałów opisywane są za pomocą Równań Konstytutywnych. Ogólnie rzecz ujmując podają one relacje pomiędzy tensorem naprężeń a tensorem odkształceń w danym ciele.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE' - ojal


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Biomechanikaprzepływów

WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE

slide2

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

Właściwości materiałów opisywane są za pomocą Równań Konstytutywnych

Ogólnie rzecz ujmując podają one relacje pomiędzy tensorem naprężeń a

tensorem odkształceń w danym ciele.

W przyrodzie występuje ogromna liczba materiałów , których właściwości opisywane są

równie ogromną liczbą równań konstytutywnych.

Okazuje się jednak że trzy wyidealizowane relacje naprężenia – odkształcenia tj.:

Lepki płyn Newtonowski

Płyn nielepki

Elastyczne ciało Hooka

w bardzo dobry sposób opisują mechaniczne właściwości wielu materiałów.

Niestety materiały biologiczne nie mogą być opisywane za pomocą tych relacji…

Równania konstytutywne opisują fizyczne własności materiałów, z tego powodu muszą być

niezależne od wyboru układu odniesienia. Równania konstytutywne muszą być więc

równaniami tensorowymi: każdy element równania musi być tensorem

slide3

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

PŁYN NIELEPKI

Dla płynu nielepkiego tensor naprężeń przybiera postać:

skalar zwany ciśnieniem

delta Kroneckera

Ciśnienie p jest dla gazu idealnego związane z gęstością i temperaturą przez równanie

stanu:

Dla gazów rzeczywistych równanie

to jest bardziej skomplikowane

ale osiągalne:

stała gazowa

slide4

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

przypomnijmy że równanie ruchu dla ośrodka ciągłego :

równanie ruchu Eulera

jeżeli podstawimy wyrażenie na naprężenia korzystając z równania konstytutywnego:

slide5

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

PŁYN LEPKI NEWTONOWSKI

Płyn Newtonowski lepki to taki dla którego naprężenia ścinające są liniowo proporcjonalne do

szybkości odkształcenia.

Równanie konstytutywne przybiera postać:

tensor naprężenia

ciśnienie statyczne

tensor szybkości odkształcenia

tensor współczynników

lepkości płynu

slide6

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

dla płynów Newtonowskich zakładamy, że elementy tensora mogą zależeć od

temperatury ale nie mogą zależeć od naprężeń i od szybkości deformacji .

Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Nie wszystkie elementy

są niezależne.

Jeżeli założymy, że tensor Dijkl jest izotropowy to może być przedstawiony jako suma dwóch

niezależnych stałych λ i μ :

slide7

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

Podstawiając to wyrażenie do równania na tensor naprężeń otrzymujemy:

jest to izotropowe równanie konstytutywne materiał który je spełnia musi być materiałem

izotropowym

Dla izotropowego płynu Newtonowskiego równanie to można uprościć:

slide8

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

Jeżeli założymy że średnie naprężenia normalne 1/3 σkksą niezależne od szybkości deformacji

Vkk to musimy przyjąć iż:

i równanie konstytutywne przybiera postać:

równanie to wyprowadził George G. Stokes

płyny je spełniające noszą nazwę płynów Stokesa

slide9

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

Jeżeli płyn jest nieściśliwy to Vkk = 0 i otrzymujemy równanie konstytutywne dla nieściśliwych

płynów lepkich:

a przy zerowej lepkości otrzymujemy:

po podstawieniu do równania Eulera i odpowiednich przekształceniach otrzymamy

równanie N-S

slide10

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

w równaniach tych występuje jedna stała fizyczna opisująca cechy materiału – współczynnik

lepkości μ

Newton zaproponował następującą relację

naprężenie styczne

Jednostką lepkości w systemie SI jest [N*s/ m2]

slide11

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

Ciało elastyczne Hooka

Jest to ciało spełniające prawo Hooka które głosi iż tensor naprężeń jest liniowo

proporcjonalny do tensora odkształcenia:

tensor naprężenia

tensor odkształcenia

jeżeli przemieszczenie jest nieskończenie

małe to:

tensor stałych sprężystych

lub modułów materiału

jeżeli jest skończone to eijjest tensorem

przemieszczeń Almansiego

slide12

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Dla ciał sprężyście izotropowych liczba niezależnych elementów tensora C redukuje się do 2

a więc uogólnione prawo Hooka można zapisać w postaci:

stałe λ i G są zwane stałymi Lamego

slide13

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

Dla kartezjańskiego układu współrzędnych równanie można rozpisać w postaci:

albo w formie odwrotnej:

slide14

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

w równaniach tych pojawiają się stałe E, ν . Stała E nosi nazwę modułu Younga natomiast

stała ν nosi nazwę liczby Poissona. (Liczby te charakteryzują właściwości materiałów)

slide15

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne

Należy pamiętać że Lepki płyn Newtonowski, Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hookasą

tylko wyidealizowanymi modelami i żaden materiał nie zachowuje się w pełni zgodnie

z przedstawionymi relacjami. Oczywiście w pewnych zakresach temperatury, naprężeń i

odkształceń niektóre materiały spełniają te prawa.