数学方法的变革与经济学的革命

数学方法的变革与经济学的革命 江汉大学文理学院院长、教授甘德安 E—Mail:gandean@sina.com

目录 • 数量化使经济学成为一门科学 • 微积分与边际革命 • 最优化（拓扑方法）与边际革命的深化不确定性（概率统计）与凯恩斯革命 • 概率统计与计量经济学 • 矩阵方法与克莱茵革命和投入产出经济学 • 博弈论与经济学的新革命 • 非线性与混沌经济学

物理学家与经济学家的聚会： • 笛卡儿说：我苦思冥想，终于悟出了万物都是可以归结为数学的道理。我坚信，数学是至今为止人类智慧赋予我们的最有力的认识工具，它是万物之源。 • 首届诺贝尔经济学奖上，主席发言说：经济科学已日益朝着数学精确性以及对经济内容的定量分析方向发展。这种数学分析的技术如此成功，足以使那种模糊的、用文字表达的经济学相形见绌。 • 20世纪80年代以前是物理学推动数学的进步，而21世纪是经济学推动数学的进步。网上有一个笑话：物理学家与数学家聚会一堂，在交谈中，物理学家被经济学家的数学修养之高惊呆了，而经济学家被物理学家对近代数学的无知也惊呆了。

数学的本质、危机与边界 • 恩格斯认为： “纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。 • 罗素认为：即不知道研究的对不对，也不知道是什么的学问称为数学。 • 数学“是研究抽象结构的科学”。“数学是结构及其模型的科学”。 • 马克思认为：一门学科只有充分应用数学是才是一门真正的科学。 • Samuelson: 数学是语言，更精确，自洽，简要。 • 甘德安认为：数学不仅是一种语言、思维和公式，更是一种精神和文化。

数学的危机与数学的革命 • 第第一次危机：从有理数到无理数；第二次危机：从-语言的发明导致集合论和测度理论的产生；抽象代数、测度理论、泛函分析、实分析等学科产生。 -语言导致实数问题导致集合理论几何问题归结为解析几何问题归结为代数问题归结为实数问题归结为自然数问题归结为集合问题，导致数学与逻辑的革命。第三次危机：从第五公设到非欧几何学到拓扑学（点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑）的产生。

数学[Mathematics]是一个复数 从静止到运动从确定到或然概率与数理统计数学分析数学分析边际革命从有限到无限微分和差分凯恩斯革命计量经济学集合论动态经济学投入产出经济学线性规划从一元到多元线性代数克莱因革命矩阵分析从单边到多边经济学新革命博弈论混沌经济学从有序到无序

从确定性看数学对经济学的影响 数论集合理论数抽象代数代数线性代数数与形边际革命新古典经济学（高级微观）解析几何数学分析拓扑分析边际革命的深化黎曼几何罗氏几何非欧几何形欧氏几何

一、数量化、公理化使经济学成为一门科学 • 数学的基本作用 • 理论(theoretical)研究中数学方法的作用 • 前提假定 • 逻辑推理 • 应用已有定理 • 实证(empirical)研究中数学和统计方法的作用 • 计量模型 • 证据数量化 • 统计方法

数学能否引入经济学 • 计量经济学的创立：引入统计和模型 • 发展数理经济学：Paul Samuelson • 决定论模型（加速-乘子模型） • 股市随机运动模型（martingale）和期权模型、混沌模型 • Herbert Simon: 数学用得太多了 • 陈平：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，不了解非欧几何，混沌，小波，生灭过程）。

二、微积分与经济学的边际革命 • 西方经济学家把边际递减原理称为“边际革命”。实际上，边际革命的实质就是数学方法的变革，是从常量数学方法在经济学的应用变更为变量数学方法在经济学的应用，更具体地说就是微积分的应用。 • 杰文斯说：很显然，经济学如果是一种科学，它必须是一种数学。…所以我毫不犹豫地采用数学中适当的工具去研究无限小量。那就是用微分法来说明财富、效用、价值、供给、资本、利息、劳动等概念。

二、微积分与经济学的边际革命 • 杰文斯还说：我力图把经济学作为包含快乐和痛苦的一个微积分来看待…这样看待的经济理论表现得与静态力学及其相似，并且可以发现，交换规律类似于杠杆的平衡规律。 • 1865年克劳修斯关于熵的定义，申农关于信息的定义都是决定学科的奠基性工作。 • 效用是一个比信息更抽象的量，借助微积分的方法就导致经济学的边际革命。

M.Gessen法则 • 戈森说：“我相信，我在解释人类关系方面所做的，正如哥白尼在解释天体关系方面所做的事情。我相信，我已成功地发现了使人类得以生存并支配人类进步的力量，以及这种力量发生作用的法则的一般形式。哥白尼的发现使人类得以预测天体未来运行的轨迹。我的发现使我得以指出，人们为了实现人生目的所必定遵循的确定不移的路线。”

三、最优化（拓扑方法）边际革命的深化 • 经济学普遍运用现代微积分技术却是在希克斯的《价值与资本》一书中才得以实现的。他以严格的数学对序数效用论、无差异曲线等概念的阐述和完善，推动了英语国家的经济学数学化。 • 其后是萨谬尔森的《经济分析的基础》（1947）及其他论文。他把经济学在30年代以前用的自然语言和图式的分析改写成为定性的数学模型和推理方法，以有约束的最大化作为一般原则，对生产者行为、消费者行为、国际贸易、公共财政、收入分配等各个经济理论的领域，用数学上求极大、极小值的方式加以推导，并认定极大、极小值的实现就是均衡状态的确立。

进入50年代以后，数理经济学的基础由微分转变为集合论等新的数学工具。在这种转变中，影响最大的首推阿罗的《社会选择与个人价值》（1951）。该书的主题是社会选择理论的公理化，但在其研究过程中，运用集合论技巧，为一般均衡的研究提供了一个框架。此外，德布鲁的《价值论》（1959），对这一时期集合论在经济均衡理论中许多方面的应用作了高度总结，堪称“经典”。进入50年代以后，数理经济学的基础由微分转变为集合论等新的数学工具。在这种转变中，影响最大的首推阿罗的《社会选择与个人价值》（1951）。该书的主题是社会选择理论的公理化，但在其研究过程中，运用集合论技巧，为一般均衡的研究提供了一个框架。此外，德布鲁的《价值论》（1959），对这一时期集合论在经济均衡理论中许多方面的应用作了高度总结，堪称“经典”。

拓扑空间 度量空间欧氏空间集合论的基本概念和基本结论值域：逆象f-1(S) 闭集开集紧集定义域：凸集 D是开集， f-1(B)是开集完备性关系二元关系传递性紧集的象是紧集偏好关系连续函数 f f是凹函数 A是一个凸集拟凹函数 Brouwer fixed point Theorems S是紧切且凸，f 连续，则 f(x*)=x*

等价命题： f是凹的 f´(x)  0 f(x)  f(x0)+f(x0 )(x-x0) 若f是严格凹的严格不等式成立单变量函数凹性与一、二阶导数微积分与最优化多变量函数偏导数函数梯度f(x)=(f1(x),…,fn(x)) f11(x),…,f1n(x) f21(x),…,f2n(x) ……………. fn1(x),…,fnn(x) 海赛矩阵凸集、斜率与凹性的等价命题 D是凸的 H(x)是半负定的 f(x)  f(x0)+f(x0 )(x-x0) H(x)= 齐次函数 • 海赛矩阵对称性 • Young ´Theorem • 2f(x)/[ xi  xj ] = 2f(x) /[ xj xi] 欧拉定理 Kf(x)=   f(x)*xi /  xi

X*=f(x*1,x*2,…x*n) 是一个稳定点 [一阶条件] d2 x在x*为负定 [二阶充分条件] d2 x在x*为负定 [二阶必要条件] X*是一个相对极大值 f是凹的 f是严格凹的 X*是一个绝对极大值 d2 x在x*为半负定 d2 x处处为负定 X*是唯一的绝对极大值

X*处最大值 f´(x)=0 (FONC) f ´´(x)  0(SONC) 单变量无约束最优化一阶条件 X*处最大值 f(x*)=0(FONC) 多变量必要条件：X*处局部最大值 H(x)是半负定的。二阶条件最优化充分条件：f(X)是二次可微， 1、若fi(X * )=0,且（-1）nD(X *)>0,那么，f(x)在 X * 处局部极大。有约束最优化若f(X)是严格凹的，则fi(X * )>f(x),对于任意 Xx *.

Maxf(x1,x2) S.t g(x1,x2)=0 等式约束 x2 =g(x1) Lagrange方法转化成非约束问题有约束最优化 Maxf(x1, g(x1) ) 必要条件： F连续可微，若x ≥ 0，x最大化f，那么， x*满足 1）f(x*)/ xi  0 2） xi *[f´(x*)]=0 3） xi * ≥ 0。不等式约束 Maxf(x) ， x≥ 0 库恩-塔克条件

四、概率统计与凯恩斯革命从确定性方法到或然性方法的突破四、概率统计与凯恩斯革命从确定性方法到或然性方法的突破 • 1936年，凯恩斯发表了他的代表作：《就业、利息和货币的通论》。凯恩斯在刚撰写通论的时候就开始造舆论，并颇为自负地说，此书也许会对世界上关于经济问题的思考方法发生革命。 • 果然，该书一出，经济学家们公认经济学发生了如同“哥白尼在天文学上、达尔文在生物学上、爱因斯坦在物理学上”一样的一次革命。 • 凯恩斯革命首先是方法的革命。凯恩斯的方法是他理论的出发点和基础。他的方法表面是从个量分析法到总量分析法的变革，从个量变换到总量实际上是从确定性变换到或然性的方法。

凯恩斯首先是概率论的奠基者 • 边际革命时期的经济学家的经济理论具有高度的抽象性，他们虽然运用数学工具研究各种经济变量之间的函数关系，但一般是对这种函数关系进行质的分析，而没有进行量的分析。因此总的来说，边际革命时期的西方经济学家虽然相当广泛地在经济研究中采用数学方法，但其学说还是一个理论框架，而没有以具体的统计数据来充实。 • 布瓦索在《信息空间》的巨著中，根据普利高津的理论，算出了经济学与物理学换算的年龄。认为现在的经济学发展的水平，只相当于1860年的物理学。这种牛顿经济学，对信息时代来说，最根本的不方便之处，是难以处理“信息的不确定性”。

信息本质上是不确定性的。这种不确定性对应的物理学理念，是熵的概念。这就扯到普利高津物理学的核心概念上来了。布瓦索和普利高津一样，都认为熵反映的是信息的本质，应当用熵来度量信息。布瓦索干脆就把熵称为“平均信息量”。信息论权威申农也把信息量定义为熵(“申农信息熵”)，信息经济学家、诺贝尔奖获得者阿罗的信息定义也是从这里来的。信息本质上是不确定性的。这种不确定性对应的物理学理念，是熵的概念。这就扯到普利高津物理学的核心概念上来了。布瓦索和普利高津一样，都认为熵反映的是信息的本质，应当用熵来度量信息。布瓦索干脆就把熵称为“平均信息量”。信息论权威申农也把信息量定义为熵(“申农信息熵”)，信息经济学家、诺贝尔奖获得者阿罗的信息定义也是从这里来的。

布瓦索正好就是这种看法。他认为：“正统经济学未能在其范式核心内，容纳可信的信息理论的原因，是由于它早期在自然科学范围内选择理性作用模式的缘故”。这里有著名经济学家杰文斯《经济学原理》做旁证，其中明确写道：“价值概念对我们的科学而言就像是(物理学中)的能量对力学”。布瓦索正好就是这种看法。他认为：“正统经济学未能在其范式核心内，容纳可信的信息理论的原因，是由于它早期在自然科学范围内选择理性作用模式的缘故”。这里有著名经济学家杰文斯《经济学原理》做旁证，其中明确写道：“价值概念对我们的科学而言就像是(物理学中)的能量对力学”。 • 但问题是，物理学在1860年以后继续发展了，从牛顿力学主导的确定性科学，发展到普利高津耗散结构主导的不确定性科学。但是，经济学却永远地停在了牛顿时代的物理学水平上。用布瓦索的话说，叫“经济学，特别是新古典经济学，跟不上物理学的步伐”，“它不能吸收现代物理学的概念，继续和1860年的稻草人结合在一起，威胁着学科范式的核心”。

五、概率统计与计量经济学

估计单方程方法检验普通最小二乘法预测方法异方差计量经济学广义最小二乘法自相关多重共线性联立方程方法虚拟变量滞后变量估计方法识别方法两、三阶段最小二乘法国民经济模型应用有限信息方法及其他部门模型

六、从分析的方法到代数方法的突破 • 微积分方法应用与经济学，既是确定性方法应用与经济学，也是连续性方法应用于经济学。人们不能很好地处理非线性关系，必然要求从连续的方法走向离散的方法到代数的方法。在经济学中的应用，里昂惕夫创立投入——产出经济学和库普曼、康托罗维奇创立的经济规划正是从分析方法到代数方法的突破成果。 • 投入——产出经济学注重的是元素之间的线性关系，线性规划注重线性关系的目标函数的最大——最小值的问题。 • 1958年，多夫曼、萨缪尔逊和索罗的《线性规划与经济分析》，盖尔的《线性经济模型的应用》对一般均衡理论和经济增长理论贡献极大。

七、经济学的博弈革命？ • 1994年三位经济学家同时获得诺贝尔经济学奖、1996年又是在博弈论应用方面（税收激励机制、信息经济学）获得诺贝尔经济学奖。在整个经济学还没有一门学科即有5人获得诺贝尔经济学奖。实际上博弈论正在重构经济学基础。博弈论已经成为经济学的主流。 • 一个鸡蛋的家当： • 囚徒困境： • 一个台湾老总的感慨。

博弈论引入经济学之中 • 在经济学家中，最早清楚而全面地认识到必须考虑到经济行为者之决策的“互动”性质的是奥斯卡·摩根斯坦。在《经济论著》（1928）一书中，他开始考虑少数权势人物的行为能够影响均衡结果的情形。不过，对经济学开始产生深远影响的，却是他与冯·诺伊曼合著的《博弈论与经济行为》（1944）。他们的目标是想为理性的决策者之间的策略互动过程提供一种数学化的一般理论。 • 在冯·诺伊曼和摩根斯坦的贡献的基础之上，约翰·纳计（1951）引入了合作博弈和非合作博弈的区分，并为非合作博弈提出了被后人命名为“纳什均衡”的一般性解概念，从而为博弈论奠定了基础。海萨尼（1967－1968）把分析方法拓展到不完全信息博弈，从而为理性行为的分析和信息经济学奠定了坚实的基础。

日本与阿根廷的关系如同计量经济学与博弈论的关系的比较前期流行，后期不对。日本与阿根廷的关系如同计量经济学与博弈论的关系的比较前期流行，后期不对。 • 博弈论的运用包括不完全竞争、市场均衡、谈判、产品质量、保险、委托──代理关系、歧视、公共物品等微观领域，并且已扩展到宏观经济学、产业组织理论等等。有些经济学家还利用博弈论方法，来分析合作、利他主义、信任、惩罚、报复之类的现象，力图探讨社会规范、制度如何产生的棘手问题。更有甚者，试图以博弈论语言重建整个微观经济学。

张伯伦革命 • 始于张、罗二人的“张伯伦革命”的主要贡献在于：他们摈弃了长期以来以马歇尔为代表的新古典经济学关于把“完全竞争”作为普遍的而把垄断看作个别例外情况的传统假定，认为完全竞争与完全垄断是两种极端情况，提出了一套在经济学教科书中沿用至今的用以说明处在两种极端之间的“垄断竞争”的市场模式，并在其成因比较、均衡条件、福利效应等方面运用边际分析的方法完成了微观经济的深化革命，同时为博弈论对经济学的革命开创先河。

博弈革命的意义： 1、研究对象发生变化：关注个体 2、决策理论的突破：注重关系 3、经济学与信息的融合：注重信息

博弈分类表

一个“僵局”+最佳反应 = 纳什均衡。 • 纳什均衡的思想很简单，博弈的理性结局是这样一种策略组合，其中每一个局中人均不能因为单方面改变自己的策略而获利。换一种说法是，其中每个局中人选择的策略是对其他局中人所选策略的最佳反应。 • 为了称述的方便，我们引进几个概念与符号： • 我们常用G表示一个博弈，如果G有n个局中人（博弈方），每个局中人的全部可选策略的集合我们称为策略空间，分别用S1，……,Sn表示；sij∈Si表示局中人I的第j个策略，其中j可以取有限个值（有限策略博弈），也可以取无限个值（无穷策略博弈）；局中人i的支付则用ui记，ui是各局中人策略的多元函数。N个局中人的博弈常写成G={S1，……,Sn；u1 ,….. un}.

从数学角度看求纳什，就是求多元函数的最大值。从数学角度看求纳什，就是求多元函数的最大值。 • 在博弈G={ S1，……,Sn； u1,….. un}中，如果策略组合（s*1,……,s*n）中任一局中人i的的策略s*i都是对其余局中人的策略组合（s1,…，si-1 , si+1,…，sn）的最佳对策，也即： • ui（s*1,…，s*i-1 , s*i ,s*i+1,…，s*n）≧u（s*1,…，s*i-1 , sij ,s*i+1,…，s*n）对任意sij∈Si都成立，则称（s*1,……,s*n）为G的一个“纳什均衡”。

七、非线性、非周期与混沌经济学 1978年9月，一位中国留学生李天岩的《周期3意味着混沌》导致混沌研究的兴起。克莱克说：经济学家像生物学家一样，对付的是一个任性的生物界，经济学家研究的是世界上最难捉摸的生物。经济学家固执地把自己束缚在线性世界里，在那里，一旦X以知，Y就确定，并且结果总是遵循合理的因果曲线而产生。

参考文献 布莱克：《经济学中的边际革命》，商务印书馆，1987年版。豪伊著：《边际效用学派的兴起》，中国社会科学出版社，1999年版。晏智杰《经济学中的边际主义》，北京大学出版社，1987年版。茅于轼：《择优分配原理—经济学和它的数理基础》，四川人民出版社，1985年版。陈平：《文明分叉经济混沌和演化经济学》，经济科学出版社，2000年版。埃德加∙莫兰：《方法：天然之天性》，北京大学出版社，2002年版。理查德.H.戴等著：《混沌经济学》，上海译文出版社，1996年版。杰里米、里夫金著：《熵：一种新的世界观》，上海译文出版社，1987年版。卡普拉著：《转折点---科学、社会、兴起中的新文化》，中国人民大学出版社，1989年版。亨德森、匡特著，苏通译：《Microeconomic Theory----A Mathematical Approach》，北京大学出版社,1988年版。何中一著：《数理经济学的基本方法》，商务印书馆，1999年版。伍超标编著：《数理经济学导论》，中国统计出版社，2002年版。王则柯等编著：《经济学拓扑方法》，北京大学出版社，2002年版。陈克艰著：《上帝怎样掷骰子》四川人民出版社，1997年版。甘德安著：《数学方法：从哲学到经济学》，武汉出版社，2000年版。甘德安著：《经济对策的理论与实践》，广西民族出版社，1993年版。

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