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第四章 相似图形. 回顾与思考. 知识回顾. 一、比例的性质?. 比例的基本性质 ─. 比例的 合比性质 ─. 比例的 等比性质 ──. 知识回顾. 如果 ,. 黄金比. A. C. B. 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,. ≈0.618. 二、黄金分割. 那么称 线段 AB 被点 C 黄金分割 ,. 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 ,. AC 与 AB 的比叫做 黄金比. 知识回顾. 三、相似三角形的定义?判定?性质?.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

第四章 相似图形

回顾与思考

slide2

知识回顾

一、比例的性质?

比例的基本性质─

比例的合比性质─

比例的等比性质──

slide3

知识回顾

如果 ,

黄金比

A

C

B

点C把线段AB分成两条线段AC和BC,

≈0.618

二、黄金分割

那么称 线段AB被点C黄金分割,

点C叫做线段AB的黄金分割点,

AC与AB的比叫做黄金比.

slide4

知识回顾

三、相似三角形的定义?判定?性质?

1、定义:三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形

2、判定:

两角相等的两个三角形相似

三边对应成比例的两个三角形相似

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

3、性质:

相似三角形对应角相等,对应边成比例

相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比

slide5

知识回顾

3、性质:

相似三角形周长的比等于相似比

相似三角形面积的比等于相似比的平方

相似多边形的周长比等于相似比

相似多边形面积的比等于相似比的平方

slide6

知识回顾

四、位似图形

如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.

这时的相似比又称为位似比.

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之

比等于位似比

slide7

做一做

用实战来证明自己

复习题 A组题

1、将一个等腰直角三角形放大,使放大后的边是原三

角形对应边的3倍,并分别确定放大前后对应斜边的比

值、对应直角边的比值。

解:

放大前后对应斜边的比值是1︰3、对应直角边的比值是1︰3。

slide8

c

2

=

=

6

d

a

a

b

3

做一做

用实战来证明自己

2、四条线段a、b、c、d成比例,其中b=3cm,c=2cm,

d=6cm,求线段a的长。

解:

四条线段a、b、c、d成比例

6a=6

a=1

slide9

AE

=

AD

F

C

D

AD

2

2

2

AB ︰AD = √2︰1

AB = 2 AD

AD = AB

AD =AB·AE

AB = √2 AD

AB

做一做

A

B

E

2

2

1

AE= AB

2

1

2

用实战来证明自己

3、如图,将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对

折,得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似,确定矩形

ABCD长与宽的比。

解:

矩形ADFE与矩形ABCD相似

{

slide10

A

B

C

E

D

做一做

F

G

用实战来证明自己

4、如图,BC//DE//FG,图中有几对相似三角形?你

是怎样判断的?

解:

有三对,它们是:

△ABC∽△ADE

△ABC∽△AFG

△ADE∽△AFG

根据BC//DE//FG,可得同位角相等,

由此得到两个三角形相似

slide11

DE

DE

=

=

9.9

BC

A

6

AD

D

E

AB

9

做一做

B

C

用实战来证明自己

5、如图,已知△ADF∽△ABC,AD=6cm,DB=3cm,

BC=9.9cm,∠A=70°,∠B=50°。

(1)求∠ADE的大小;(2)求∠AED的的小;

(3)求DE的长。

解:

(1) △ADF∽△ABC

6

70°

∠ADE=∠B=50°

3

(2) ∠A=70°

∠ADE=50°

{

50°

∠AED=60°

9.9

(3) △ADF∽△ABC

DE=6.6 cm

slide12

D

20

AE

B

=

=

2

AC

A

E

C

DE

DE

BC

1.6

做一做

用实战来证明自己

6、如图,小明欲测量红塔

的高,他站在该塔的影子

上前后移动,直到他本身

影子的顶端正好与塔的影

1.6m

18m

2m

子的顶端重叠,此时他距离该塔18m,已知小明的身高

是1.6m,他的影子长是2m。(1)图中△ABC与△ADE

是否相似?为什么?(2)求红塔的高。

解:

(1)相似

因为∠A是公共角,∠BCA和∠DEA是直角

(2)由△ABC∽△ADE得,

DE=16 m

slide13

做一做

用实战来证明自己

7、如果两个相似多边形面积的比为4︰9,那么这两

个相似多边形对应边的比是多少?

解:

根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得:

这两个相似多边形对应边的比是2︰3

slide14

AD

9

3

AD

S

S

S

S

S

S

S

S

16

AB

AB

4

△ABC

△ABC

△ABC

△ADE

△ABC

△ADE

△ABC

△ADE

A

D

E

做一做

B

C

2

=

=( )

=

= 48

= 27

用实战来证明自己

8、如图,在△ABC中,已知DE//BC,AD=3BD,

=48,求

解:

DE//BC

3份

△ADE∽△ABC

1份

{

AD=3BD

{

slide15

OC

=

OD

D

B

O

OA

A

C

OB

做一做

用实战来证明自己

9、如图,AB、CD交于点O,且AC//BD。

则OA·OD=OC·OB吗?为什么?

解:

OA·OD=OC·OB,理由如下:

AC//BD

△AOC∽△BOD

OA·OD=OC·OB

slide16

y

5

4

3

2

1

做一做

0

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

-2

用实战来证明自己

10、(1)在平面直角坐标系中描出点A(4,2),B(2,4),C(0,4),D(0,2),E(2,0),顺次连接点A、B、C、D、E、A,得到一个五边形ABCDE。

解:

所以、 除以 2 后得到的

新五边形与原五边形相似

同样, 除以 3 后

得到的新五边形与

原五边形相似

(2)将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以2,得到五个新的点,顺次连接这五个 点,得到一个新的五边形,这两个五边形相似吗?如果将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以 3 呢?

C

B

D

B

A

C

A

D

E

E

slide17

2

设留下矩形的面积为 x cm,

6cm

做一做

8cm

2

解得:x =27 cm

2

答:留下矩形的面积为 27 cm

用实战来证明自己

B组题

1、如图,在长8cm、宽6cm的矩形中,截去一个矩形

(图中阴影部分所示),使留下的矩形与原矩形相似,

那么留下的矩形面积为多少?

解:

由题意得

x

2

6

=

48

8

slide18

C

2

(3)AC = AD · AB

2

(4)CD = AD · AB

A

D

B

做一做

2

AC = AD · AB

用实战来证明自己

C

2、如图,能保证使△ACD与△ABC相似的条件是( )

(1)AC︰CD = AB︰BC

(2)CD︰AD = BC︰AC

解:

已知∠A是两个三角形的公共角,

要使△ACD与△ABC相似,

就要使△ACD中∠A的两边与△ABC中的∠A的两

边对应成比例——即

AD

AC

∴应该选:C

=

AC

AB

slide19

做一做

A

P

Q

B

用实战来证明自己

3、如图,王华在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点

P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部,

当他向前再行12m到达点Q时,发现身前他影子的顶部

刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m,两

个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB= x m。

(1)求两个路灯之间的距离;

(2)当王华走到路灯B时,他在路灯A下的影长是多少?

解:

(1)由题得:

x

1.6

=

9.6

2x+12

9.6

1.6

解得:x = 3 m

x

x

12

∴两个路灯之间的距离是18 m

slide20

做一做

用实战来证明自己

(2)当王华走到路灯B时,他在路灯A下的影长是多少?

9.6

1.6

A

B

18

x

解:

设他的影子长为 x m,则由题得:

x

1.6

=

18+x

9.6

解得 x = 3.6 m

∴他的影子长为 3.6 m

slide21

做一做

用实战来证明自己

4、如图,为了测量一条河的宽度,测量人员在对岸岸

边P点处观察到一根柱子,再在他们所在的这一侧岸上

选择点A和B,使得B、A、P在一条直线上,且与河岸

垂直。随后确定点C、D,使BC⊥BP,AD⊥BP,由观

测可以确定CP与AD的交点D。他们测得AB=45m,BC

=90m,AD=60m,从而确定河宽PA=90m。

你认为他们的结论对吗?还有其他的测量方法吗?

解:

结论正确!

理由如下:

由△PAD∽△PBC得

P

60

AD

PA

D

PA

=

=

C

60m

PB

BC

90

PA+45

A

90m

PA=90

45m

B

改变点C的位置,仍可以得到相应的结论

slide22

D

D

A

A

做一做

B

B

C

C

F

F

E

E

用实战来证明自己

C组题

1、如图,BC与EF在一条直线上,AC//DF。将图(2)

中的三角形截去一块,使它变为与图(1)相似的图形。

G

Q

P

方法1:作EG//AB,

交DF于点G,沿EG

将△DEG截去即可。

方法2:在EF上任取一点P过点P作PQ//AB,交DF于点Q,沿PQ将图(2)截开,得△PQF∽△ABC

slide23

做一做

用实战来证明自己

2、教学楼旁边有一颗树,学习了相似三角形后,数学兴趣小组的

同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根

长为1m的竹竿的影长是0.9m,但当他们马上测量树高时,发现树

的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的墙壁上(如图),

经过一番争论,小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测

得落在地面的影长2.7m,落在墙壁上的影长1.2m,请你和他们一

起算一下,树高为多少?

解:首先在图上标上字母,

A

过点C作CE⊥AB,垂足为E

根据题意,可得:

△AEC∽△FGH

AE

CE

AE

2.7

2.7m

=

=

E

FG

HG

1

0.9

C

F

1.2m

1.2m

1m

AE= 3 m

D

2.7m

B

H

0.9

G

∴树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m

slide24

想一想

通过今天的学习,你有什么收获?

结束寄语

数学源于生活,又反过来服务于生活.如果你无愧于数学,那数学就可以助你到达胜利的彼岸…………

slide25

下课了!

数学使人聪明