§6 ． 4 功水压力和引力

§6．4 功水压力和引力 一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力

F (k是常数)． +q +1 +1 ．功元素为dW a b r r+dr O ．一、变力沿直线所作的功例1 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a<b)处时，计算电场力F对它所作的功．解 r 于是所求的功为 W

pVk或p ． p ． ·S ． dW ． O a b x = ．例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体．在等温条件下，由气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a 处推移到点b处．计算在移动过程中，气体压力所作的功．解取坐标系如图．由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强 p与体积V的乘积是常数k，即因为VxS，所以于是，作在活塞上的力为 F p·S 功元素为 x x+dx 于是所求的功为 W

O 3m (kj)． x 例3一圆柱形的贮水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水．试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解作x轴如图．取深度x为积分变量 0x5．相应于[0，5]上任小区间[x，xdx]的一薄层水的高度为dx．水的比重为9．8kN/m3，这薄层水的重力为 9．8·3 2dx．这薄层水吸出桶外需作的功近似地为 dW88．2·x·dx，此即功元素．于是所求的功为 x W x+dx 5m

二、水压力 从物理学知道，在水深为h处的压强为ph，这里  是水的比重．如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为 Pp·A．如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算．

dP ． y O x ．例4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水．设桶的底半径为 R，水的比重为  ，计算桶的一个端面上所受的压力．解桶的一个端面是圆片，与水接触的是下半圆．取坐标系如图．在水深 x 处于圆片上取一窄条，其宽为dx，得压力元素为 R 所求压力为 P

，三、引力从物理学知道，质量分别为m 1、m 2，相距为r的两质点间的引力的大小为 F 其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向．如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方程向也是变化的，就不能用上述公式来计算．

y 其质量为rdy，与M相距， O M x dFx ．．例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M．试计算该棒对质点M的引力．解取坐标系如图，由对称性知，引力在垂直方向上的分量为零，所以只需求引力在水平方向的分量．在 y 轴上于y点取长为dy的一小段， y r 于是在水平方向上，引力元素为 a 引力在水平方向的分量为 Fx

§6 ． 4 功 水压力和引力