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二次函數 的應用問題

二次函數 的應用問題. 製作人 姚谷樺. 例 1. 例 2. 例 3. 例 4. 動動腦. 例 5. 例 6. 例 7. 例 8. 例 9. 例 10. 例 11. 例 12. 例 13. 例 15. 例 14. = -(x-6) +36. 例 1. 如何把 12 分成兩數，使 兩數的乘積 為最大？. ( 解 ) ：. 列式. 思考. ？. 設. 兩數為 x ， 12-x. 問. ？. 兩數乘積為 y. 想求兩數乘積. 所以 y=x(12-x). 先把乘積假設出來. y. 求兩數最大乘積. ≦36.

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二次函數 的應用問題

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  1. 二次函數 的應用問題 製作人 姚谷樺

  2. 例1. 例2. 例3. 例4. 動動腦 例5. 例6. 例7. 例8. 例9. 例10. 例11. 例12. 例13. 例15. 例14.

  3. = -(x-6) +36 例1. 如何把12分成兩數，使兩數的乘積為最大？ (解)： 列式 思考 ？ 設 兩數為x，12-x 問 ？ 兩數乘積為 y 想求兩數乘積 所以 y=x(12-x) 先把乘積假設出來 y 求兩數最大乘積 ≦36 即求y=x(12-x)的最大值 當x=6時，y=36為最大值 因此 兩數為6，6時，乘積36為最大 首頁

  4. 所以 y = x +(x+1) +(14-2x) 即求y = x +(x+1) +(14-2x) 的最小值 例2. 如何將15分成三數之和，其中二數須為連續整數，而使此三數的平方和為最小？ (解)： 列式 思考 ？ 設 三數為x， 問 x+1， 15-x-(x+1)=14-2x ？ 三數的平方和為 y 想求三數的平方和 先把平方和假設出來 求三數最小平方和 首頁

  5. = -(x-15) +225 例3. 一位農夫想用60公尺長的籬笆圍成一個矩形的菜圃，問如 何才能圍出最大的面積？這最大的面積為多少平方公尺？ (解)： 列式 思考 籬笆總長60公尺 矩形菜圃的長+寬=30公尺 ？ 設 矩形菜圃長x公尺 寬(30-x)公尺 問 想求面積 先找長、寬 ？ 面積為y平方公尺 再把面積假設出來 所以 y=x(30-x) y 求最大面積 ≦225 即求y=x(30-x)的最大值 首頁

  6. 例4. 黃金旅行社為提高休閒生活品質， 特舉辦兩天一夜的黃金旅遊， 30 5000 預定人數為30人，每人只收5000元； 31=30+1 5000-100 但為響應政府週休二日， 只要人數達30人以後，特別優待： 32=30+2 5000-100‧ 2 35=30+5 5000-100‧ 5 5000-100‧ 11 41=30+11 每增加一人，就每人減收100元。 5000-100x 30+x 問應增加多少人，這旅行社才能收到最多的錢？ 最多共收到多少錢呢？ 解

  7. (解)： 列式 思考 ？ 設 增加x人 問 可收到y 元 ？ 想求 先把錢數假設出來 則人數為(x+30)人 還可知道 每人收(5000-100x)元 且y=(5000-100x)(x+30) 想求 即求y=(5000-100x)(x+30)的最大值 首頁

  8. #動動腦： 要如何修改例1中，黃金旅行社的廣告詞，才不會造成「旅遊不必付錢」的問題？ Answer: 先反向思考 若「旅遊不必付錢」 ？ 則每人所收的錢 (5000-100x) =0 即x=50 故若增加50人時，不必付錢 也就是人數為30+50=80人時，不必付錢(預定人數30人) 故旅行團應規定： 額滿人數為79人(80人時剛好不必付錢) 首頁

  9. 例5. 一果園中種了25棵橘樹，每棵平均可生產橘子450個； 若在此園中，每加種1棵，則每棵平均生產量減少10個， 問應加種幾棵，能使此園的產量達到最大？ 最大產量是多少？ 25 450 26=25+1 450-10 27=25+2 450-10‧ 2 30=25+5 450-10‧ 5 36=25+11 450-10‧ 11 解 25+x 450-10x

  10. (解)： 列式 思考 ？ 設 加種x棵 問 產量y 個 ？ 想求 先把產量假設出來 則棵數為(x+25)棵 還可知道 每棵樹平均生長(450-10x)顆橘子 想求 且y=(x+25)(450-10x) 即求y=(x+25)(450-10x)的最大值 首頁

  11. A、B為數線上兩點，他們的座標分別為 7、2， 試在數線上求一點P，使 + 的值為最小。 先將 + 表示出來 + + (x-7) + (x-2) 例6. (解)： 列式 思考 ？ 設 P點座標為x 要 想要 = = 再算最小值 首頁

  12. S(t) = 256t-16t = -16(t-8) +1024 例7. 將一顆棒球以256呎/秒的速率，垂直往上拋，如果經過t秒後，棒球的高度是 S(t)=256t-16t。問： (1)此顆球所能達到的最大高度是多少呎？ (2)經過幾秒鐘後，球會落到地面？ (解)： 列式 思考 (1) 要求 即求S(t)的最大值 ≦1024 所以最大高度是1024公尺 (2) 要求 ？ 先想球落到地面時有何條件 S(t) = 0 落到地面時高度為0 首頁 此時t =16 或 0 (不合)

  13. E 亂太郎以長120m的鐵絲網在河邊圍一個矩形的菜園。如右圖，虛線部分為河邊，不圍鐵絲網，且∠EAB=90∘， =20m，則菜園(矩形ACDE)的面積最大為多少平方公尺？ A 20 B C D = +20 亦可設 =x = x公尺 =120 - - 則寬 =(x+20)公尺 且長 =(100-2x)公尺 例8. (解)： 列式 思考 ？ 設 問 想求面積 先找長、寬 想求面積,就把面積假設出來 又設面積為y平方公尺 求 ∴y=(100-2x)(x+20) 首頁 即求y(100-2x)(x+20)的最大值

  14. 岸邊 6m ∴y=100[x +(6-x) ] 例9. 霧丸想沿魚池的岸邊，搭建一個伸入池中6m的平台，形狀為兩個相連的正方形，如右圖。若平台高度一定且建築費為每平方公尺100元，問平台的邊長多少公尺才能使建築費用最低？ (解)： 列式 思考 設 其中一平台的邊長為x公尺 則另一平台邊長為(6-x)公尺 問 又設全部費用為y元 想 先假設建築費用且求其最小值 首頁 而

  15. B A x 100-x 而A的邊長為 B的邊長為 ∴y = 即求 y = 的最小值 例10. 一條繩子長100m，現在想把它切成兩段分別圍出正方形A與B，當切出的一段長x時，A、B面積之和最小，求出此時之x及面積和之最小值。 (解)： 列式 思考 設 A、B兩正方形面積和為y平方公尺 想求 問 首頁

  16. A x M 16-x B 如右圖， =16， =12的長方形ABCD的邊上，各取一點M、N、P、Q，使 = = = =x x N Q 12-x D C P ΔMBN=ΔPDN= ‧x (16-x) 2[ ‧x (16-x) + ‧x (12-x)] ΔMAQ=ΔPCN= ‧x (12-x) =2x - 28x+192 2x - 28x+192 =2(x-7) +94 例11. (1)試以x表示四邊形MNPQ的面積。 (2)問 x 等於多少時，MNPQ的面積最小？ (3)求四邊形MNPQ面積的最小值。 (解)： 思考 列式 (1) MNPQ=ABCD – 4個直角三角形 MNPQ的面積=16‧12 – (2) 問 則利用配方法即可 ≧94 (3) MNPQ面積的最小值為94 首頁

  17. C 的長為12，P點在 上移動，以 為一邊做等腰直角ΔAPC，其中∠A=90度，又以 為一邊作正方形PBDE，如右圖，設 =x E D B A P ΔABC面積= ‧底‧高 = x -24x+144 面積和= x +(12-x) = ‧x‧x 正方形PBDE面積=(邊長) = =( - ) x -24x+144 =(12-x) 即求 x -24x+144的最小值 = (x-8) +48 例12. (1)試以x表示ΔAPC與正方形PBDE的面積和 (2)求ΔAPC與正方形PBDE面積和的最小值 (解)： 列式 思考 (1) (2) 問 ≧48 首頁

  18. =18k -48k +24k +8k 設a : b = 1 : 2且b : c = 3 : 4，求： (1) a : b : c (2) ab – bc + ca + c的最大值 例13. (解)： 列式 思考 (1) a : b : c = 3 : 6 : 8 (2) 設 a=3k，b=6k，c=8k (k≠0) 想求ab – bc + ca + c的最大值， 根據以往經驗， 須將未知數化簡成只有一個，再配方 ab – bc + ca + c 由(1) a : b : c = 3 : 6 : 8的提示 配方後即可得最大值 首頁

  19. 設a代表一個確定的數，且a≠0，若二次函數f(x) = ax +3ax – a +2的最大值為 -5，試求： (1)此二次函數圖形的頂點座標 (2)a的值 f(x) = ax +3ax – a +2 =a(x+ ) –a – a +2 ∴頂點座標為(- ,-5) ∴ -a – a +2= -5 ∴a= -4或 例14. (解)： 列式 思考 (1) 想求 即用配方法求最大值 且最大值為 -5 (2) ∵最大值為 -5 從(1)的配方法中可看出最大值為 (不合)(∵a<0才會有最大值) 首頁

  20. y 如右圖，過A、B兩點直線方程式為2x+3y=5，且P點為 上任一點，求 A P C x O D B 2x+3y=5 ∴ 須先知道 的長度即P點座標 f(x)=x‧ 例15. (1)矩形OCPD的面積表示成x的二次函數為何？ (2)當P點座標為多少時，矩形OCPD的面積為最大，其值又為何？ (解)： 列式 思考 (1) 2x+3y=5 想求 設 P ∵P在2x+3y=5上 則矩形OCPD的面積為 (2) 問 首頁 即求f(x)的最大值

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