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§3-5 Schoedinger 方程 * Schroedinger 方程的建立 ( Establishment of the Schroedinger equation )

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§3-5 Schoedinger 方程 * Schroedinger 方程的建立 ( Establishment of the Schroedinger equation ) * Schroedinger 方程是量子力学中最主要的一个方程。但这一方程是 Schroedinger “ 猜”出来的。 *当时 de Brogile 波的概念刚刚传到瑞士苏黎世,在 Debye 的学生 Schroedinger 做关于物质波的报告时, Debye 评价说,“有了波就应有波的方程”,不久, Schroedinger 就给出了物质波的波动方程。

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§3-5 Schoedinger 方程
  • *Schroedinger方程的建立
  • (Establishment of the Schroedinger equation)
  • *Schroedinger方程是量子力学中最主要的一个方程。但这一方程是Schroedinger “猜”出来的。
  • *当时de Brogile波的概念刚刚传到瑞士苏黎世,在Debye的学生Schroedinger 做关于物质波的报告时, Debye评价说,“有了波就应有波的方程”,不久,Schroedinger 就给出了物质波的波动方程。
  • *“导出” Schroedinger方程的一种方法
  • (Construction of the Schroedinger equation)
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*考察一维运动的非相对论性粒子,其能量为:

(15-1)、

*利用de broglie关系, 上式变为

(15-2)

(15-3)

*由自由粒子的波函数

可得:

(15-4)

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*由(15-1)式,对于自由电子v(x)=0,有

乘以 即得

或即

(15-5)

这就是自由粒子的Schroedinger方程。

*对于v(x)=v。(常数)的情形,(15-3)也是方程

(15-6)

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的解,且将 代入后有

这与(15-2)式相一致。

*现把(15-6)式推广到一般的 势场v(x),则可认为粒子的波函数满足:

(15-8)

这就是一般的Schroedinger方程。

*容易看出,只要将(15-1)式中的E-> ,

(15-9)

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然后作用到 上,即可得(15-8)式。

*将(15-8)式再进一步推广到三维的情形,有

(15-10)

此即著名的Schroedinger方程。当v(r)->0,其解为

(15-11)

*与(15-9)相应,在三维的情形,E->

(15-13)

*需要注意, Schroedinger方程,只能看作是一种假设,其正确性是通过由Schroedinger方程所导

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出的结果来检验的。事实上,也可把(15-13)与波函数(15-11)的存在当作是量子力学的基本假设。

定态Schroedinger方程(The time-independent Schroedinger equation)

*当势场v(r)不显含t时,可用分离变量法求解Schroedinger方程。

(15-14)

*令

可得:

并在(15-10)式两边除以

(分离变量常数)

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将(15-15)分为两式:

(15-16)

(15-17)

*把常数T。归入 可得

(15-19)

*由(15-17)式。

(15-20)

此即定态Schroedinger方程,式中E具有能量的纲

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*由(15-19)式可见,对于定态问题,几率密度

与时间无关。

应用举例(Some applications)

*考虑一维运动的粒子,其势能为

(15-22)

称为一维无限势阱(图15.11)

*在势阱内, Schroedinger方程为

若记

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(因为阱外

必为0)

(15-25)

(15-26)

*(15-25)的解为

*由波函数在x=0处的连续性条件有

因此

又有

*由波函数在x=d处的连续性条件

因此

(15-27)

slide11
*根据连续性结果,可得:

(15-28)

(15-29)

*(15-28)式中的常数可由归一化条件确定:

由此

(15-30)

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*图15.2绘制了n=1.2.3时的波函数和几率密度。

当n=1时,粒子出现在中间的几率最大,当n=2时

粒子出现在中间的几率为零。

[例二]一维有限陷阱(图15.3)

*一维有限陷阱的 可表示为

(15-31)

*在势阱内,波函数为正弦波(参看例一)

*在势阱外, Schroedinger方程为:

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或即

(15-32)

*势阱外方程的解为指数函数

由波函数的有限条件,可得

两个解为

(15-33)

由(15-33)可见,粒子有一定的几率出现在势阱外 ,这是与经典物理完全不同的。(图15.4和图15.5)

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*而当E>V时,微观粒子的动能在势阱的边界处将发生变化。因为一边V=0,一边V=Vd。一边波矢为k,一边波矢为 。而由 可知波矢量的变化又相当于动量或动能的变化。(图15.4图15.5)

这表明,微观粒子也将受到势阱边界的散射,而宏观粒子当E>Vd时则是脱离势阱束缚的 自由粒子。其动能是不变的。

参看阅读资料:(The free particle and its behavior at potential step)

3 6 barrier penetration the tunneling effect
§3-6 势垒贯穿、隧道效应(Barrier penetration:the tunneling effect)

势垒贯穿(Barrier penetration)

考察粒子穿越如图(15-6‘)原子的势垒.

  • 按照经典的观点,当粒子的能量E<V0时,粒子穿过势垒的概率为零。而当E>V0时,这一概率为1.
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但根据量子力学,在上节中已看到,当E>V0时粒子仍会受到势垒的散射而出现反射。这与经典的结果不一致。
  • 本节中将会看到,当E<V0时,微观粒子仍能穿透势垒。这也与经典结果相违背

定态Schroedinger方程(The time-independent Schroedinger equation)

  • 将x轴分为三个区域。区域Ⅰ(x <-a);V=0; 区域Ⅱ(-a<x<0);V=V0;区域Ⅲ(x>0);V=0。
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在区域Ⅰ和Ⅲ,Schroedinger方程为:

(15-35)

在区域Ⅱ,则有:

(15-37)

定态波函数(time independent wave function)

  • 容易看出, 满足(15-15)和(15-37)的定态波函数是:

=Aeikx+Be-ikx (x<-a)

=Ceαx+De-αx (-a

=Geikx (x>0)

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用指数形式表示的波函数 代表了一个沿x正向的入射波与一个沿x反方向的反射波的叠加。类似的,则表示了沿x正向的透射波。(在x>0的区域没有反射波)
  • 由波函数及其导数在x=-a和x=0的连续性条件可以得到表式:

(15-39’)

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在(15-39')中消去C、D、G可得比值:

而反射系数

(15-39’’)

利用 ,上式可简化为:

(15-39’’’)

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透射系数

(15-40’)

若 ,则

(15-40’’)

而式中指数函数前的系数为一个数量级为1的纯数。

势垒贯穿过程的波函数见图15.7 。

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隧道效应(The tunneling effect)
  • 当 E
  • 隧道效应不仅具有理论上(观念上)的重要意义,而且有重大的应用价值。
  • 晶体隧道二极管,超导隧道结等固体器件都是基于量子隧道效应的原理制成的。扫描隧道显微镜(STM)则更是隧道效应的一项巨大技术应用。

扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscopy)

  • 直接观察试样的单个原子像是电子显微学家长期追求的目标。
  • 二十世纪八十年代发展起来的扫描隧道显微镜以其独特的优点和广泛的应用潜力应起了物理、化学和生物工作者的极大兴趣。
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STM具有以下特点:
  • 1.可在真实空间直接得出表面结构的三维图像。其横向、纵向分辨率分别可达 0.1nm和约0.005nm
  • 2不需要任何光学透镜或电子透镜.
  • 3.不象透射电镜(TEM)、场离子显微镜(FIM)那样必须把样品放在真空中才能进行观察。这对生物样品具有特别的意义。
  • 4.不对试样造成任何辐照损伤。
  • 我国科学工作者于1987年11月成功地研制出了国内第一台STM(白春礼院士)
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STM不仅可用于材料的表面分析,还可利用STM 针尖 对原子和分子进行操纵和移动.美国科学家曾利用STM将原子排列出IBM的字样.这是全世界最小的字母!

STM的基本原理

  • STM的原理是基于电子的隧道效应.
  • 金属中的电子在运动到金属表面时会受到表面势垒的阻挡.一般情况下,电子的动能 要大大小于势垒的势能.
  • 由于隧道效应,电子仍有一定的几率穿透表面势垒的阻挡,因此电子的密度在表面以外按指数衰减 (而不是跃变为零!)衰减长度约为1nm。
  • 如将两块金属靠得很近(距离小于1nm),它们表面的电子云就会发生重叠,当在这两块金属间再加一微小电压 ,即可观察到它们之间的隧道电流 :
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式中A为常数,S为两金属间的距离,φ为样品表面势垒的平均高度。(即平均功函数)
  • 由上式可见JT对于S十分敏感。当S变化0.1nm时,JT就有数量级的变化。
  • 若将一块已知功函数的电极做成针尖作为探针。在另一电极(样品)表面扫描。表面上小到原子尺度的特征就显现为隧道电流的变化。依此即可分辨出表面上分立的原子,揭示出表面上原子的台阶、平台和原子列阵。
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STM的结构(The stature of STM)
  • 图15.9是STM 装置的简图。

图中px、py、pz为 探针

驱动器。S为样品。L为

粗调 驱动器。

  • 假设样品表面的功函数

是恒值。当探针在x-y方向

沿样品表面扫描时。若保

持JT不变,则探针尖在垂

直表面的方向(z方向)

会随表面的“高低而变动”。

这样就可以得到z作为x、

y的函数,即三维的表面图像。

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STM的原理虽然简单,但设计和制作却十分困难,主要技术难点包括
  • 消除各种振动的影响、使探针一表面的间隙保持恒定
  • 采用特殊的技巧使探针保持在离表面只有1nm的地方
  • 制作稳定而又能保证原子分辨率的探针尖
  • 保证足够的扫描速度和扫描范围
3 7 the simple harmonic oscillator
§3-7 一维谐振子(The simple harmonic oscillator)

经典谐振子(Classical harmonic oscillator)

l简谐振动是一种典型的一维运动。任何体系的小振动常常都可分解成若干个彼此独立的一维谐振动。

l经典的一维谐振动能量为:

E=p2/2m+kx2/2(15-41)

(k是谐振子的弹性常数)

l谐振子的运动满足关系式:x(t)=xoSin(ωt+δ)

其中角频率ω=(k/m)1/2(15-42)

l经典谐振子的能量表达式也可写为E=kx02/2其值可连续变化

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量子谐振子(Quantum harmonic oscillator)

l在量子力学中,一维谐振子的势能表达式为:V(x)=kx2/2相应的Schroedinger 方程为:

-(ħ 2/2m)(d2ψ(x)/dx2)+m/2ω2x2ψ(x)=Eψ(x)(15-44)

l引入无量纲的变量 y=αx, 其中α=(mω/ħ )1/2, 并令λ=2E/ħ ω,上式可改为:

d2ψ/dy2+(λ-α2)ψ=0(15-44’)

l由α------〉正负∞时,(15-44’)的渐近行为,可知ψ(y)可具有形式:

ψ(y)=exp(-y2/2)H(y) (H(y)为待求函数)(15-44’’)

l将ψ(y)代入(15-44’)可得H(y)满足的方程:

d2 H(y)/dy2–2ydH(y)/dy+(λ-1)H(y)=0(15-44’’’)

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l利用级数展开,求解H(y)。满足ψ(y)有限性要求 的解只能为多项式:

Hn(y)=(-1)nexp(y2)(dn/dyn)exp(-y2) (15-44’’’’)

这称为Hermit多项式

lHermit多项式是带权exp(-y2)正交的,即有

Jmn=∫exp(-y2)Hm(y)Hn(y)dy=0 (m≠n)

而 Jnn=∫exp(-y2) Hn(y) Hn(y)dy=2nn!π1/2

l由ψ(x)的归—化条件可确定波函数最终形式为:

ψ(x)=[α/(2nn!π1/2)]1/2exp(-α2x2/2)Hn(y) (15-46)

l由无穷级数截断为多项式的条件:

λ=2n+1 可得谐振子的能量必须满足条件:

En=λħ ω/2=(2n+1) ħ ω/2=(n+1/2) ħω (n=0,1,2,…) (15-45)

这表明,谐振子的能量是量子化的。

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l可以证明,能级之间的跃迁满足选择定则△n=1 即跃迁只能发生在相邻能级之间。

l由谐振子的能量表达式以及选择定则可以看出以下特点:

(1)n=0时(基态),能量并不为零,而是具有零点能ħω/2

(2) 各相邻能级之间的能量间隔均相等

(3) 跃迁只能逐级进行

由于谐振子势比较简单,可使Schroedinger 方程得到严格解,因此常被用作理论计算的一级近似的出发点。

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下降算符(lowering operator)

要确定量子谐振子的能级,还可采用算符

的方法.

若以u(x)表示定态波函数,谐振子的Schroedinger方程可写为:

(Z4.9)

引入 , (M4.10)

则(14.9)可改写为

(M4.11)

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这是一个算符 的本征方程。相应的本征值为-b。若对上式中的算符作因式分解,再作用到u上,则有:

(Z4.13)

上式又可写作:

(Z4.14)

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将算符(d/dx+ax)再作用到上式的两边,有:

(Z4.15)

若令 则上式可简化为:

(Z4.16)

重复(z4.13)的方法进行

展开可得:

(Z4.18)

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(Z4.18)与(Z4.11)相比可见,我们又回到了解谐振子方程,只是uu’,-b(-b+2a).即此时的本征函数变为了u’.相应的本征值变为-(b-2a).

由定义,式 ,确定了本征态u所对应的能量E,同样的,(b-2a)则可决定本征态u’所对应的能量E’.即应有:

(Z4.19)

代入b和a的定义后,上式变为:

(Z4.20)

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由上可见,若u(x)是简谐振子算符的本征函数,则函数u’(x)=(d/dx+ax)u也是这一算符的本征态,相应的能量本征值则减小ħω

因此,算符(d/dx+ax)就称为下降算符.

若已知某一谐振子算符的本征函数,则通过反复作用下降算符,即可得到一系列新的本征态,而相应的能量本征值是等间隔的.

但这一过程不能无休止的进行.因为E必大于零.(∵V≥0,Ek不可能为负)因此,必有一能量最低的状态――基态.

slide41
基态能量(The lowest energy level)

l设最低能级E0所对应的本征态为u0。若将下降算符作用于u0,则由于E0已为最低能级,结果只能产生一个并不存在的本征态,也就是“零”。即 (d/dx1+ax) u0 =0 (Z4.21)

(因为下降算符作用于u0后所产生的任何实际存在的本征态,其对应的本征值均要小于E0,这与E0作为最低能级的假设相矛盾。)

slide42
l

(Z4.21)式分离变量后有 ,

其解为:

(Z4.22)

即 (Z4.23)

将(Z4.23)代入线性谐振子的本征方程:

(Z4.11)

可得:

(Z4.24)

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上式消去 后即有a=b,或即(由a 和b的定义)

由此又有: (Z4.26)

这样,我们不仅找到了最低能级 ,而且证明了

由 所给出的u0确实是与最低能级E0相应的本征态。

  • 找到了基态波函数u0后,还可通过上升算符的作用而找出其他本征态来。
slide44
上升算符
  • 与下降算符相类似,可定义上升算符d/dx-ax.
  • 设u’为某一已知的本征函数,满足(Z4.16),即有:

将上升算符作用于其上,有:

  • 令 ,上式简化为:
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整理后可得:

(Z4.27)

这表明,u’’是线性谐振子算符本征方程的解,相应的本征值为-b

  • 与u’所满足的本征方程

(Z4.18)

相比可见,u’’所对应的本征值较u’提高了2a.

  • 回忆在下降算符作用时,本征值由-b-(b-2a),相应的能量由EE- ħ ω。即谐振子的能量减少了ħ ω 。现本征值由-(b-2a)-b,则显然相应的能量上升了

ħ ω 。这就是(d/dx-ax)称为上升算符的原因。

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线性谐振子的定态波函数和能级
  • 显然,若从u0开始,反复作用上升算符,即可得到整个谐振子的本征态系,并给出相应的本征值系。
  • 可以证明,从u0开始,反复作用上升算符,将穷尽所有的本征态。
  • 由于 ,而E1-E0= ħ ω ,E2-E1= ħ ω

……

因此,谐振子的能级可表为:

(Z4.28)

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相应的定态波函数为:

(Z4.29)

式中 为归一化常数。上式求导后,即得Hermite多项式与 的乘积,即前一方法所得之结果。

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§3-8 力学量的算符表示

力学量的算符

l在Schrodinger方程的建立中,我们看到,可以将经典能量的表达式 E=p2/2m+V中的E和P分别代以 ,再作用到 上即可。这一替换具有深刻的含义。

l事实上,在量子力学的运算过程中,力学量都是以算符来表示的。而通过求解力学量算符的本征方程,即可求得该力学量的量子化取值。

l我们已经见到:动量算符 (16-11)

动能算符 (16-11’)

Hamillon算符 (16-11’’)

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算符的本征值和本征函数

l一般地,若某一力学量的算符为 ,而态函数ψ满足关系式:

ψ=λψ(λ为常数) (L3-15)

则ψ称为算符 的属于本征值λ的本征函数(本征态)。在ψ态,力学量A有确定值λ。而(L3-15)就称为算符 的本征方程。

l若λ只能取分立值,即有 ψn=λnψn(L3-16)

则ψ1,ψ2,…, ψn,…组成算符 的本征函数系,

λ1, λ2,…, λn,…组成算符 的本征值谱。

若求解A的本征方程时,某一本征值λn所对应的不只是一个

本征函数ψn,而是f个线性无关的本征函数ψn1, ψn2,…ψnf,则称该本征值λa有f 度简并 。

slide51
算符的运算规则

l算符的相等:

若算符 和 分别作用在任意函数u上,总有:

u= u,

则称算符 和 相等,表示为 = (L3-18)

l算符的相加:

若有算苻 ,当他们作用在任意函数u上总有:

u+ u= u, 则 + = (L3-19)

l算苻的相乘:

若有算苻 ,对于任意函数u,总有 u= u,则:

=(L3-20)

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注意,算符相乘的次序一般不能颠倒,即不满足乘法交换律。

例:

若 对任意函数u成立,则称算符 与

对易

即有 (L3-22)

注意,假定 与 对易, 与 对易, 与 却可不对易。

l算符 的n次幂可表为 n,

即 n =A·A····A(n个)(L3-23)

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线性算符

l若u1,u2为任意函数,C1,C2为任意常数,而有:

(L3-25)

则称 为线性算符。

在量子力学中,表示力学量的算符必须是线性算符。这是 态迭加原理的要求。

slide54
Hermite算符

l 是两任意态函数,若算符 满足下列关系:

(L3-26)

则 称为Hermite算符。

lHermite算符具有以下运算特性:

(1) Hermite算符的本征值必为实数。

证明:设 为Hermite算符, ψ=λψ

按Hermite算符的定义

* 两式相比,λ=λ*,因此,λ必为实数。

slide55
(2) Hermite算符的本征函数之间互相正交,即

证明:由本征方程

按Hermite算符的定义

上述两式相减有

虽然上述证明仅考虑了非简并的情况,但可以证明,在简并的情况下,通过f个本征函数的线性组合总可以得到f个独立的正交函数。

对于归一化的波函数,正交 归一可表为

slide56
(3) Hermite算符的本征态组成一个完备系,即任意函数均可按Hermite算符的本征态展开 ,即有(L3-32)
  • 若 均为归-化的波函数,则
  • (L3-33)

(练习)

而 可看作体系处于ψn态的几率。

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力学量的平均值

l当粒子处于某一算符 的本征态ψn时,力学量A将具有确定值λn。

l当粒子处于 的非本征态 时,可以证明,

(L3-37)

对上式的理解 :

∵∣Cn∣2是粒子处于ψn的几率,即A的值λn取的几率。

∴上式确实给出了A的平均值。

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两个力学量同时有确定值的条件

l不确定关系指出,x与 不可能同时有确定值。那么什么条件下,两个算符不能同时有确定值。满足什么条件的算符又可以同时有确定值呢?

l事实上,若算符 对易,即 ,则A,B可同时有确定值。

证明:设 对易,ψn为 的任一本征函数,且对应的本征值λn非简并,

则应有 ψn=λnψn

slide59
左乘算符

因 对易,又有

上式表明, 也是 的本征态,且对应的本征值也为λn。

即 实为同一本征态。(∵非简并)两者至多相差一常数因子,设为ζn,

即有

上式具有 算符的本征方程的形式,对应的

本征值为 。从而表明 ψn ,既是 的本征态,又是 的本征态。在这一本征态中,力学量A,B分别有确定值λn和ζn。

slide60
l 不确定关系

l若算符 和 不对易,设不对易关系为:

(L3-39)

则可以证明,力学量A和B的均方差满足关系:

(L3-40)

l上式表明,在 不对易的情形,A和B不能同时有确定值。

∵否则 (L3-40)就不成立。

l的对易关系为:

代入(L3-40)有:

或简写为 此即不确定关系的准确表达。

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§3 -9 氢原子的波函数

球坐标下的角动量算符(Angular momentum

operator in spherical polar coordinates)

l 角动量算符:

l 用分量表示:

(16-3)

slide63
氢原子的Schroedinger方程(Schrodinger equation for hydrogen atom)

氢原子的三维定态 Schroedinger方程为:

(17-3)

为氢原子的折合质量.

(17-4)

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分离变量法

令(r,,)=R(r) Y(,) (17-7)

代入(17-6)式后可得:

(17-8)

由于r,,互相独立,上式成立的条件可表为 ,或即

(17-9)

slide66

为常数.

或即

(17-10)

slide67
对于(17-9)式可进一步进行变量分离。

令 (17-11)

可得: (17-12)

由此又有: (17-13)

及 (17-19)

的求解

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方程(17-13)的通解为:

(17-14)

根据波函数的单值性

若 则必有D=0,若 ,则 必为整数,故可表为m..。

综上结果 , Φ(φ)的解可表为:

(m=0,1,±1…) (17-15)

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容易看出 ,Φm(φ) 乃是 算符的本征函数,其相应的本征值为

(17-17)

正是Bohr的角动量量子化条件 ,m即称为磁量子数,注意这一条件是由求解Schroedinger方程而来。

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Θ(θ)的求得

令 ,则(17-19)式变为:

(17-22)

方程(17-22)的解为:

(17-26)

称为缔合Legendre多项式 .

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(17-27)

则是Legendre多项式.

在方程(17-22)的求解过程中为找到满足波函数的有限性要求的解,α和|m|只能取满足下列条件的分立值.

α=l(l+1) l=0,1,2,…

(17-23)

由(17-9)式,

(17-24‘)

因此 , 是算符 的本征函数,相应的本征值为

即 或 (17-24)

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(17-24)式表明,不仅Lz是量子化的, L本身也是量子化的,l 即称为角动量量子数,或轨道量子数.

球谐函数

将Φ(φ)和P(u)相乘可得算符 的本征函数:

(17-28)

这称为球谐函数.

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容易看出 与φ无关,因此,波函数的模的平方(即电子出现的几率)关于Z轴有旋转对称性.

径向波函数

考虑电子处于束缚态(E<0)的情况,并将α=l(l+1)代入(17-10)式

可得:

(17-33)

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(17-35)

(17-42)

径向方程变为:

(17-43)

由∞ 时的渐近解可知,R()可表为;

(17-46)

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在将F()按 的级数展开求解的过程中发现,为

满足波函数有限性的要求,F()只能具有形式

而 必为整数n(n称为主量子数)且n≥l+1。

G()满足方程:

(17-59)

这一方程称为缔合Laguerre方程,其解为缔合Laguerre多项式:

(17-57)

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(17-57‘)

称为Laguerre多项式。

由(17-42)式, 及=2kr可得:

其中 为第一Bohr半径。

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综上,径向波函数可表为:

(17-58)

几个简单的径向波函数:

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用上述波函数算出径向几率分布函数

随 Zr/a1的变化曲线如图17. 3所示。

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能量本征值

由(17-42)式( = k)

(17-53)

(17-35)

因此 (n=1,2,3…)

上式也可改为 (17-54)

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式中

(17-40)

这里为精细结构常数.

  • (17-54)式表明(1)氢原子的能量是量子化的。

(2)氢原子的能量只与主量子数n有关,而与l,m无关。

(3)由于对每一个n,l的可能值有n个(0,1,2…n-1),而对于每一个l,又有2l+1个m值(0,±1…±l),因此氢原子的能级是简并的,其简并度为n2。

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电子云图
  • 图17.4给出了一些不同量子数n,l,m,所对应的氢原子中电子的几率密度

图即电子云图。

  • 图中黑色区域是电子出现几率不为零的地方,白色区域电子出现的几率为零。
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图17.4‘是一些 的函数曲线,与图17.4相对照,电子在空间出现的几率就十分清晰了。
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评注:

在求解氢原子的Schroediger方程时,出现了三个本征方程;

(17-3)

(17-17)

(17-24‘)

上述三个方程可改写为:

(17-62)

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(17-62)式表明,n,l,m是 三个算符共同的

本征函数,而根据力学量同时有确定值得条件。

必定是互相对易的 (请验证)

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The End
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