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第 九 章. 虚功原理 和 结构位移计算. § 9.1 位移计算概述. 1。 位移计算的目的 验算结构的刚度（刚度条件、施工控制） 计算超静定结构（力法） 2。 结构位移的分类 位移 与 变形 （外因作用下） 刚体位移 与 形变位移 线位移 ：点沿直线移动； 角位移 ：截面转动 广义力 与 广义位移. （续）. 3。 位移计算的原理与方法 积分法求挠曲线方程 —— 实功原理求位移 —— 能量法（功能原理） 虚功原理 —— 单位荷载法 线弹性体位移计算 应用条件 （亦即 叠加原理 的应用条件）： ⑴ 材料满足虎克定律
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第 九 章 虚功原理 和 结构位移计算
§9.1 位移计算概述 • 1。位移计算的目的 • 验算结构的刚度（刚度条件、施工控制） • 计算超静定结构（力法） • 2。结构位移的分类 • 位移与变形（外因作用下） • 刚体位移与形变位移 • 线位移：点沿直线移动；角位移：截面转动 • 广义力与广义位移
（续） • 3。位移计算的原理与方法 • 积分法求挠曲线方程—— • 实功原理求位移——能量法（功能原理） • 虚功原理——单位荷载法 • 线弹性体位移计算 • 应用条件（亦即叠加原理的应用条件）： • ⑴材料满足虎克定律 • ⑵结构变形微小，不影响力的作用。
§9.2 虚功和虚功原理 ● 虚功的概念（虚功不虚！） 力P与经历的位移Δ独立无关（无因果关系！） “虚功”区别于“实功”，并非不存在。 ● 虚功原理（包含虚位移原理和虚力原理） ◆ 定义：外力所做的虚功等于外力产生的内力在 微段上所做的虚功之和。 ◆ 虚功方程：外力虚功=内力虚功（ ） ◆ 虚位移原理 位移状态：可能的位移；力状态：真实的平衡力系。
（续） ● 虚力原理 位移状态：真实的位移（拟求）； 力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。 ● 微元分析（计算变形体内力虚功） 广义力：N、Q 、M ；广义位移：dλ、dη、dθ 广义虚力： 、 、 微元内力虚功：
§9.3 单位荷载法及其位移计算公式 ● 虚拟力——单位荷载（最简） P=1 或 M=1 或 广义单位力（成对） ● 总外力虚功： 总内力虚功： ● 位移计算的一般公式：
§9.4 荷载作用下的位移计算 1。假设材料是线弹性的（满足虎克定律） 轴向应变： 平均切应变： 弯曲应变：
（续） 2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式： 3。荷载作用下位移计算的步骤： ⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载； ⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 ⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM ⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式 ●梁和刚架 （仅取一项） ●桁架 ●组合结构 ●拱 ●微弯曲杆（同梁）
q P=1 A A B B x x x x l C C l 5。荷载作用下位移计算举例（积分法） 例1. 求刚架（折杆）自由端A点的竖向位移（挠度） ΔAY（E、I、A=常数）。 虚拟状态（力） 实际状态（位移、变形）
解： 1. 逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态 的各杆内力方程。 AB段： BC段：
（续） 2. 在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态，并 写出该状态内力方程。 AB段： BC段： 3. 代入位移计算公式：
（续） 其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2 结论： ⑴ 对于浅梁，轴力和剪力影响所占比重不大。 ⑵ 轴力项和剪力项通常可略去，仅取弯矩项。
例2. 计算图示桁架下弦中点C的挠度。已知各杆弹性模量 ，截面面积 。
思考：虚拟状态（单位荷载）的选取 求桁架如下位移： D点水平位移 DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角 CD杆与CE杆相对转角（夹角DCE改变量）
例3. 图示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为α，半径为R 。设沿水平线作用均布荷载q，求B点的竖向位移。并比较剪切变形和轴向变形对位移的影响。 虚拟状态 实际状态
（续） 忽略小曲率杆的曲率影响，仍用直杆位移公式。 实际荷载 虚拟荷载 坐标变换：
P=1 q B A B A C C x x l/2 l/2 l/2 l/2 *例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比较 弯曲变形与剪切变形对位移的影响（梁的截面为矩形：b×h）。 实际位移状态 虚拟力状态 答案：
§9.5 图乘法 （维利沙金,1925） 一、图乘法的应用条件： ● 直杆 ● EI不变 ● 至少有一个直线弯矩图 （竖标 应取自直线图） 二、图乘法的计算公式 公式推导示意图
三、图乘法公式的推导 （ 同侧为正、异侧为负）
四、图乘的分段和分块叠加 • 常见图形的面积和形心 • 凸抛物线： • 凹抛物线：
3. 复杂图形分块图乘 （面积和形心位置难确定）
五、图乘法计算位移举例 • 求承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。 （思考：能否整块图乘？）
求悬臂梁自由端挠度（多种荷载分块） （错在哪?!）
求在水压作用下刚架C、D两点相对水平位移， • EI=常数。
求三铰刚架铰C左、右两截面的相对转角， • EI=常数。
§9.6 温度变化时的位移计算 ●静定结构温度变化时不引起内力，但结构产生 变形和位移； ●应用单位荷载法的位移公式； ●内力虚功表达式（不产生剪切变形）： ●关键：求出由于温度变化引起的应变
●温度变化时变形微元分析 上下缘温差： 平均温变： 或 （后式仅用于截面不对称于形心轴，即 时）
（续） 当材料线膨胀系数为α，微段ds变形为： ● 计算温度变化引起的位移公式：
（续） ● 若 沿各杆全长为常数，则公式为： ● 正负号规定： 轴力以拉力为正， 以温度升高为正； 弯矩和温差 引起同向弯曲为正，异向为负。
算 例 ● 试求图示刚架C点的竖向位移。a = 4m,α= 0.00001, 各杆截面为矩形，截面高度 h = 40cm.
（续） 解：
§9.7 支座移动时的位移计算 ● 静定结构当支座有移动时，将发生刚体位移， 不引起应变，也不引起内力。 ● 刚体位移可用几何方法计算，也可用虚功原理 求解。 ● 单位荷载法的计算公式为： 式中，c为实际的支座移动， 是与 P = 1平衡 的支座反力。
（续） ● 计算支座移动引起位移的步骤: ⑴ 沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载； ⑵ 据平衡条件求相应于支座移动c方向的虚反力 ； ⑶ 由公式 计算位移Δ；
算例：求刚架由于支座下沉引起的位移 求截面B转角 刚架A支座下沉 求B点水平位移
§9.8 线性变形体系的互等定理 ●功的互等定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态位移上所作的虚功W12；等于第二状态的外力在第一状态位移上所作的虚功W21。 外力虚功互等： 1872年E.Betti(意大利）
（续） ● 位移互等定理 由功的互等定理： 有 因 故 在任一线性变形体系中，由单位荷载P1 =1引起的与荷载P2相应的位移在数值上等于由单位荷载P2 =1引起的与荷载P1相应的位移。 （1864年J.C.Maxwell 英国 最早 研究桁架位移时发现）
（续） ● 反力互等定理 由功的互等定理： 有 因 故 在任一线性变形体系中，由单位支座位移c1 =1所引起的与支座位移c2相应的支座反力，在数值上等于由单位支座位移c2 = l所引起的与支座位移c1相应的支座反力。（1874年瑞利 英国）
（续） ● 反力位移互等定理： （量纲不同） ● 四个互等定理的应用范围： ⑴ 线弹性结构（静定、超静定，满足虎克定律）； ⑵ 结构变形（位移）微小（叠加原理成立）。 • 结论： • ① 功的互等定理最基本，可据之推导其它三个定理。 • 变形体的虚功原理和线弹性体的互等定理是力学 • 中的基本原理，是结构分析的重要工具。
P 3Pl/16 C B B C A A 5Pl/32 (b) (a) l/2 l/2 l/2 l/2 状态二：位移状态 状态一：力状态 实用例题：求未知位移或未知力 ◆ 已知图(a)所示结构的弯矩图，试用功的互等定理求图(b) 所示结构由于左端A转动 而使梁跨中产生的挠度 。 解：由功的互等定理： 即 ， 得
