Concavidade

1. Concavidade Profª Ana Cristina Corrêa Munaretto Licenciada em Matemática Especialista em Expressão Gráfica no Ensino Mestre em Matemática Aplicada

2. Revisando pontos extremos

3. Concavidade O gráfico da função é côncavo para baixo no intervalo (-,0) e côncava para cima no intervalo (0, ).

4. Concavidade Como determinar a concavidade do gráfico de uma função? Observe o crescimento e o decrescimento da derivada da função f:

5. Concavidade Observe que no intervalo (-, 0), a derivada y’ decresce e o gráfico é côncavo para baixo. Já no intervalo (0, ), a derivada y’ cresce e o gráfico é côncavo para cima.

6. Concavidade Portanto, para determinar a concavidade do gráfico de f, precisamos verificar onde a função f’ é crescente e onde ela é decrescente, ou seja, precisamos verificar onde a derivada de f’ é positiva e onde a derivada de f’ é negativa. Mas, a derivada de f’ é a função f’’, logo, para saber a concavidade da função f, precisamos estudar o sinal da função f’’.

7. Concavidade • Teorema: Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I. • Se f”>0 em I, então f tem a concavidade para cima em I. • Se f”<0 em I, então f tem a concavidade para baixo em I.

8. Ponto de inflexão • Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão. Ponto de inflexão

9. A forma de um gráfico f(0)=10 f(2)=-6 f(3)=-17

10. Teste da Segunda derivada para pontos extremos • Seja f uma função tal que f’(x0) = 0 e tal que a segunda derivada de f exista em um intervalo aberto contendo x0. • Se f ’’(x0) > 0, então f tem um mínimo relativo em ( x0, f(x0)). • Se f ’’(x0) < 0, então f tem um máximo relativo em ( x0, f(x0)). • Se f ’’(x0) = 0, o teste falha. Neste caso, podemos usar o Teste da Primeira Derivada.