Векторы

1. Векторы

2. Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными: площадь, длина, объём, температура, работа, масса. • Другие величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением, называются векторными: сила, скорость, ускорение, перемещение точки. • Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

3. конецвектора В • Вектор – направленный отрезок. начало вектора А - одинаково направленные - противоположно направленные

4. Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают. • Длина вектора (длина∼модуль∼абсолютная величина) – расстояние между началом и концом. • обозначение: или ;

5. Векторы, противоположно направленные и имеющие одинаковые длины, называются противоположными. • Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. обозначение:

6. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

7. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

9. Линейные операции над векторами. С • Сумма векторов. В А правило треугольника Чтобы сложить два вектора, надо от конца первого вектора отложить второй вектор. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго и будет суммой векторов.

10. Аналогично определяется сумма трёх и более векторов. Каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом последнего и будет суммой векторов. Указанный способ построения суммы называется правилом замыкающей.

11. правило параллелограмма Чтобы сложить два вектора, надо оба вектора отложить из одной общей точки. Построить на векторах параллелограмм. Тогда одна из диагоналей параллелограмма, имеющая началом общую точку и будет суммой векторов.

12. правило треугольника • Разность векторов. правило параллелограмма

13. Чтобы вычесть один вектор из другого, надо оба вектора отложить из одной общей точки, соединить их концы. Результирующий вектор направлен к тому вектору, от которого вычитают.

14. Произведением вектора на число λназывается вектор , удовлетворяющий условиям: • Умножение вектора на число (скаляр).

15. Свойства линейных операций. закон коммутативности закон ассоциативности противоположный вектор

16. закон дистрибутивности относительно сложения чисел закон дистрибутивности относительно сложения векторов закон ассоциативности относительно умножения чисел

17. 1. Построить векторы:

19. 2. ABCDA1B1C1D1- куб. Найти вектор, равный B1 C1 A1 D1 B C D A Ответ:

20. 3. ABCDA1B1C1D1- куб. Выразить через векторы вектор , если К- середина DD1. B1 C1 A1 D1 K B C D A Ответ:

21. 4. Дан параллелограмм ABCD. Точка О- точка пересечения его диагоналей. Выразить вектор ОР через векторы если Р- середина ВС. B Р C О A D Ответ:

22. 5. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Выразить через векторы векторы: C B D E A F Ответ:

23. Проекция вектора на ось. • Проекциейвектора на ось ℓ называется число, равное длине вектора , т.е. B A ℓ A1 B1 Если или , то

24. Угол φмежду вектором и осью ℓ: 0 ≤ φ≤π φ ℓ

25. Основные свойства проекции. φ ℓ Доказательство. Если , то

26. φ (π-φ) ℓ Если , то Если , то

27. ℓ

28. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число. Доказательство. свойство (1) Если , то Если , то