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§1 实数 §2 数集 . 确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数

第一章 实数集与函数. §1 实数 §2 数集 . 确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数. 第一章 实数集与函数. §1 实 数. 几个常用符号. 1. 我们用符号“ ” 表示“任取”. 或“对于任意的”. 或“对于所有的” ,. 符号 “ ” 称为全称量词. 2. 我们用符号“ ” 表示“存在”. 符号“ ” 称. 为存在量词. 例：命题“对任意的实数 x , 都存在实数 y , 使得 x+y =1” 可表示为“  x  R ,  y  R , 使 x+y =1 ”.

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§1 实数 §2 数集 . 确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数

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  1. 第一章 实数集与函数 §1 实数 §2 数集.确界原理 §3 函数概念 §4 具有某些特性的函数

  2. 第一章 实数集与函数 §1实 数

  3. 几个常用符号 1. 我们用符号“” 表示“任取” 或“对于任意的” 或“对于所有的” , 符号“” 称为全称量词.

  4. 2. 我们用符号“”表示“存在”. 符号“”称 为存在量词. 例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR, 使x+y=1”

  5. 3. 我们用符号“”表示“充分条件” 或 “推出” 这一意思. 比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 则“ p  q”表示“ 若p成立, 则q也成立”. 即p是q成立的充分条件.

  6. 4. 我们用符号“”表示“当且仅当” 或 “充要条件” 这一意思. 比如“pq”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.

  7. 一、集合 • 1.集合 • 集合 • 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. • 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. • 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. • a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. • a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.

  8. 集合的表示 • 列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. • 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.

  9. 几个数集 • 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. • 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. • 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. • 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集. • 子集 • 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B). • AB若xA, 则xB. • 显然, NZ, ZQ, QR.

  10. 2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集. 提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集.

  11. 集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. • (AB)CACBC的证明 x(AB)C xABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.

  12. 直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2.

  13. 给定两个非负实数 = = x a . a a a , y b . b b b , a , b 其中 为非负整数 ， L L L L 0 1 2 n 0 1 2 n 0 0 = £ £ £ £ a , b ( k 1 , 2 , ) 0 a 9 , 0 b 9 . 为整数 ， L k k k k = = = a b , k 1 , 2 , , x y x y 若有 则称 与 相等 ， 记为 ； L k k > = = > a b l , a b ( k 1 , 2 l ) a b 若 或存在非负整数 使得 而 L + + 0 0 k k l 1 l 1 > < x y y x x y y x . 则称 大于 或 小于 ， 分别记为 或 3.实数集 • 两个实数的大小关系 • 定义1 说明: 说明: 对于负实数x,y,若有-x = -y与-x > -y, 则分别称x = y与x <y (y >x) .自然规定任何非负实数大于任何负实数

  14. = x a . a a a 设 为非负实数 L L 0 1 2 n = x a . a a a x n 称有理数 为实数 的 位不足近似 ， L n 0 1 2 n 1 = + = x x x n 0 , 1 , 2 , 而有理数 称为 的 位过剩近似 ，n L n n n 10 = - x a . a a a n 负实数 的 位不足近似与过剩近似 L L 0 1 2 n £ £ £ x x n x x x , 实数 的不足近似 当 增大时不减 ， 即有 L 1 0 1 2 n = - = - x a . a a a x a . a a a . 分别规定为 与 L L n ³ ³ ³ x n x x x . n 0 1 2 n 0 1 2 n 过剩近似 当 增大时不增 ， 即有 n L 10 0 1 2 n • 定义2 说明: 说明:

  15. = = x a . aa y b . bb 设 与 为两个实数 ， L L > $ Î > x y : n N , x y . 则 的充要条件是 + n n x x n y y n . 其中 表示 的 位不足近似 ， 表示 的 位过剩近似 n n • 命题1

  16. 实数的性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .

  17. a > b > 0, . ， 4.实数具有阿基米德性, 即对任何 则存在正整数 n,使得 nb > a. • 实数的性质 3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有a>c

  18. 实数的性质 5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数. 6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.

  19. < < x , y : r : x r y . 设 为实数 ， 证明 存在有理数 满足 1 < < = + x y , n x y . r ( x y ) 由于 故存在非负整数 ， 使得 令 n n n n 2 £ < < £ < < r x x r y y , x r y . 则 为有理数 ， 且有 即得 n n 例1 证明

  20. Î e < + e £ a , b R , : a b , a b . 设 证明 若对任何正数 有 则 . 用反证法 假若结论不成立 ， 则根据实数的有序性 > e = - e = + e a b . a b , a b , 有 令 则 为正数且 这与假设 < + e £ a b . a b . 矛盾 从而必有 例2 证明

  21. 3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理. P9: 1, 2, 3, 4, 5.

  22. §2数集.确界原理 第一章 实数集与函数

  23. 1.区间和邻域 • 有限区间 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a,b), 即 (a,b)={x|a<x<b}. [a, b]={x|axb}——闭区间. [a, b)={x|ax<b}——半开区间, (a, b]={x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.

  24. 1.区间和邻域 • 无限区间 [a, +)={ x|ax}, (-, b]={ x|xb}, (a, +)={ x|a<x}, (-, b)={ x|x<b}, (-, +)={ x| |x|<+}.

  25. 。 U(a, )={x|0<|x-a|<}. • 邻域 • 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). • 设>0, 则称 • U(a, )=(a-, a+)={x| |x-a|<} • 为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径. • 去心邻域

  26. Î £ S R M ( L ) x S x M 设 是 中的一个数集 ， 若存在数 ， 使得对一切 ， 都有 ³ ( x L ), S ( ) M ( L ) S ( ). 则称 为有上界 下界 的数集 ， 数 称为 的一个上界 下界 { } = N n n . 例如 数集 为正整数 有下界而无上界 + 1 N . 显然 ， 任何一个不大于 的实数都是 的下界 + " > = + > M 0 , n [ M ] 1 , n M , N . 取 则 即 无上界 + 0 0 2.确界原理 • 定义1 说明: 若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集. 若数集S不是有界集,则称S为无界集.

  27. h S R 设 是 中的一个数集 ， 若数 满足 x S R 设 是 中的一个数集 ， 若数 满足 " Î ³ h h ( i ) x S , x . S ; 有 即 是 的下界 " Î £ x x ( i ) x S , x . S ; 有 即 是 的上界 " b > h $ Î < b h ( ii ) , x S , x , S 使得 即 又是 的最大下界 ， 0 0 $ Î > a " a < x x S , x , 使得 ( ii ) , x h h = S 即 又是 的最小上界 ， S inf S . 则称数 为数集 的下确界 ， 记作 0 0 xn x1 x4 x3 x5 x2 x0 x x = S sup S . 则称数 为数集 的上确界 ， 记作 S a x • 定义2 同理可得下确界的定义. • 定义3: 说明:

  28. 设 A, B为非空数集,满足: 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且 由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界, A中任一数 都是B的下界, 是数集A的一个上界,而由上确界的定义知 是数集A的最小上界, 故有 • 确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界. 例3 证: 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.

  29. 设A,B为非空有限数集, . 证明: 而此式又表明数 是数集B的一个下界, 故由下确界的定义证得 故得 例4 证:

  30. 所以 综上,即证得 (ii) 可类似证明.

  31. 3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理. P9: 1, 2, 3, 4, 5.

  32. §3 函数概念 第一章 实数集与函数

  33. 1.函数概念 • 定义 设数集DR, 则称映射f : DR为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD. 说明: 说明: 说明: 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“yf(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、 yF(x)、y(x)等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.

  34. 函数的两要素 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. • 函数的定义域 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域.

  35. 函数的表示法 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 {P(x, y)|yf(x), xD} 称为函数yf(x), xD的图形.

  36. 单值函数与多值函数 • 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. • 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数: 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支

  37. 例6 • 函数举例 例5函数 y=2. 这是一个常值函数, 其定义域为D=(-,+), 其值域为Rf={2}. 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf=[0, + ).

  38. 例7 此函数称为符号函数, 其定义域为D=(-, +) , 其值域为Rf={-1, 0, 1}. 例8函数y=[x]. 此函数称为取整函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf=Z. 注:设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作[x].

  39. 例9 此函数的定义域为D=[0, 1](0, +)=[0, +). f(3) =1+3=4. • 分段函数 • 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.

  40. 函数yx3, xR的反函数是 2.反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f1: f(D)D, 称此映射f1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf1(x), xf(D). 例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为 提问: 下列结论是否正确？

  41. 2.反函数 • 反函数 • 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 • f1: f(D)D, • 称此映射f1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf1(x), xf(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f1必定存在, 而且容易证明f1也是f(D)上的单调函数.

  42. 反函数 • 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 • f1: f(D)D, • 称此映射f1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf1(x), xf(D). 相对于反函数yf1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf1(x)的图形关于直线 yx 是对称的.

  43. 3.复合函数 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 则由 yf[g(x)], xD 确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为fog, 即 (fog)(x)f[g(x)]. 说明: g与f 构成的复合函数fog的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如>>>

  44. 4.函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) fg : (fg)(x)f(x)g(x), xD; 积 fg : (fg)(x)f(x)g(x), xD;

  45. 例10设函数f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 证 则 f(x)g(x)h(x), 且 提示: 如果f(x)g(x)h(x), 则f(x)g(x)h(x), 于是

  46. 基本初等函数 　　幂函数: yx (R是常数); 指数函数: yax(a0且a1); 对数函数: ylogax (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . >>>

  47. (一)幂函数的图形

  48. 同一坐标系中幂函数的图象

  49. (二)指数函数的图形

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