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能量原理及其应用 理想磁流体 (IMHD) 不稳定性

能量原理及其应用 理想磁流体 (IMHD) 不稳定性. 胡希伟 核聚变与等离子体离体物理暑期讲习班 2007.8.7. 等离体不稳定性概述. 不稳定性现象. 一个力学系统当处在力学平衡状态 ( 总的受力为零 ) 时 , 如受到一个小扰动力的作用、就会偏离平衡态 . 系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种情况 -- 扰动幅度随时间而减小 , 即阻尼的扰动 ; -- 扰动辐度不随时间变化 , 即稳定的波动 ; -- 扰动的辐度随时间而增大 , 即不稳定的扰动 , 或称不稳定性. 不稳定性起因.

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能量原理及其应用 理想磁流体 (IMHD) 不稳定性

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  1. 能量原理及其应用理想磁流体(IMHD)不稳定性 胡希伟 核聚变与等离子体离体物理暑期讲习班 2007.8.7

  2. 等离体不稳定性概述 总100页

  3. 不稳定性现象 • 一个力学系统当处在力学平衡状态(总的受力为零)时,如受到一个小扰动力的作用、就会偏离平衡态. • 系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种情况 --扰动幅度随时间而减小,即阻尼的扰动; --扰动辐度不随时间变化,即稳定的波动; --扰动的辐度随时间而增大,即不稳定的扰动, 或称不稳定性. 总100页

  4. 不稳定性起因 • 对处在力学平衡下系统的小扰动会使系统的总能产生小的变化. • 如果扰动使系统总能增加,则扰动能就会转变成系统的总能.这样扰动辐度就随时间而减少.这就是阻尼的扰动. • 在稳定的扰动—波动情况下,扰动不改变平衡系统的总能量. • 在不稳定的扰动下,系统会进入总能更低的状态,从而把一部份能量转给了扰动、使它随时间而增长.这部份可以交给扰动的能量被称为自由能. 总100页

  5. 等离体不稳定性分类(1) • 宏观(流体)的不稳定性(3维坐标空间) --磁(单)流体不稳定性 ---理想的磁流体(Ideal MHD)不稳定性 ---电阻(耗散)的磁流体不稳定性 --电磁(双)流体不稳定性 • 微观(动理学)的不稳定性(3维坐标空间+3维速度空间) 总100页

  6. 等离体不稳定性分类(2) • 按扰动的极化性质分类 --静电型; --电磁型; --静电-电磁混合型. • 按不稳定扰动随时间变化特征分类 --线性不稳定的扰动(A=A0 +A1, A1<<A0) --非线性不稳定的扰动,或弱湍流、发展中湍流 --饱和的不稳定扰动,或完全发展了的湍流 • 按扰动本身的特征时间和空间尺度 --理想磁流体时间(τA=1/kva, k≈1/a); --电阻磁流体时间(τR=μa2/η); --混合型. 总100页

  7. 线性不稳定性描述方法 • 简正模(时间可作Laplace (A1∝exp[-iωt] )变换)法 --扰动量的全部空间变量均可作Fourier变换(A1∝exp[ik·x] ),它的线性微分方程、变成关于(ω,k)的齐次代数方程. 由解的存在条件得出色散方程: ω=ω(k)=ωR+iωI . 当ωI>0，扰动不稳定(exp[ωIt]); 当ωI<0，扰动衰减; 当ωI<0，扰动是稳定的波. --部分(等离体参量均匀)空间可作Fourier变换,全空间的微分方程变成剩余坐标的约化微分方程,由其解和边界(或连接)条件得出色散关系; --微分方程存在奇异性,由奇点处的非平凡解存在条件得出色散 关系. • 能量原理(仅对IMHD系统适用) • 初值(初始扰动的时间演化)问题 总100页

  8. Tokamak中主要的磁流体不稳定性 • IMHD不稳定性 --外kink (扭曲)模 --内kink (扭曲)模 --Exchange (交换)模, 特别是Ballooning(气泡)模 • 电阻MHD不稳定性 --Tearing(撕裂)模, -- Neo-classical Tearing Mode (NTM) • 介于IMHD和耗散MHD之中的模 --RWM (Resistance Wall Mode, 电阻壁)模 总100页

  9. MHD不稳定性从两个方面决定了tokamak等离体的运行性能和极限MHD不稳定性从两个方面决定了tokamak等离体的运行性能和极限 总100页

  10. 对Tokamak运行性能的第一类限制 • MHD不稳定性决定了tokamak可达到的 --最大plasma电流, --最大plasma压强(β)及其梯度, --并在决定plasma的最大密度上起重要作用. • 这样,在决定反应堆水平tokamak基本设计和plasma性能的三个关键物理基石: β极限、密度极限和能量约束时间中,有二个和MHD不稳定性有关. • 而上述三个物理量综合起来决定了 --可以产生的聚变功率: Pfusion --聚变功率增益: Q=Pfusion/Pauxilary --中子在壁上的负荷 总100页

  11. 对Tokamak运行性能的第二类限制 • 至今已知道:有一些破裂是在任何反应堆尺度的Burning plasmas中都会不可避免地出现的. • 而破裂决定了tokamak某些结构和元件—尤其是那些与plasma功率和粒子排出有关的元件--的使用寿命. • 而这些破裂是MHD不稳定性的直接或最后结果.为了减少破裂出现的次数,以及在它不可避免出现时、减缓或软化它的后果,必须通过对引发破裂的MHD不稳定性有深入和定量的了解. 总100页

  12. ITER中重要的IMHD不稳定模式 • 锯齿(Sautooth)模 --内kink模,在正磁剪切下产生NTMs的种子磁岛,结果 设置了βN极限值,并使能量约束变坏. • 电阻壁模(RWM—Resistance Wall Mode) --自举电流驱动的外kink模,对具有反(负)磁剪切的等 离体设置了βN极限值. • 局域的内MHD模 --存在于具有内部输运垒(ITB)的高性能等离体中,限 制了稳态运行范围. 总100页

  13. 本讲座内容 柱形等离体中理想磁流体力学(IMHD)扰动的能量原理及不稳定模式 • 准备知识 --扰动位移矢量ξ的IMHD线性方程 --F算子、其自伴性和相应的哈密顿量H --变分原理、能量原理 • 一维位形下的IMHD不稳定模式分析 • 直柱tokamak位形中的IMHD不稳定性分析 总100页

  14. 参考文献 • Progress in the ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 47(June, 2007)Chapter 3. • ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 39(1999)2137-2664. • 胡希伟, ‘等离子体理论基础’, 北京大学出版社, 2006, 第四章. • J. Wesson, ‘Tokamaks’, Second Edition, Clarendon Press – Oxford, 1997,Chapter 6. 总100页

  15. IMHD能量原理准备知识 总100页

  16. 能量原理的原理 总100页

  17. IMHD方程和总能量 总100页

  18. 线性化磁流体方程组 • 从磁流体力学方程组出发,取平衡解为: • 然后令: 总100页

  19. 引入位移矢量以直接积分二个方程 总100页

  20. 位移矢量ξ的运动方程,力算子 F 总100页

  21. 总能量守恒与算子 F自伴 总100页

  22. 位移矢量ξ的初值和简正模解 总100页

  23. IMHD本征模的三个特点 • 令 , 由F的自伴性可以证明: (1)ω2 为实数, ω 为正负实数或纯虚数. (2) 满足运动方程 -ω2ρ0ξ=F(ξ) 的ξ是实矢量, (3)若有分立谱本征值{ωn }(n=1,2,…),则所对应 的本征矢{ξn }构成正交集. -ωn2ρ0ξn=F(ξn) 总100页

  24. F 算子自伴性的证明 • 在‘等离子体理论基础 ’的第四章中, 对两种情况证明了F算子的自伴性。同时也给出了扰动位势δW（ξ，ξ）的具体表达式： --无界磁流体, --柱形，有界（r=a）磁流体. 总100页

  25. 无限大磁流体力学体系的扰动位能 总100页

  26. 总100页

  27. 力算子 F自伴性的证明 总100页

  28. 自伴性的最后证明 • 因为 ,而又能证明 , 总100页

  29. 自伴性的最后证明(续) 总100页

  30. 柱形磁流体力学体系 其中 是磁流体体积中的扰动位能.而后两项分别是柱面的扰动位能和柱外真空中的扰动位能 总100页

  31. 磁流体内扰动位能的第II种表达式 这是物理意义最清楚的一种表达式 其中第1项对应于弯曲磁力线的扰动(如剪切Alfven波); 第2项出自同 时压缩了流体和磁场的扰动 (如压缩Alfven波); 第3项则代表单独压 缩流体的扰动(如离子声波);这三种扰动都引起势能增加,是致稳项. 第4项是平行电流所驱动的不稳定扰动(Kink mode); 第5项是由压强梯度和磁场曲率联合产生的扰动,由于 <0,当 <0(坏曲率)时,这项为负、会驱动不稳定扰动(Interchange mode). 在整个扰动势能中只有这后两项是解(致)稳项. 总100页

  32. 磁流体内扰动位能的第IV 种表达式 • 这种表达式在推导Screw(螺旋)Pinch及直柱tokamak等离体中扰动位能表达式时特别方便. 总100页

  33. 变分原理 总100页

  34. 能量原理 总100页

  35. 如何挑选合适的ξ来极小化δWF 总100页

  36. 首先选取合适的ξ|| 来极小化δWF 总100页

  37. 总100页

  38. δW∥取极小与不可压缩性 总100页

  39. 总100页

  40. IMHD不稳定性分类 总100页

  41. 总100页

  42. External Kink Mode 总100页

  43. Internal Kink Mode 总100页

  44. Interchange Mode 总100页

  45. Ballooning Mode 总100页

  46. 休息! 就休息一会儿 总100页

  47. 一维位形下的IMHD不稳定性 • θ-Pinch • Z-Pinch • Screw Pinch及其定域内模的Suydam判据 总100页

  48. θ-Pinch 总100页

  49. 总100页

  50. 总100页

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