尺规作图方法介绍

1. 尺规作图方法介绍 鹿城区教师培训和科研中心 周晓虹 316183721@qq.com

2. 目 录 一、何为“尺规作图” 二、“尺规作图”可能问题 三、“尺规作图”不能问题 四、尺规作图的相关延伸 五、《数学课程标准》及中考要求

3. 一、何为“尺规作图” • 尺规作图就是只使用直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 • 这里的“直尺”和“圆规” 跟现实中的并非完全相同，具有抽象意义。 • 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。

4. 一、何为“尺规作图” • 尺规作图，起源于古希腊。 • 希腊人强调作图只能用直尺圆规，有下列原因： ①希腊几何的基本精神，是从极少的基本假定（定义、公理、公设）出发，推导出尽可能多的命题。 ②受柏拉图哲学思想的影响。 ③以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象。 • 史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯，他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。 • 伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。

5. 二、“尺规作图”可能问题 1、作图公法： • 经过两个已知点可作一直线； • 已知圆心和半径可作一个圆； • 若两已知直线相交，可求其交点； • 若一已知直线和一已知圆相交，可求其交点； • 若两已知圆相交，可求其交点。

6. 二、“尺规作图”可能问题 2、基本作图 ①做一条线段等于已知线段； ②作一角等于已知角； ③平分已知角； ④经过一点作已知直线的垂线； ⑤作线段的垂直平分线。

7. 二、“尺规作图”可能问题 3、例题分析 例1.已知：如图所示，ΔABC， 求作ΔA'B'C'，使ΔA'B'C'≌ΔABC. 例2. 已知：∠AOB及直线MN. 求作：点P，使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等.

8. 例3.已知ΔABC，求作一点，使点P到AB、AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等。例3.已知ΔABC，求作一点，使点P到AB、AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等。 例4.已知斜边，一锐角，作直角三角形。 例5.已知斜边、直角边，求作直角三角形。 例6.已知：三角形两边及第三边上的中线，求作三角形。　

9. 二、“尺规作图”可能问题 4、最基本的作图表述： • 过点×，点×作直线××；或作直线××；或作射线××． • 连结点×、×，或连结××． • 延长××到点×，使××=××． • 延长××交××于点×． • 在××上截取××=××． • 以点×为圆心，××为半径作圆（弧）． • 以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×． • 分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×、×．

10. 二、“尺规作图”可能问题 5、课堂练习： • 已知锐角∠a, ∠b(∠a>∠b). 求作一个角，使它等于2∠a-∠b. • 已知一角及其该角平分线长和一条邻边， 求作三角形. • 已知底边及一腰，求作等腰三角形. • （中考典例） 已知：射线OC． 求作：∠AOB，使OC平分∠AOB（不写做法，但要保留作图痕迹）．

11. 二、“尺规作图”可能问题 6、“尺规作图”的策略 （1）解作图题一般步骤： ①将题给的条件具体化； ②具体叙述所作图形应满足的条件； ③寻找作图方法的途径； ④根据分析所得的作图方法作出正式图形，并依次叙述作图的过程； ⑤为了验证所作的图形是否正确，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作的图形完全满足题中所要求的条件； ⑥研究这个问题是不是在什么条件下都能作出图形来．在什么情况下，有唯一解，或多解，或没有解．

12. 二、“尺规作图”可能问题 6、“尺规作图”的策略 （2）几何作图题的一般思路： ① 假设所求的图形已经作出，并且满足题中所有的条件。 ② 分析图中哪些是关键点，并探讨确定关键点的方法。 ③ 运用基本作图法确定关键点，然后完成作图。

13. 二、“尺规作图”可能问题 7、几种常见的尺规作图方法 （1）轨迹交点法 例1，电信部门要修建一座电视信号发射塔， 按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B 的距离必须相等，到两条高速公路m、n 的距离也必须相等，发射塔应修建在什么 位置？

14. 二、“尺规作图”可能问题 7、几种常见的尺规作图方法 （1）轨迹交点法 例2，在平面直角坐标系中，点A的坐标 是（4,0），点O是坐标原点，在直 线y=x+3上求一点P，使⊿AOP是等 腰三角形，这样的点P有几个？

15. 二、“尺规作图”可能问题 7、几种常见的尺规作图方法 （2）代数作图法： 例3，只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）。 例4，求作一正方形，使其面积等于已知⊿ABC的面积。

16. 二、“尺规作图”可能问题 7、几种常见的尺规作图方法 （3）旋转作图法： 例5，已知：直线a、b、c，且a∥b∥c. 求作：正⊿ABC，使得A、B、C 三点分别在直线a、b、c上.

17. 二、“尺规作图”可能问题 7、几种常见的尺规作图方法 （4）位似法作图： 例6，已知：一锐角⊿ABC 求作：一正方形DEFG，使得D、E在 BC上，F在AC上，G在AB上.

18. 二、“尺规作图”可能问题 7、几种常见的尺规作图方法 （5）面积割补法 例7，过⊿ABC的底边BC上一定点P， 求作一直线l，使其平分⊿ABC的面积.

19. 三、“尺规作图”不能问题 1、著名的几何三大问题（古典难题）： （1）化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。 （2）三等分角问题：三等分一个任意角。 （3）倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍。

20. 三、“尺规作图”不能问题 2、另外两个著名问题： （1）正多边形作法 （2）四等分圆周

21. 四、尺规作图的相关延伸 1、用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 （1）只用直尺及生锈圆规作正五边形 ； （2）生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB = BC = CA。 （3）已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点。 2、尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的。 3、10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。 4、几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决。

22. 五、《数学课程标准》及中考要求 • 2011版《数学课程标准》在第三学段的第二部分“图形与几何”中对“尺规作图”有明确要求： （1）会用尺规完成以下基本作图： 作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角； 作一个角的平分线； 作一条线段的垂直平分线； 过一点作已知直线的垂线。

23. 五、《数学课程标准》及中考要求 （2）会利用基本作图作三角形： 已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形； 已知底边及底边上的高作等腰三角形； 已知一直角边和斜边作直角三角形。 （3）会利用基本作图完成作图： 过不在同一直线上的三点作圆； 作三角形的内切圆； 作圆的内接正方形和正六边形。 （4）在上述尺规作图的问题中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。

24. 五、《数学课程标准》及中考要求 • 在中考中作图题主要有： 已知三边作三角形， 已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形； 已知底边及底边上的高作等腰三角形； 已知底边上的高及腰作等腰三角形； 已知一锐角和斜边作直角三角形。

25. 现实和理想之间，不变的是跋涉， 暗淡与辉煌之间，不变的是开拓； 整理你的行装， 不同的起点，可以到达同样辉煌的终点。

26. 感谢 聆听！