國小曾經學過， a 、 b 兩個正整數，若 a 可以被 b 整除，那麼 a 就是 b 的倍數， b 是 a 的因數。因此由下面的除式得知：

2. 國小曾經學過，a、b 兩個正整數，若 a 可以被 b 整除，那麼 a 就是 b 的倍數， b 是 a 的因數。因此由下面的除式得知： 132÷6＝22，所以 132 是 6 的倍數，而 6 是 132 的因數。 58÷6＝9⋯4，所以 58 不是 6 的倍數，而 6 不是 58 的因數。

3. 1 3 6 8 14 24 44 144 判斷下列各數中，哪些是144 的因數？ 144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12 所以上列中1、3、6、8、24、144 是144 的因數

4. a、b、c 三個正整數，若a＝b×c，則表示a÷b＝c 和a÷c＝b 都會成立，這時a 是b 和c 的倍數，而b 和c 是a 的因數，所以可以由144＝6×24 得知144 是6 和24 的倍數，或說6 和24 是144 的因數。

5. 例1 寫出整數的因數 寫出48 的因數。 解 因為48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8， 所以48 的因數有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。

6. 寫出216 的因數。 因為216＝1×216＝2×108＝3×72＝4×54 ＝6×36＝8×27＝9×24＝12×18 所以216 的因數有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216

7. 因為每一個正整數都可以寫成1 和它自己的乘積，所以1 是任何正整數的因數，或者說任何正整數都是1的倍數。 又因為0 不能當除數，所以0 不是任何整數的因數；而0＝1×0＝2×0＝3×0＝⋯⋯，即任意一個非零整數乘以0 都得到0，所以0 是任意非零整數的倍數。

8. 因數和倍數也可以延伸到負整數，說明如下： 由8＝1×8＝2×4，可以得到1、2、4、8 是8 的因數； 又8＝(－1)×(－8)＝(－2)×(－4)，因此1、2、4、8 和它們的相反數－1、－2、－4、－8 都是8 的因數。其中，1、2、4、8 稱為8 的正因數，－1、－2、－4、－8 稱為8 的負因數。 而－8＝1×(－8)＝2×(－4)＝4×(－2)＝8×(－1)，所以－8 的因數有1、2、4、8、－1、－2、－4、－8，和8 的因數完全相同。也就是說，互為相反數的兩個整數，它們的因數是完全相同的，其正因數和負因數也恰好分別互為相反數。因此，在國中階段只需討論正整數的正因數和正倍數。本書中，如果沒有特別指明，因數是指正因數，倍數是指正倍數。

9. 在國小時我們曾經學過： 1. 如果一個整數的個位數字是0、2、4、6、8，那麼這個數一定是2 的倍數；否則就不是2 的倍數。一般稱2 的倍數為偶數，不是2 的倍數為奇數。 2. 如果一個整數的個位數字是0 或5，那麼這個數一定是5 的倍數；否則就不是5 的倍數。

10. 例2 判別2、5 的倍數 若五位數1893□ 是2 的倍數，也是5 的倍數，則□＝？ 解 如果1893□ 是2 的倍數，則□ 可能為0、2、4、6、8； 如果1893□ 是5 的倍數，則□ 可能為0、5； 五位數1893□ 是2 的倍數，也是5 的倍數，則□＝0。

11. 設a 是四位數946□，試回答下列問題： ⑴ 若a 是5 的倍數，也是2 的倍數，則□ 為多少？ ⑵ 若a 是5 的倍數，但不是2 的倍數，則□ 為多少？ □＝0 □＝5

12. 如果一個整數是10 的倍數，則此數是否一定是2 和5 的倍數？ 是

13. 100 個積木，每4 個一堆，剛好分成25 堆而沒有剩餘，所以一個整數只要是100 的倍數，那麼每4 個一數，都不會有剩餘。利用這個方式，我們來了解如何判別一個數是否為4 的倍數。 以326 為例，我們可以將326 分成300 和26：

14. 300 是100 的倍數，每4 個一數剛好能分完，所以326 能不能被4 整除，只要看26 能不能被4 整除即可，而26÷4＝6⋯2，所以326 不是4 的倍數。 從上面的說明，可以得到一個結論： 4 的倍數判別法 如果一個整數的末兩位數字是4 的倍數或都是0，那麼這個整數就是4 的倍數；否則就不是4 的倍數。

15. 例3 判別4 的倍數 判別1998 和52160 這兩個數是不是4 的倍數。 解 ⑴ 1998 的末兩位數為98，而98÷4＝24⋯2，所以1998 不是4 的倍數。 ⑵ 52160 的末兩位數為60，而60÷4＝15，所以52160 是4 的倍數。

16. 判別2576 和39528 是不是4 的倍數。 • 2. 若五位數864□2 是4 的倍數，那麼□ 中可以是哪些數字？ 76÷4＝19，所以2576 是4 的倍數。 28÷4＝7，所以39528 是4 的倍數。 □2 為4 的倍數，所以□＝1、3、5、7、9

17. 如何判斷一個數是否為9 的倍數呢？ 以423 為例，我們可以將423 分成4 堆100、2 堆10 和3 堆1： 共剩下4＋2＋3＝9，可再合成1 堆，所以423 是9 的倍數。

18. 從上面的說明，可以得到一個結論： 9 的倍數判別法 如果一個整數的各個數字和是9 的倍數，那麼這個整數就是9 的倍數；否則就不是9 的倍數。

19. 例4 判別9 的倍數 判別1998 和2005 這兩個數是不是9 的倍數。 解 ⑴ 1998 的各個數字和是1＋9＋9＋8＝27，而27 是9 的倍數，因此1998 是9 的倍數。 ⑵ 2005 的各個數字和是2＋0＋0＋5＝7， 7不是9 的倍數，因此2005 不是9 的倍數。

20. 2005 被9 除的餘數是多少？ 7

21. 判別2556 和18954 這兩個數是不是9 的倍數。 • 2. 若四位數4□32 是9 的倍數，那麼□ 中可以是哪些數字？ 2＋5＋5＋6＝18，18 是9 的倍數，所以2556 是9 的倍數。 1＋8＋9＋5＋4＝27，27 是9 的倍數，所以18954 是9 的倍數。 4＋□＋3＋2＝9＋□，9＋□ 是9 的倍數，所以□＝0、9

22. 我們也可以利用9 的倍數判別法來了解如何判別一個數是否為3 的倍數。 例如：要判別423 是否為3 的倍數，我們可將423 分成4 堆100、2 堆10 和3堆1，共分成4＋2＋3＝9 堆，然後每3 個一數，一樣每堆都剩下1，所以總共剩下9，而9 又剛好可被3 整除，因此423 是3 的倍數。 從上面的說明，可以得到一個結論： 3 的倍數判別法 如果一個整數的各個數字和是3 的倍數，那麼這個整數就是3 的倍數；否則就不是3 的倍數。

23. 例5 判別3 的倍數 判別1977 和1997 這兩個數是不是3 的倍數。 解 ⑴ 1977 的各個數字和是1＋9＋7＋7＝24，24 是3 的倍數，因此1977 是3 的倍數。 ⑵ 1997 的各個數字和是1＋9＋9＋7＝26，26 不是3 的倍數，因此1997 不是3 的倍數。

24. 判別2056 和6501 是不是3 的倍數。 • 2. 若四位數4□31 是3 的倍數，那麼□ 中可以是哪些數字？ 2＋0＋5＋6＝13，13 不是3 的倍數，所以2056 不是3 的倍數。 6＋5＋0＋1＝12，12 是3 的倍數，所以6501 是3 的倍數。 4＋□＋3＋1＝8＋□，8＋□ 為3 的倍數，所以□＝1、4、7。

25. 例如： 奇數位數字和＝5＋4＋9＝18 偶數位數字和＝6＋1＝7 因為18－7＝11，而11 是11 的倍數， 所以56419 是11 的倍數。 要檢查一個整數是否為11 的倍數，判別方法如下： 11 的倍數判別法 先算出這個數的奇數位數字和及偶數位數字和，如果這兩個和的差是11 的倍數或0，那麼這個整數就是11 的倍數；否則就不是11 的倍數。

26. 除除看，56419 是否真的是11 的倍數？ 56419÷11＝5129⋯0 所以56419 是11 的倍數。

27. 例6 判別11 的倍數 判別51370 和281604 這兩個數是不是11 的倍數。 解 ⑴ 因為51370 的奇數位數字和減偶數位數字和為(5＋3＋0)－(1＋7)＝0 是11 的倍數，所以51370 是11 的倍數。 ⑵ 因為281604 的奇數位數字和減偶數位數字和為(8＋6＋4)－(2＋1＋0)＝15 不是11 的倍數，所以281604 不是11 的倍數。

28. 判別2468 和13579 這兩個數是不是11 的倍數。 • 2. 若73854□6 是11 的倍數，那麼□ 中可以是哪些數字？ (2＋6)－(4＋8)＝8－12＝－4， 所以2468 不是11 的倍數。 (1＋5＋9)－(3＋7)＝15－10＝5， 所以13579 不是11 的倍數。 (7＋8＋4＋6)－(3＋5＋□)＝17－□ 17－□ 是11 的倍數，所以□＝6。

29. 每一個大於1 的整數至少有兩個因數，一個是「1」，另一個是「它自己」。如果剛好只有1 和它自己兩個因數，這樣的數稱為質數；如果除了1 和它自己以外，還有其他的因數，這樣的數稱為合數。一般規定1 不是質數也不是合數。

30. 例7 判斷質數與合數 判別9 和29 是質數還是合數。 解 ⑴ 9 的因數除了1 和9 之外，還有因數3，所以9 是合數。 ⑵ 29 的因數只有1 和29，所以29 是質數。

31. 20 以內(含20)的質數有哪些？合數有哪些？ • 2. 57 與132 是質數嗎？說出你的理由。 質數：2、3、5、7、11、13、17、19 合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20 ⑴ 57＝1×57＝3×19，57 除了1 和本身以外，還有因數3 和19，所以57 不是質數。 ⑵ 132＝1×132＝2×66＝3×44＝4×33＝6×22＝11×12 132 除了1 和本身以外，還有因數2、3、4、6、11、12、22、33、44、66，所以132 不是質數。

32. 要判別一個數是不是質數，只要看它能不能被比它小的質數整除就好。我們以17 為例，判別17 是不是質數。觀察1∼16 的整數： 17 不能被2 整除，所以17 也不能被4、6、8、10、12、14、16 整除； 17 不能被3 整除，所以17 也不能被6、9、12、15 整除； 17 不能被5 整除，所以17 也不能被10、15 整除； 17 不能被7 整除，所以17 也不能被14 整除； 17 不能被11、13 整除。 因此要判別17 是不是質數，只要看17 能不能被比17 小的這些質數2、3、5、7、11、13 整除就好。

33. 仿照上述方式判別31 是不是質數。 比31 小的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29， 而31 都不能被這些質數整除，所以31 是質數。

34. 篩出與檢驗1～100中的質數 在下頁的百數表中，依下列過程操作，並回答問題： ⑴ 1 不是質數，刪去1。 ⑵ 在所有2 的倍數中，除了2 是質數，其他都是合數，所以保留2，再依序刪去2 的倍數。 ⑶ 仿照⑵，以同樣的道理，分別保留3、5、7，再依序刪去3、5、7 的倍數。

35. ⑷ 保留11，刪去11 的倍數，此時你發現什麼？ ⑸ 保留13，刪去13 的倍數，此時你發現什麼？ ⑹ 列出到目前剩下的數，並檢驗它們是否為質數？ 11 的倍數都已經在刪去2、3、5、7 的倍數時被刪去了。 13 的倍數都已經在刪去2、3、5、7 的倍數時被刪去了。 剩下的數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，它們都是質數。

36. 在上述找出1∼100 中的質數的過程中，是否只要完成步驟⑴∼⑶即可？ 是

37. 如果一個整數的因數是質數，我們稱此因數為這個整數的質因數。例如：18 的因數有1、2、3、6、9、18，而18 的這些因數中2、3 是質數，所以2、3就是18 的質因數；其他的因數1、6、9、18 都不是18 的質因數。

38. 寫出24 的質因數。 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24 的質因數有2、3

39. 將某數用質因數的乘積來表示 1. 用樹狀圖將某合數分解成質因數的乘積，其步驟如下： 步驟一： 先將某合數分解成兩個整數的乘積。 步驟三： 重複步驟二，直到所有的數都分解成質數為止。 步驟二： 觀察分解出來的兩個整數，將不是質數的數再分解成兩個整數的乘積。 步驟四： 將所有分解出來的質數寫成連乘積。

40. 2. 下面是252 因數分解的樹狀圖，在圈圈內填入適當的數。 36 18 63 18 9 7 21 9 3 7 3

41. 3. 觀察上面三個樹狀圖，分解的過程是否相同？分解的結果是否相同？ 分解的過程不一定相同，但分解的結果一定相同。

42. 由問題探索2 發現：252 的質因數有2、3、7，而且不管怎麼分解，最後都可以寫成它們的乘積：2×2×3×3×7。 質因數分解 每一個合數都可以分解成質因數的連乘積，把一個正整數分解成質因數的連乘積的過程稱為質因數分解。 在做質因數分解時，除了利用問題探索2 樹狀圖的方式之外，其實還有一種更方便的方法，就是短除法。

43. 例8 整數的質因數分解 將108 做質因數分解。 解

44. 分別將120 與504 做質因數分解。 120＝2×60 ＝2×2×30 ＝2×2×2×15 ＝2×2×2×3×5 504＝2×252 ＝2×2×126 ＝2×2×2×63 ＝2×2×2×3×21 ＝2×2×2×3×3×7

45. 從例8 可知，108 可以分解成兩個2 和三個3 的乘積。當兩個或兩個以上相同的數相乘時，還可以利用「指數」來表示，也就是 108＝2×2×3×3×3 ＝22×33 2 個 3 個 標準分解式 將一個合數做質因數分解，若按照質因數的大小，由小到大排列，並將相同質因數的乘積寫成指數的形式，則這樣的表示法稱為標準分解式。

46. 例9 利用質因數分解寫出標準分解式 將180 做質因數分解，再寫出它的標準分解式。 解 所以180 的標準分解式為 180＝2×2×3×3×5 ＝22×32×5

47. 75＝3×52 150＝2×3×52 1188＝22×33×11 分別將下列各數做質因數分解，再寫出它的標準分解式。 ⑴ 75 ⑵ 150 ⑶ 1188

48. 1 因數、倍數的意義 a、b、c 為整數，且 b≠0、c≠0，若 a＝b×c，則 a 為 b、c 的倍數；b、c 為 a 的因數。 註： ⑴ 0 不是任意整數的因數；0 是任意非零整數的倍數。 ⑵ 1 是任意整數的因數；任意整數都是 1 的倍數。 2 2 的倍數判別法 如果一個整數的個位數字為 0、2、4、6、8，則這個整數就是 2 的倍數。 例 32、60、128、1356

49. 3 5 的倍數判別法 如果一個整數的個位數字為 0 或 5，則這個整數就是 5 的倍數。 例 45、100、645、3370 4 4 的倍數判別法 如果一個整數的末兩位數字是 4 的倍數或都是 0，則這個整數就是 4 的倍數。 例 36、76、108、852、1468

50. 5 9 的倍數判別法 如果一個整數的各個數字和是 9 的倍數，則這個整數就是 9 的倍數。 例 612：6＋1＋2＝9　→ 9 為 9 的倍數，所以 612 是 9 的倍數。 6 3 的倍數判別法 如果一個整數的各個數字和是 3 的倍數，則這個整數就是 3 的倍數。 例 147：1＋4＋7＝12　→ 12 為 3 的倍數，所以 147 是 3 的倍數。