第 2 章完全非线性函数

第2章完全非线性函数 定义2.1设f 是从有限交换群(A,+)到有限交换群 (B,+)的函数，令则称为f 的差分均匀度. (1) . (2) 当f 为仿射函数时， . (3) 当时，下限没有实际意义.

第2章完全非线性函数 定义2.2设f 是从有限交换群(A,+)到有限交换群(B,+) 的函数，，如果，则称f 为完全非线性函数(Perfect Nonlinear Function),简称PN函数. (1)从(A,+)到(B,+)存在PN函数的必要条件是 . (2)设 f 是从n阶交换群到m阶交换群的函数， ,则 f 为PN函数对为平衡函数.

第2章完全非线性函数 PN函数与仿射平面、半正则相对差集和交换半域之间有着十分密切的联系. • 当时，从A到B的PN函数可以确定一个 • 仿射平面，常常称为平面函数. (2)f 是从n阶交换群到m阶交换群的PN函数为的半正则分裂相对差集. (3)DO型PN函数与有限交换预半域之间相互唯一确定.

第2章完全非线性函数 仿射平面：一个阶的仿射平面由m2个点和m2+m 条直线组成，其中任意直线上恰有m个点，每个点在 m+1条直线上，所有的直线被分成m个平行类，同一个平行类中直线平行，不同平行类中的直线相交。设 f 是从A到B的一个PN函数，仿射平面 I(f ) 如下：点集：直线：

第2章完全非线性函数 差集：设(G,+)是一个阶为v的有限交换群，k和是两个正整数，，若集合满足下面性质， (1) (2) 集合中每个元素在多重集中均出现次，则称集合D是G的一个差集.

第2章完全非线性函数 相对差集：设G是一个nm阶群，B为G的m阶正规子群，R为G的k元子集，如果对任意，覆盖中任意元素次，而中元素不被覆盖，那么称R为G的相对差集. 特别地，如果B为单位元群，那么称R为G的一个差集；如果 ,那么称R为G的分裂相对差集，进一步如果，则称该分裂相对差集是半正则的.

第2章完全非线性函数 定理2.1设f 是从有限交换群(A,+)到有限交换群(B,+) 的函数，那么f 是一个PN函数当且仅当集合是群的半正则相对差集. Pott A, Nonlinear functions in abelian groups and relative difference sets, Discrete Applied mathematics,2004,138(2) 177-193.

第2章完全非线性函数 有限交换预半域：设S是一个带有两个二元运算+和* 的有限集合，如果满足： (1)(S, +)是一个交换群； (2) 对任意， • 当且仅当a或b等于0，这里0为(S,+)中零 • 元. 则称(S,+,*)为有限预半域.进一步，如果还满足乘法交换律，则称S为有限交换预半域.

第2章完全非线性函数 DO型PN函数：定理2.2DO型PN函数与有限交换预半域之间可以相互唯一确定. 命题：上的函数是DO型PN函数当且仅当对任意非零，均有，这里为线性化置换多项式，为常数。

第2章完全非线性函数 设f 是从 (A,+)到(B,+)的函数，对任意，令，则称为f 的原像分布. 定理2.3 设f 是n阶交换群(A,+)到m阶交换群(B,+) 的函数，这里，如果f 为PN函数，则

第2章完全非线性函数 当m=3时，原像分布特征可以简化为：上述方程有解当且仅当，其中 u不包含3和6k+1型素因子, 为6k+1型素因子，在有解情形下，上述方程组的全部不等价解为：其中为非负整数，且 .

第2章完全非线性函数 当m=4时，如果，则原像分布特征可简化为如果，则原像分布特征可简化为

第2章完全非线性函数 定理2.4当时，原像分布特征方程组有解当且仅当n=16l2,l为正整数，在有解情形下，所有不等价解为：其中a，b为非负整数，满足

第2章完全非线性函数 定理2.5当时，原像分布特征方程组仅在n=16l2时有解，并且全部不等价的解为： C. Li, Q. Li, S. Ling, Properties and applications of preimage distributions of perfect nonlinear functions, IEEE Transactions on Information Theory,2009,55(1), 64-69.

第2章完全非线性函数 设f是到的函数，为的本原元，记则称为f 的原像分布. 定理2.6如果是从到的DO型PN函数，则为从到的PN函数，并且原像分布具有如下特征：

第2章完全非线性函数 (1) 当2|n时，分别有个元素，对应下列两种原像分布：

第2章完全非线性函数 (2) 当n为奇数时，分别有个元素，对应下列两种原像分布：

第2章完全非线性函数 引理2.1如果是上DO型PN函数，则对任意，为上n元非退化二次型. 引理2.2如果是上DO型PN函数，那么在上是2-1的，并且当且仅当 .

第2章完全非线性函数 上已知的PN函数有如下6类： • Dembowski-Ostrom幂函数 • 为奇数. (2)Coulter-Matthews幂函数为奇数且(n,k)=1. (3)Ding-Yuan多项式 n为奇数， .

第2章完全非线性函数 (4)Budaghyan-Helleseth第一类多项式：其中n=2k, s和k均为正整数，满足同时，为上置换多项式， .

第2章完全非线性函数 (5)Budaghyan-Helleseth第二类多项式：其中n=2k, s 和t 满足，，为中本原元， .

第2章完全非线性函数 (6)Zha-Kyureghyan-Wang多项式：其中为中本原元，n=3k,(3,k)=1, 为奇数，

第2章完全非线性函数 引理2.3设，p为素数，Fq上线性化多项式为Fq上置换多项式当且仅当L(x)在Fq上只有零根. 引理2.4 为PN函数当且仅当为上置换多项式.

第2章完全非线性函数 例2.1 为奇数）是PN函数。例2.2 为奇数，是PN函数。例2.3 是PN函数。

第2章完全非线性函数 定义2.3设F和F’都是从到自身的映射，如果存在上仿射置换L1和L2，使得，则称F 和F’是仿射等价，进一步，还存在仿射函数L3，使得则称F和F’是扩展仿射等价(Extend Affine)。简称EA 等价. • 函数的代数次数是EA等价不变量； • 差分均匀度为EA等价不变量； • 与已知的PN函数EA等价的函数不是新的PN函数.

第2章完全非线性函数 定义2.4设F和F’都是从到自身的映射，如果存在上仿射置换L，使得，则称F和F’是 CCZ等价的.这里和分别称为F和F’的图.

第2章完全非线性函数 对于给定函数，定义如下矩阵其中0，F(0), 均为Fp上n维向量.

第2章完全非线性函数 定理2.7设F和G均为上函数，则F和G是CCZ等价当且仅当存在可逆矩阵M和置换矩阵P，使得，其中M具有如下形式：这里A,B,C,D都是Fp上方阵，并且可逆，为Fp上的n维向量.

第2章完全非线性函数 • EA等价是CCZ等价的特例，只需取M中C=0. (2)任何可逆函数的逆函数与原函数CCZ等价，只需取 (3)差分均匀度是CCZ等价不变量，但代数次数不是CCZ等价不变量.

第2章完全非线性函数 定理2.8设F,G 都是PN函数，那么F和G是CCZ等价的当且仅当它们是EA等价. 引理2.5设F,G 都是PN函数，定义如果为线性置换，使得，那么

第2章完全非线性函数 设是上DO型PN函数，表示的迹函数，令其中为中全部元素.

第2章完全非线性函数 定理2.9设是上DO型PN函数或者Coulter-Matthews型的PN函数， • 当n为奇数时，的权分布为 • 其他Ai=0.

第2章完全非线性函数 • (2)当n为偶数时，的权分布为 • 其他Ai=0.

第2章完全非线性函数 向量的支集定义为对任意两个向量和，如果的支集包含的支集，则称覆盖 .在一个线性码中，如果一个非零码字只覆盖它本身的数量倍数，则称该码字为极小码字.线性码的所有极小码字构成的集合称为线性码的覆盖结构.

第2章完全非线性函数 定理2.10设p为奇素数，n是大于1的正整数，q=pn, 如果为Dembowski-Ostrom幂函数， Coulter- Matthews幂函数或Ding-Yuan多项式，则线性码的覆盖结构如下： • 若，则中所有非零码字都是极小的； (2)若，并且则中权值为4或者5的码字是极小的，其他码字都不是极小码字； (3)若，并且则中权值为或的码字是极小的，其他码字都不是极小码字.

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